慶應大学 経済学部 | 2019年大学入試数学

   

●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶応大学(経済学部A方式)です。 

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2019年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2019年大学入試(私大)シリーズ。

慶応大学(経済学部A方式)です。




問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





慶応大学(経済学部A方式)
(試験時間80分、6問、ハイブリッド型)

1.全体総評~ここ数年ではマシな方~

2016年~2018年の量に比べると減っています。これをピークだと思いたいですね。数列が相変わらず計算量が多めですが、これも昨年よりは減っています。後半の記述も、4番、5番あたりは手がつけやすく、全体的に計算量は減っています。少しほっとした受験生も多そうですね。




試験時間80分に対し、
標準回答時間は128分【108分】(←穴埋め考慮)

減ったとはいえ、80分では解き切れそうにはないですね^^;


2018年:165分【141分】(←穴埋め考慮)

2017年:160分【133分】(←穴埋め考慮)

2016年:170分【147分】(←穴埋め考慮)

2015年:130分【103分】(←穴埋め考慮)

2.合格ライン

第1問は全体の難易度を考えると落とせない。
第2問もひとひねりありますが、出来れば取りたい。
第3問はキー問題。昨年に引き続き数列かつ文字計算なので、計算力勝負。全部出来れば強い。
第4問も誘導がある程度あるので最後まで正解したい。
第5問はベクトル。(4)は知っていると早いが、差がつきそう。(3)までは行きたい。
第6問は(1)は取りたい。(2)、(3)は意図がつかめ、かつ3次関数の特徴を知っていないときつい。


採点のルール上、最初の3問には時間がある程度必要。第1、2問でミスなくとりたい。後半は順番に解いて第6問を時間が許す範囲で(1)ぐらいまで解く。忙しくはありますが、いつもよりはマシなので、今年はある程度とれそうです。



第1問 【図形と式】円と直線の共有点、弦など(AB、15分【10分】、Lv.1)

3年連続で、ここは円と直線の問題です。ここはいつも傾向が似ていますね。KO経済がお好きな75°のsinもまた出ました。

中心はOPの垂直に等分線上にあるので、(3、y)です。これをまず用意しておくと見通しがいいです。

(1)はy=0が一瞬で出ます。さらにOPが直径なので、OPQが1:2:√3の三角形になるとすぐに分かります。

(2)も半径があるので、y=√3が分かります。OPQが正三角形になることに気づけば、こちらもあまり計算せずに分かります。

(3)は、∠QOP=45°になることから、y=xとの交点としてQの座標を出せます。(4)も75°のsinはいいとして、それと正弦定理で円の半径は出ますね。

 

☆第2問 【確率+方程式+整数】反復試行、個数のわからない4色の球(B、20分【12分】、Lv.2)

今年の確率は昨年の強引な融合ではなく、うまく組み合わさっていると思います。

最初の2つの条件から、赤と黄色の個数の和と積が出ますので対称式が見えます。(1)は和だけで解決、(2)の確率は、予想通りの対称式の利用パターンです。(Principle Piece I-13 数学I 数と方程式 p.28)

なお、(2)は赤2個、黄色4個(あるいはその逆)と決め打ちしてもOK。解が汚くないし穴埋めなので、代入でも出来ますね。

(3)の情報からは白、黒の個数の積が出ますが、3次式なので整数問題とみなしたいところ。白+黒=18であり、積の情報から両方偶数で、片方は7の倍数です。49の倍数が出るには、2乗のかかっている黒が14と分かります。

これが分かれば(4)も出来ますね。

※KATSUYAは6分で終了しています。昨年に比べるといい問題でしたね。

 

第3問 【数列】漸化式、等差×等比の和(B、25分【18分】、Lv.2)

タイトル、昨年と変えていません^^; ほぼ同じ題材です。文字が多く煩雑な計算であることも昨年と同じです。昨年よりはマシですが、計算力で差の出そうな問題ですね。

漸化式は6型(Principle Piece B-14 数学B  数列 p.35-36)の形ですが、解法は5型の方法で行くことになります。n+1乗で割り、階差型に持っていくパターン(Principle Piece B-13 数学B  数列 p.34-35)です。昨年も書いたので下に残してあります。

ただ、この階差数列が(等差)×(等比)になるように設定されていますので、ここで等差×等比の和を聞かれることになります。(1-公比)Sの計算をしましょう。(Principle Piece B-7 数学B  数列 p.23-24)で文字計算がメンドウですね。

 Principle Piece B-13

 指数型漸化式 両辺をn+1乗で割る

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.32)

cmさえ正確に出れば、あと落ち着いて計算するだけです。

※KATSUYAは11分で終了しています。昨年と似てない?等差×等比の文字計算、好きすぎるやろ^^;

第4問 【指数関数・対数関数】指数連立方程式、指数関数計算(B、18分、Lv.2)

