大阪大学 理系 | 2019年大学入試数学

   

●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は大阪大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2019年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

2019年大学入試(国公立)シリーズ。
大阪大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





大阪大学(理系)
(試験時間150分、5問、記述式)

1.全体総評~質・量ともに阪大らしい良問セット~

昨年並みのです。数IIIが第1問~第3問で融合問題、論証系に空間です。確率は出ませんでしたが、質・量ともに適切な阪大らしさが継続しています。論証系は難しめですが、試験として良問セットだと思います。


試験時間150分に対し、
標準回答時間は165分。

2019年:165分

2018年:165分

2017年:150分

2016年:160分

2015年:165分

2014年:140分

2013年:145分

2012年:135分

2011年:170分

2010年:135分

だいたい制限時間前後ですので、阪大理系数学は適量と言えます。

2.合格ライン

第1問は(1)は確実に欲しい。(2)(3)はキー問題。難しめです。
第2問は(1)(2)を押さえたい。その際に規則がつかめれば(3)に行けそうだが、時間はかかる。
第3問はキー問題。(1)(2)は押さえて(3)の計算を合わせたい。
第4問は難しめの論証で、(3)までの事実を受け入れて(4)だけ答える手もあり。
第5問はキー問題。空間ベクトルなので差はつきやすそう。題意がつかみにくい。



第1問~第3問の数IIIで2完分の点数に第5問ができればいいかと。60%強ぐらいでしょうか。


3.各問の難易度

☆第1問 【微積分総合+極限】不等式の証明、極限(BC,30分、Lv.2)

数IIIの微積分+極限の融合です。阪大はうまく組み合わせてきますね~。

(1)は単調減少の証明です。微分して負になることを示しましょう。第1項はxが下端にあるので符号には注意。

(2)は左辺≦中辺は(1)がそのまま使えます。右側は意外と難しい?b-aがあるので、a≦t なのでe^(-t^2/2)≦e^(-a^2/2) とすればそのままa~bまでの積分となります。

形的に平均値の定理(積分系ですが)も思いつきやすいですね。(Principle Piece III-32  数学III 微分法の応用  p.11-12)

(3)は(2)を利用するのでしょう。であればはさみうちです。(2)の不等式の真ん中の形に合わせるために、nt^2=x^2になるような置換積分をしてInを評価し、1/n・logIn の不等式を作ります。右側はすぐに-1/2と出ますが、左側はちょっと複雑な見た目をしています。-1/2が出てくる項以外は0に収束するはずなので、0になると分かるように項を分けていきましょう。

 

※KATSUYAの解答時間20分。(1)は微分するだけ。(2)の左辺は(1)をそのまま。右辺は平均値の定理で。(3)は(2)を使う→はさみうちと判断。置換が必要か。ルート入るけどいいんかなと思いながら計算。ルートは消えるのね。右辺はすぐに終了。左辺も-1/2のはずだが、、、まだ何か山がある?と思いながら項を分けて終了。

☆第2問 【複素数平面+確率+数列】点列(BC、40分、Lv.2)

複素数係数で漸化式を作って、それを複素数平面上に点列で表す問題。確率も混ぜてきます。

最初の2つは具体的に数字がはいるので、順番にたどっていってもそこまでしんどくはないでしょう。周期性があることが分かります。(1)はw=ω(オメガ) なので、ω^3=1やω^2+ω+1=0を駆使するとやりやすいです。

(3)を出すには、一般項が必要です。複素数係数であっても、いつもの3項間漸化式を用いればOK。(Principle Piece B-18  数学B 数列  p.39-44)

z_63=0なので、wの63乗が-1になればいいと分かります。(ただし、w=-1となるものは除く)あとはサイコロ2個なので、いざとなれば全調査ですね。(Principle Piece A-7  数学A 集合と場合の数  p.20)

※KATSUYAの解答時間28分。全体を見る。最初から一般項の方がいいよな?思い、一般項を出す。(1)はωに、(2)はiになるのね。(3)はn=63を入れて条件を出す。うーん、全部探した方が早いな。全調査して終了。

☆第3問 【図形と式+積分法の応用】対称式と領域、回転体の体積(B、25分、Lv.2)

対称式絡みの領域を図示させ、それを回転させる問題。数IIIがこれで3題連続ですが、本問は一番方針が立ちやすいですね。

(1)がなくても阪大理系受験者は気づくべきですが、(2、√2)という点はたしかに最初の不等式は満たします。しかし、そもそもこのようになる実数s、tは存在しません。

(2)から始まるのが普通です。条件式を(s+t)^2-2st≦6とするのはもちろんですが、s、tに関する実数解条件を忘れないようにしましょう。(Principle Piece II-61  数学II  図形と式 p.64)

最後は回転体です。領域が回転軸をまたいでいますので、対称移動で折り返しておきましょう。結構計算はメンドウです。(Principle Piece III-78  数学III 積分法の応用 p.37)

