北海道大学 理系 | 2019年度大学入試数学

   

●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2019年 大学入試数学の評価を書いていきます。

2019年大学入試(国公立)シリーズ。
北海道大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





北海道大学(理系)
(試験時間120分、5問、記述式)

1.全体総評~質・量ともに大幅UPで難化傾向続く~

昨年から連続の難化ですが、今年は大幅難化といえそうです。

ましなのは共通問題の第1問ぐらいで、2番以降は発想力や計算量の多い問題がずらりと並びますので、下手をすると1番以外は完答できない状況もあり得てしまうセットです。これまでの北大の難易度とは違う印象を受けました。


試験時間120分に対し、
標準回答時間は150分。やはり調査以来最長時間です。

2018年:130分

2017年:110分

2016年:135分

2015年:125分

2014年:130分

2.合格ライン

第1問は共通問題。簡単とはいいませんが、全体のセットを考えると落とせません。

第2問の整数問題はいつもより難易度が高めで、(1)(2)ぐらいで止まるかも。完答は厳しいか。

第3問はキー問題。やることはわかるはずなので、計算をしっかり合わせたい。

第4問は(1)は取りたい。(2)は経験がないと厳しい。

第5問はノーヒントだと経験がない人は手つかずですが、an,bnとおくという誘導もあるのでキー問題かと。(1)(2)までは計算なので合わせたい。




第1問は押さえる。残り第2問~第5問は下手をするとどれも完答はしにくいので、なんとか第3問を合わせれば戦えるかと。今年は50%ぐらいでも悲観するには及ばないでしょう。

3.各問の難易度

第1問 【空間ベクトル】平面への垂線、三角形の内部にある条件(B,20分、Lv.2)

平面に下ろした垂線の足と、その点が三角形の内部にある条件です。パターンですが、全体のセットを考えると落とせませんので、文字計算の連立含め計算をしっかり合わせていきたいところ。

(1)は平面への垂線です。平面にOが入っているので、係数設定はs、tのみで行けます。あとは垂直の式を2つ立てて連立です。(Principle Piece B-56 数学B ベクトル p.75)

(2)は三角形の内部にある条件ですが、Qの座標よりも、連立で得た係数の解s、tの式の方が重要です。Qで考えるとドロ沼にはまります。平面ベクトルの存在範囲でよくやりますが、s≧0、t≧0、そしてs+t≦1ですね。これをそのままあてはめればOK。

 

 

※KATSUYAの感想:解答時間10分。パターン問題なので原則通りに解いて終了。まずは順調。

☆第2問 【整数】最大公約数に関する証明(C、30分、Lv.2)

2つの式n(n+1)と(n+3)(n+4)の最大公約数を求める問題で、普段の北大の整数問題よりも難しいです。

(1)はいけます。どちらも偶数なのは明らかです。

(2)からはユークリッドの互除法の考え方が欲しいところ。もし両方とも8の倍数なら、その2数の差6n+12が8の倍数になります。そのようなn=4k+2 となります(1次不定方程式6n+12=8mの一般解です)が、このときn(n+1)が8の倍数にならないので、矛盾します。

(3)も実は同じようにできます。こちらも結論を否定すると、差の6n+12=6(n+2)がpの倍数となり、pが2,3の要素を含まないことから、n+2がpの倍数になることに気づければOK。

(4) は(1)~(3)の結論を用いることになりますが、結局dnは素因数分解したときに、2・3^n か2^2・3^nにしかなりません。しかし、3の要素が2つ以上はいっていると、どちらも9の倍数となり、差が9の倍数となります。また(2)同じように議論を進めれば矛盾が見つかりますので、3の要素も入っていて1つなわけですね。

dn=2,4,6,12しかないので12以下だと分かります。あとは1つ探すだけです。順番に代入していっても底までしんどくはないと思います。

(2)以降が全て背理法からの互除法で証明できてしまうため、ここで発想出来なかった人は全滅に近いかもです。

※KATSUYAの感想:解答時間23分。(2)までは互除法ですんなり。(3)はpで議論するのか。同じやり方が通用するのか疑問だったが、他が思いつきそうにないので同じやり方で。pが5以上になっている意味を理解。出来るわ。これでdnの形を絞って(4)。3の要素が2つ以上ないことを示す。また一緒のやり方で出来るのか。これ、(2)出来ないとほぼ全滅やん。

☆第3問 【微分法の応用+図形と式】極大点と極小点の中点の軌跡(BC、30分、Lv.2)

数IIIの微分からの出題ですが、文字「t」が入った状態での計算なので煩雑です。解もきたなく、軌跡までの計算は長め。ただ、他に比べると計算さえ頑張れば辿りつけるタイプの問題なので、今年はこれを取らないと厳しいか。

最初はただ微分して=0を解きます。文字「t」も入っているので微分は慎重に。増減極値凹凸グラフ系の問題は、微分をミスると全滅です! 出た解が0、1/tでないことの確認はしておきましょう。

(2)は、この汚い解に対して値を出し、さらにその中点を出すことです。中点の軌跡と言われたら、解と係数の関係を思い出したいです。今回もα、βは2次方程式の解として得られているので、数IIの軌跡でよく出る「放物線と直線の交点の中点の軌跡」とタイプは同じです。(Principle Piece II-54 数学II 図形と式)