第3問に続いて、タイトル殆ど変えていませんが、こちらは昨年と結構違います。ちょっと複雑な指数の連立方程式ですが、誘導もありますし、記述式ならここが最も簡単。

指数に関する連立方程式ですが、式や問題文を見る限りは、3^y=Y、5^z=Zなどと置き換えておいた方がいいでしょう。、

(1)は、X,Y,Zの3文字に対して式2つなので、1文字は残ります。Xを残してほしいということですね。式1つにつき文字は1つ減る、と思っておきましょう。(ULTIMATE Principle Piece 数学II 式と証明 p.15) 範囲はY>0、Z>0から出ます。

(2)はただの対称式の問題。確率でもこの式でしたけど^^;

(3)は(2)を利用します。Y+Zの式にXが入らないので、実質2次式となります。ただの平方完成ですね。

※KATSUYAは10分で終了しています。特に詰まることなし。誘導も丁寧な印象。

☆第5問 【空間ベクトル】四面体(内積絡み)、2直線に垂直な直線、正四面体(B、20分、Lv.2)

昨年の空間ベクトルは最難問でつらかったですが、今年はここもだいぶ穏やかで、ひとひねりはありますが、比較的ありふれた四面体の問題です。昨年、数学の点数低かったんですかね^^;

(1)はいいでしょう。OABは3辺が分かっていますので、余弦定理の式がそのまま内積を求める作業に直結します。(Principle Piece B-14 数学B  ベクトル p.36-38)

(2)が出来るかどうかがポイントになると思います。「s」と「内積b・c」を求めよとありますので、結構親切です。未知の数値が2種類あることが明記されています。これを求めるために、「2直線に垂直である」という式を立てて連立(というか1つ1つ出ます)しましょう、ということです。

(3)は(2)が出れば出るでしょう。

(4)は知っていないとキツイかもです。正四面体のねじれの2直線の距離が1辺の1/√2倍になることを知っていないと、答案としても書きにくいと思います。

答案としては、立方体に埋め込んだ図を書き、L1,L2,MNの位置を明記するか、一辺aの正四面体のねじれの2直線の距離がa/√2となることを出すか、でうまくいくと思います。

※KATSUYAは11分で終了しています。昨年に比べると大分ラク。

☆第6問・・・【微積分】x軸に接する3次関数、極値を取るxの値、面積(BC、30分、Lv.3)

最後は微分法からです。3次関数のグラフ特徴とも言える部分を、これでもか、というぐらいに聞いてきます。なお、KO経済はこの3次関数のグラフの特徴に関する問題が結構好きです。(Principle Piece II-105 数学II  微分法 p.44)←ここにある図を見て覚えておくだけでも、かなり見通しが立つと思います^^

最初はF(x)=(x-α1)(x-α2)^2 とおいて微分すればOK。積の微分を用いると因数でくくれます。

(2)は、極値における接線なのでy=F(α)です。αで接しますから、F(x)-F(α)=(x-α)^2(x-γ)です。f(γ)を求めたければこのまま微分してx=γを代入しましょう。 また、γは接点以外の解なので、解と係数の関係で攻めれば殆ど計算不要です。(Principle Piece II-96 数学II  微分法 p.18)

 

(3)は素直に積分していくことになりますが、これもうまくサボれます。左側の部分は「6分の公式」が使えるパターンです。(Principle Piece II-117 数学II  積分法 p.29) 右側は一見きつそうですが、原始関数がF(x)なので、定積分はF(γ)-F(β=α2)となり、F(α2)=0なので、実質F(γ)だけです。

従って、うまく変形すれば(α2-α1)^3の形をくずすことなく計算できます。

後半はおまけに近いです。不等式ですが、そのまま代入して3乗の中を平方完成すればOK。

※KATSUYAは17分で解いています。ここまでがっつり特徴聞いてくるのね。これはある程度知っていないとキツイか。

4.対策~IIB中心に、計算力上げつつパターン問題を素早く解く練習を~

分野としてはIIB+確率、という感じですので、これらの分野の重点的な演習をしましょう。

図形問題は融合が多く、図形的な考察が途中で必要な問題も多いので、単なる数式処理で出来るものではなく、総合的な図形問題に触れておきましょう。青チャートできちんと演習を積んでおけば、大丈夫です。有名なパターン問題はそのまま自分のものにいしていきましょう。

レベル的には入試標準レベルの演習まで行い、過去問に接続すればいいと思います。

量をこなす演習:じっくり演習=8:2ぐらいで、直前には7:3にしたいですね。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 確率 (第2問)

★ 数学II 複素数と方程式 (第2問)

★ 数学II 図形と式 (第1問)

★ 数学II 指数関数・対数関数 (第4問)

★ 数学II 微分 (第6問)

★ 数学II 積分 (第6問)

★ 数学B ベクトル (第5問)

★ 数学B 数列 (第3問)

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