神戸大学 理系 | 2018年大学入試数学

   

●2018年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は神戸大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2018年 大学入試数学の評価を書いていきます。

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2018年大学入試シリーズ(国公立)。
神戸大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





神戸大学(理系)
(試験時間120分、5問、記述式)

1.全体総評~反発易化で質・量・分野ともにバランスよく~

昨年から反発易化です。昨年はかなりきつかったですが、おさえてきました。

数IIIの割合も3問弱になり、あとは数列、ベクトル、確率という非常にバランスの取れたセットです。易から難に並んでいる印象も受けますので、波に乗りやすかったと思います。



試験時間120分に対し、
標準回答時間は120分。適量です。

2017年:145分

2016年:110分

2015年:150分

2014年:130分

2.合格ライン

第1問は最も簡単なのでおさえる。決して簡単ではないが、全体のセットを考えるとおさえたい。(2)までは絶対欲しい。
第2問も典型的なパターン問題。コツコツ解いて稼ぐ。
第3問はキー問題。コツコツ数えて合わせたい。
第4問もキー問題。(2)ができれば(3)も解けるので、差がつきそう。
第5問は再び空間ベクトルだが、数IIIの体積もからみ、第1問とは打って変わって難しい。どこまでくらいつけたか。


順番に取りに行き、何番まで取れるか。3番まで取り、あとはつまみ食いするのが理想。その場合は、3番までは完答しておきたい。

65%~70%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

第1問・・・【空間ベクトル】正四面体上の点、内積、三角形の面積(A,15分、Lv.1)

神戸大が好きそうな1番の易しめの問題。

いろいろ聞いているので、ワークでは見られませんが、定期試験にはもってこいのタイプです^^

(1)は後ろから前を引けばOK。(2)は内積ゼロです。答えが2つ出ますので、ここから分かれて(3)も2つ答える必要があります。

 

やることが単調で書く事無さ過ぎました^^;

※KATSUYAの解答時間11分。解いたのが少し前なので覚えてないですが、意外とかかってる。(2)で「t」が2つ出て、本当かどうか見直していたからかも。

☆第2問・・・【微分法+数列+極限】増減表、グラフ、一般項不明の漸化式の極限(B、20分、Lv.2)

今年も2番に数列の極限を持ってきましたが、今年は微分絡み。関数を利用した一般項不明の漸化式のパターンで、これも本学受験者なら経験済みでしょう。

(1)は微分するだけです。漸近線も欲しいということなので、0付近と正の無限大の様子を調べておきましょう。

(2)はnに関する証明ですから、帰納法ですね。

Principle Piece B-23

 帰納法は次のようなときに有効

[1] nに関する証明である  [2]結果が分かっている or 推定できる

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.50-57)

 

k→k+1の評価では、(1)のグラフを使えます。x>1ではグラフは単調に増加しますので、f(x)>f(1)=1となります。

(3)は、一般項不明の漸化式パターンにおいて骨格となる原則を使いましょう。

Principle Piece III-6

 一般項不明の漸化式

 [1] 極限値の候補αを出す

 [2] an-α に関する「等比数列的不等式」をつくる

(拙著シリーズ(白) 数学III 極限 p.16-17 ※大意を変えずに表現は変えています)

※KATSUYAの解答時間14分。誘導通り、そして原則通り計算して終了です。詰まるところもありませんでした。

 

☆第3問・・・【確率】サイコロの目の係数にもつ方程式が整数解を持つ確率(B、20分、Lv.2)

サイコロを3個なげて、その目で係数a,bを定めた2次方程式の整数解問題です。

1個目はそのまま係数aですが、bは2個目と3個目の和なので、こちらの原則でとっとと整理しておいたほうが良かったと思います。これが最初にできれば、本問は勝ちでしょう。

Principle Piece A-23

 サイコロ2個は高々36通り →表を書いて整理

(拙著シリーズ(白) 数学A 集合と場合の数 p.20)

(1)はx=1を代入し、あてはまるa,bの候補を(3、2)(4、3)・・・のように出します。aはどの場合も1/6なので、bの場合だけ表を見て確率を出しましょう。

(2)はまず、和、積が正ならともに正であること、解と係数の関係で「整数解+他解=a」なので、他解も整数であること、そしてそのa≦6 なので、他方は3以下であることを示せばOK。たくさん示せとありますが、どれも大したことはありません。

(3)は(2)を利用し、有り得る2解をすべて書き出していけばOK。それに応じてa,bを決め、あとは確率を計算するだけです。ここでも表がいきてきます。

※コツコツ数える系の問題は差がつきますので、本問の出来は合否に影響しそうです。もちろん、5番(後述)を正解していれば帳消しですが^^;