解と係数の関係を駆使し、中点のx座標、y座標を計算しましょう。yの方も結構きれいになりますね。最後は媒介変数「t」の消去で軌跡が得られます(Principle Piece II-52 数学II 図形と式 p.47)

なお、軌跡を答える時は「形」(←直線なのか、放物線なのかなど)と「式」を答えましょう。

※KATSUYAの感想:解答時間17分。t入ってるから微分結構嫌な感じ。解も汚いんかい。0,1/tにならないよな。よしよし。(2)は中点の軌跡。2次方程式の解から来てるから、解と係数の関係が見え見え。でもf(α)+f(β)はまあまあメンドウ^^; y座標が意外とキレイ。

☆第4問 【確率+数列】n絡みの確率、カードの大小(BC、30分、Lv.2)

確率と数列の融合ですが、漸化式のタイプではありません。Σで確率を出すタイプの問題で、演習経験がないとこちらも厳しいタイプ。今年の北大は難しい問題が並ぶと、ここら辺で感じますね。

(1)はなんとか合わせたいですね。m=1,2のときとm=3~nのときで分けましょう。1回目で1,2のどちらかを引けばわがままを聞いてもらえますが、2回目に引いたものには文句言いっこなしということです。

(2)は、AよりもBの得点が大きい確率です。Aが「k」の札を引いた時のBの勝つ確率を「k」で表し、k=1,2、・・・・n-1でシグマを取ることになりますが、Bが2を引くか3以上を引くかでも確率変わりますし、経験がないと(あっても慎重に計算しないと)厳しいかもです。(Principle Piece A-44 数学A 確率 p.44)

なお、Aが「k」の札を引く確率がそもそもも1/nであることを掛け忘れないように。私最初忘れました^^;

※KATSUYAの感想:解答時間21分。(1)はさくっと。(2)もシグマを取るパターンだとはすぐに気付き計算をするも、1/nを掛け忘れたため結果が3次/2次に。いやまてまて、nが大きいと明らかに1より大きいけど。なんで^^; 式も間違っていないはず。しばらく考え、Aが引く確率を無視していたことに気づく。出た答えにn=3を試して一致したので終了。今年、北大難めの問題多くない?最後(5番のこと)も見た感じめんどそうやし。

☆第5問 【定積分方程式】三角関数絡みの定積分方程式(BC、40分、Lv.3)

最後は積分です。最後までまあまあ質の高い問題が多かったです。

定積分は定数なので、原則通りに定数部分をan,bnなどとおいている(Principle Piece II-114  数学II 積分法  p.15-16) のでしょうが、そのままでは見えません。三角関数がらみでは、sin(x-t)のような部分は加法定理で展開し、tに関係のない部分を前に出します。(Principle Piece III-62  数学III 積分法  p.45-46) 

これでfn+1(x)の形が確定したので、an+1、bn+1の計算が出来ます。sintcostなど2次式ばかりが並びますので、角度をあげて次数を1次にすればOK。(Principle Piece III-50  数学III 積分法  p.14-16) 結構0が多いので、結果は思ったよりはキレイになります。

(2)は誘導と(1)の結果に従えばいいでしょう。1つ飛ばしの漸化式なので、偶数と奇数で分ければOK。

(3)は、とりあえずanが定数列なら、それが1であることが必要だと分かります。さらにbn=1も必要で、このとき必要十分です。最後の山は、an,bnの定積分計算が1になるようなf(x)を決めろ、という部分ですが、実際にan=bn=1を入れると、f_n+1(x)=sinx+cosxとなり、これもnによらなさそうなので、これなのではないかと予想するわけです。あとは実際に計算して1になることを確かめます。

 

パターンレベルの高さといい、計算量といい、最後の考え方といい、これまでの北大のレベルで対策をしているとちょっと手のつかなさそうな問題ですね。


※KATSUYAの解答時間31分。(1)はパターンなので加法定理で展開し、コツコツ計算するだけ。(2)は芋づるで終了。(3)は最初あてはめることに発想が行かず、考えました。こんなの思いつくの無理じゃない?最初の式に入れることを要ようやく思いつき、実際に計算をして終了。今年の北大、大幅難化確定やな。

 

4.対策

頻出分野は数IIIからは微積と複素数平面、あとは整数、確率、図形で、数Bはどちらか1問でると思われます。今年は複素数平面がなく、変わりに数Bが両方の分野から出ています。

北大は旧7帝大の中ではかなり標準的かつ良問の組み合わせになっており、過去問自体が入試演習に最適です。もちろん、その前に原則習得はしっかり終わらせておきましょう。その後、入試基礎演習入試標準演習の代わりに、過去問を用いてもいいと思います。

難易度的には、今年のレベルで対策しておけば万全ではないかと思います。

また、東大や京大などの最難関を受験する人たちは受験初期に15年分ぐらい一気に演習してみてもいいでしょう。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

 

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 確率 (第4問)

★ 数学A 整数 (第2問)

★ 数学II 図形と式 (第3問)

★ 数学B 数列 (第4問)

★ 数学B ベクトル (第1問)

★ 数学III 微分法の応用 (第3問)

★ 数学III 積分法 (第5問)

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