北海道大学理系 | 2020年度大学入試数学

2020/03/01

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２０年大学入試（国公立）シリーズ。
北海道大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

北海道大学（理系）
（試験時間120分、5問、記述式）

１．全体総評～難化傾向に歯止め～

2年連続で難化し、昨年は最難レベルでしたが、今年はまあまあ落ち着いたと思います。

４番は比較的やることが多いですが、それ以外はそこまで計算量の多い問題はなく、勉強している人には方針が立ちやすいセットだっと思います。質・量ともに少し穏やかになりました。

試験時間120分に対し、
標準回答時間は120分。適量ですね。

2019年：150分

2018年：130分

2017年：110分

2016年：135分

2015年：125分

2014年：130分

２．合格ライン

第１問はやることも典型的なので、取りたいです。

第２問も整数問題ではありがちのパターンで、演習済みを期待したい。

第３問は（２）（３）がキー問題。特に（３）のタイプは経験がないと厳しい。

第４問は本セット最難問。思ったよりやることが多く、途中で止まるかも。（１）は押さえたい。

第５問はキー問題。最初の部分分数分解に気づかないと全滅なので差がでそう。

第１問、第２問を押さえ、第３，５問のどっちかを確保したい。第４問を完答した人はかなり有利。60~65％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問　【平面ベクトル】内積、外接円の交点のベクトル、長さ（B,20分、Lv.２）

平面ベクトルから。ABCの外接円の直径APベクトルや、APとBCの交点DについてADの長さなどを聞いています。

（１）内積はいいでしょう。3辺から内積を求める作業は、余弦定理そのものです。BC^2＝・・・をたてましょう。

（２）はAPが直径であることから、AB⊥PB、AC⊥PCとするだけです。外心のときは中点を設定することが多いですが、それが2倍のスケールになっただけです。ｓ、ｔで設定されてますし、（１）で内積も出てますし、大丈夫でしょう。

（３）はAPとBCの交点です。始点があるAP上にあることから、k倍が使えます。BC上にあることで「係数の和が１」を用いればOK。ｋ倍で設定→係数の和が１の流れも、パターンですね＾＾

ADベクトルが分かれば、あとは2乗するだけです。係数はうまく前に出しましょう。まともに2乗すると係数が煩雑になります。

※KATSUYAの感想：解答時間１０分。（３）は直径を正弦定理利用で出しまし、ｋ倍しました。

☆第２問　【整数】1次不定方程式の一般解、格子点の数（B、20分、Lv.２）

1次不定方程式の一般解について、原点からの距離を吟味し、設定した三角形内の格子点の個数を求める問題です。昨年の整数問題に比べるとかなり難易度は落ちました。本セットとしては取りたい問題です。

（１）はいいでしょう、1組みつけて辺々引き、一般解に持っていきましょう。

（２）も北大理系受験者なら演習したことはあるはず。一般解のうち、2乗和が最小になるものを求めます。2次式になりますが、k^2の係数が337となります。完全に平方完成する必要はありまん（頂点のｙ座標の計算は不要）。軸に最も近い整数、2番目に近い整数さえ分かれば、A,Bの座標は出て、Cも出ます。

三角形は直角三角形なので、長方形に拡張して考えるといいでしょう。対角線上（A,Bの2点のみ）の考慮を忘れずに。計算は（長方形の格子点ー対角線上の格子点）÷２＋対角線上の格子点　となります。

※KATSUYAの感想：解答時間14分。（１）は教科書レベルでさくっと。（２）は2乗和出し、軸だけ計算。k^2の係数で凡ミスし、数値に違和感覚えて頂点計算したらマイナスに。2乗和やのになんで？計算見直し。16×16を144としていた（←アホすぎるわ＾＾；）。修正し、近い順に２つ出す。直角三角形なら長方形拡張。明らかに10分以内で行けた問題。ロスした。

☆第３問　【確率】ｎ個のさいころの目のGCM、LCM（B、25分、Lv.２）

ｎ個のさいころの目の最大公約数（GCM）、最小公倍数（LCM）に関する問題です。（２）はなんとか気づいてほしいところですが、（３）は考え方を一度でも経験していないと難しいです。なんか今年、この考え方をする問題多いですけどね＾＾；

（１）は｛３，６｝が出る場合から、｛６｝ばっかり出る場合を引けばOK。

（２）からは差がでそう。GCMが１になる場合は、１が「少なくとも１個」でも入っていれば当てはまりますし、２と５が「少なくとも1個」ずつ入っていてもOKだし・・・と考え出すときりがありません。「少なくとも1個」から、余事象の利用を思いついてほしいところです。