※KATSUYAの解答時間14分。bすぐに表で整理しておこうと思えましたので、詰まることなく、躊躇することもなく書き出しを選びました。本問は私の勝ちかと思われます。

 

☆第4問・・・【複素数平面+微分法の応用】方程式の3解がなす、複素数平面上での三角形の面積の最大値(B、25分、Lv.2)

複素数平面に微分法を絡めてくるという問題です。まったくムリヤリではなく、今まで見なかったのが不思議なぐらい自然な設定で、良問です。

(1)は、実数係数なのでβ=αバー となるので、(x-1)(x-α)(x-αバー) の定数項を比較すれば、簡単に出せます。絶対値は2乗してααバーとするのが原則。

Principle Piece III-92

 複素数zの絶対値 2乗して|z|^2=zzバー

(拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.7-8)

(2)はA,B,Cの位置関係のイメージができれば図形的にアプローチできるはずです。その際、問題文にある「αの実部が1より大きい」ことを見逃すとムダに時間を食います(おまけに減点の恐れアリ)ので、要注意。三角形が2つ出来てしまい、面積の式も若干変わります。(なぜそんなことが分かるかというと・・・^^;)

(3)は、(2)ができれば、微分して増減調べて終了ですね。なお、最大値自体は聞いてなくて、θと整式f(x)まで戻って答えましょう。

 

※KATSUYAの解答時間24分。皆さんの予想通り、問題文の「実部が1より大きい」を見落とし、大幅にロスしました。(3)に影響し、かなり不自然な答えが出た(というか、最大値あるはずなのにこのままだとない)ので、問題文から見直しました。

☆第5問・・・【ベクトル+積分法の応用】円錐の側面上の点、立体の体積(C、40分、Lv.3)

三角形を軸以外のの直線で回転し、その側面の満たす式などを考察した上で、途中を切り落とした立体の体積を求める問題。

神戸大にしては珍しい設定なので、これは対策が薄かったかもしれません。少し前に東大が同じようなものを出しています。(正方形を2つの対角線で回転させる問題です)本問は半分の直角二等辺になっているだけです。

(1)は単純に、HがOC上の点(s、s、0)とおけて、垂直条件でsを決定すればOK。

(2)は(1)をいかせたでしょうか。三角形と軸の位置関係からして、軸とのなす角が45度をなすように側面は存在します。従って、OHとHPが同じ長さで、かつPがOABの内部(のy=x上)にあればいいことになります。示せ、とあるのは、(3)以降に手がつくようにする親切心でしょう。

(3)では、x軸に垂直な面でで切断するということです。原則通りだと次数の高いzで切断したくなりますが、双曲線が現れますので、xかyがいいでしょう。

x、y、zのうちどれかを固定する(軸に垂直な断面で切る)ことで、断面に直線(できれば斜めっていない)が現れるような切り方がいいですね。

断面は放物線と直線で囲まれていますので、6分の公式で解決。

Principle Piece II-117

 放物線と直線なら6分の公式で

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分法 p.29)

(4)は(3)を1~2まで積分するだけですが、最後にきてこの計算がまあまあ難易度高め。ここでやる気を削がれた人もいたのではないでしょうか。

√a(2-a) については、平方完成をして1-(a-1)^2 とし、a-1=sinθ と置換することになります。このあとは、三角関数の3次式になりますので、半角などを利用して次数下げで積分しましょう。

Principle Piece III-50

 三角関数の積分は半角、和積で次数を下げてから

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分法 p.14-16)

 

※KATSUYA解答時間22分。(3)までは比較的すんなり行きましたが、(4)の積分計算はまあまあ時間がかかりました。

4.対策

神戸大は非常に良問が多いです。過去問の演習で実力UPを図れます。超難関大を受験する人は、高2ぐらいか、あるいは高3の初期に演習してもいいでしょう。

レベル的には入試標準問題レベルまででいいと思います。適度に融合されている過去問を多めにやり、誘導にうまく乗る練習をしましょう。

こちらは50年分が記載されているものです。早めに買って、習った分野(自信のある分野)からちょっとずつやってみてもいいでしょう。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3でOK。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

>> 2014年度

>> 2015年度

>> 2016年度

>> 2017年度



■関連する拙著シリーズ■


★ 数学A 確率 (第3問)

★ 数学B ベクトル (第1問)

★ 数学B 数列 (第2問)

★ 数学III 極限 (第2問)

★ 数学III 複素数平面 (第4問)

★ 数学III 微分法の応用 (第4問、第2問)

★ 数学III 積分法の応用 (第5問)

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