※KATSUYAの解答時間17分。(1)は初見だと結局ミスりそう。(2)が出来るかどうかだけでよかったはずでは?(3)の計算はもう少しラクにしてほしかった。交点にもルート入るので、結構メンドウ。

第4問・・・【整数】有理数の生成、論証(D、50分、Lv.3)

論証をまじえた整数問題で。大物に近い難易度を持っています。本セット最難問でしょう。

(1)はpとqが互いに素であれば、pとp+q、qとp+qも互いに素になることを言えればOK。最初は(p、q)=(1,1)から始まりますので、そこから生成される有理数は全て互いに素ですね。

(2)から難易度UPです。説明が難しいですが、表れない有理数が見つかったときに、そこからその有理数は実は表せることを示すことになります。そのためには、表れない有理数のうち分子と分母の和が最小のものを考えることになります。それより和の小さい有理数全ては表せるはずですが、そこから操作的に結局それも表せると言えばいいわけです。

S台さんの解答はかなりすっきりしていますが、こちらも分子と分母の和に着目して、自然数に関する証明であることから帰納法(完了法のタイプ)をもちいています。(Principle Piece B-23  数学B 数列  p.50-57)

いずれにしても、「分子と分母の和」に着目しないとダメですね。

(3)はさらに難易度UPですが、実は同じように同じ有理数が現われるとして、その中で分子と分母の和が最小になるものを考えると、操作する前の有理数も同じになりますが、最小性に反しますね。

こちらはK塾さんのが分かりやすいかと思います。S台さんも似ていますが、同じ有理数はその手前から同じ操作によって得られる(1より大きければ左上に戻り、1より小さければ右上に戻る)ことは述べておいた方がいいかと思います。

(4)は逆からたどるといいです。ユークリッドの互除法の考え方が生きてきます。44=19×2+6 なので、19/44→19/25→19/6とできます。 今度は分子を小さくするので、19/6→・・・・1/6まで来ます。ここまでくれば、最初からたどれますね。

※KATSUYAの感想:解答時間27分。大物の論証のにおいがする。(1)はgとおいてg=1を示す。(2)はどうする?どこかで「初めて」表れるとするか。「初めて」って何をもって「初めて」とすればいい?と考えて、上記の方針を思いつく。。(3)もこれで行けるわ。危ない。これを思いつかなかったらヤバかったかも。(4)はたどるだけ。

☆第5問・・・【ベクトル】2球面の交線(B、20分、Lv.2)

2つの球面の交線に関する問題です。題意が読み取れれば比較的ラクな問題かと思われますが、私は最初中身まで入れてCかと思ったので、「そんな球面ないだろ」と思っていました^^;

球面と球面の交線だけをCとしているので、ただの円になります。これなら、いろいろな球面が考えられます。球の中心を通る平面で切断して考えるという原則に従えば(1)(2)どちらも解決します。(Principle Piece I-53  数学I 三角比  p.40)

切断して考えると、2円の交わりととらえられ、交線の円の中心と半径が分かります。(1)はその半径の円を書けば、接するような感じで交線が現われます。(2)は切断図の交点からの距離が√3になるような中心を結ぶ直線上にあればOKです。2つあります。

中心の座標が必要なので、中心から中心へ向かうベクトル(1,2、2)の単位ベクトル(長さの3でわったもの)を用意しておくと、ベクトルでたどりやすいです。

※KATSUYAの解答時間23分。上記のとおり、題意を勘違いしたため、「何言ってんの?」と思っている時間が10分以上あります。意味が分かってからは急いで解答。Cってたしかに円っぽいけどな。もうちょっと表現ないかね、これ。

4.対策

阪大は良問ぞろいです。融合型が多く、分野はまんべんなく出ます。中でも確率、整数、微積は頻出なので、重点演習が必要。昔の傾向からすると、複素数平面は東大や京大に比べると頻度は少ないかもしれませんが、出てないわけではないので油断はできません。(2019年は複素数平面出てます)

阪大は微積で空間図形のことが多いので、空間図形の演習も必要です。図形的な感覚よりも、数式処理で考察できることを重視しましょう。感覚だけでは、積分計算に持ち込めませんので。

原則の習得は早めに終わらせ、早い段階で入試演習へ移行したいところです。阪大数学は下記のように単科長年タイプの本もありますので、傾向つかむ上でも早めに購入しておきましょう。本格的にやるのは秋以降でもOK。先に入試標準レベルまでは最低限行い、できれば仕上げ段階まで行いたいところです。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

 

 

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 確率 (第2問)

★ 数学A 整数 (第4問)

★ 数学II 図形と式 (第3問)

★ 数学B ベクトル (第5問)

★ 数学B 数列 (第2問)

★ 数学III 複素数平面 (第2問)

★ 数学III 微分法の応用 (第1問)

★ 数学III 積分法 (第1問)

★ 数学III 積分法の応用 (第3問)

★ 計算0.9【IAIIB】 (計算練習帳です^^)

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