（１）に加えて、GCM＝２，４，５，６の場合を求めることになります。２，４，６の場合はまとめて計算できます。全ての目が｛２，４，６｝のどれかであればどれかになります。GCM=5は全部｛５｝の場合ですね。

（３）は、３や６の目が出るとダメなので、｛１，２，４，５｝のどれかが出ることが必要。４と５が「少なくとも１個」入っている必要がありますので、これも余事象利用となります。

「４が少なくとも１個でる」かつ「５が少なくとも1個でる」の否定は、

「４が1個もでない」または「５が1個もでない」です。被っている部分の考慮を忘れないように。

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間11分。（２）は、、いやまともに数えんの無理だわ。余事象か。２，４，５，６の場合を計算。意外とラクやな。（３）は上記のとおりに計算。「２つのものが少なくとも1個でる」問題、今年結構やった気がするな。はやり？

☆第４問　【数列の極限＋微分法】一般項不明の漸化式など（C、35分、Lv.3）

一般項不明の漸化式の極限を求める問題です。題材としてはありふれていますが、きちんと述べるには微分も駆使するため、難しめのパターンです。

（１）はｎに関する証明なので、帰納法が思いつくでしょう。ｆ（ｘ）は０<ｘ<１で0<f(x)＜１なので、前半はすぐに分かると思います。後半は、一般的にｆ（ｘ）＜ｘを示せばいいだけ。不等式の証明は差を取って微分ですね。

ｇ（ｘ）＝ｘ－ｆ（ｘ）として、ｇ’(x)＝０となるｘは値は分かりませんが、その前後で正から負に変わることと、f(0)=f(1)＝０から、負になることはないと分かります。

（２）も、bn+1＜bnというのはですので、一般化して、h(x)＝１－f(x)/1-x　とし、これの単調減少性を示すことになりますが、難しかったかもしれません。微分した式も、分子は意外と複雑です。しかし、これをもう一度微分すると、符号の分かる式になります。よく分からなければもう一度微分してみるというのも、基本的な実験操作です。

これにより分子は単調増加ですが、ｘ＝１で０なので分子＜０ですので、h'(x)<０（０＜ｘ＜１）となります。

（３）は（２）を利用して、１－anに関する等比数列的不等式を作ることになります。一般項不明の極限の問題では典型的な操作です。０＜b1＜１が分かるので、anの極限は１となります。

bｎの方は、平均値の利用がいいと思います。こちらも、ｂｎの形を見たらよく使う手法ですね。ｆ’（ｃ）となるｃがan＜ｃ＜１の間にありますが、ａｎ→１のとき、はさみうちでｃ→１なので、f'(1)が答えとなります。

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間25分。（１）は帰納法で。後半はｆ（ｘ）－ｘを微分するか。極値を取るｘも出ないパターンやし、最初から意外とメンドウ。（２）も、h(x)を微分するも分子を見ても項が多くて止まる。グラフ的に傾きやろ？単調減少のはずやし、そんなに複雑な増減はしないはず。もう一度微分すれば分かると踏んで、ドンピシャ。こういうとき、結構快感＾＾　これで（２）も終了。（３）は（２）が出来れば出来るので、上記のとおり原則を用いて終了。

☆第５問　【積分法＋極限】定積分方程式、面積（BC、20分、Lv.2）

昨年に引き続き、定積分方程式が題材です。そこから関数を決定し、面積の極限を求める問題。しかし、普段の定積分方程式とは方針も違うので、差がついた可能性があります。

（１）ですが、条件式の定積分は、部分分数分解により直接積分することが出来ます。これに気づけば（２）の面積まではいけるし、気づかなければアウトです。分解した分数は積分でｌｏｇになる形をしていることも明らかなので、あとは慎重に定積分計算し、ｆ（ｘ）を出すだけです。

（２）も、面積の計算自体はまったくたいしたことはありませんが、極限の計算がポイントになります。ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ(2+e^x)とおくと、面積の式はａ→＋０のとき、微分係数の定義からg'(0)となることを利用するのが最もスマートでしょう。対数、指数絡み極限では、微分係数の定義によって求められる場合が多いので常に意識しておきましょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間14分。なんじゃこの定積分方程式。両辺微分？いや違うな。分子がf'(t)で、1-f(t)とf(t)が分母。分けれればｌｏｇがつけれそうな形しているけど。部分分数分解で間「＋」にするパターンの方か。これ、気づかんかったら全滅やん＾＾；　差のつく問題決定かな。（１）はあとは積分で終わり。（２）も上記のとおり原則で微分係数の定義にあてはめて終了。