京都大学 理系 | 2020年大学入試数学

   

●2020年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2020年 大学入試数学の評価を書いていきます。

2020年大学入試(国公立)シリーズ。
京都大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





京都大学(理系)
(試験時間150分、6問、記述式)

1.全体総評~質の高いセットで難化~

昨年比難化です。京大らしさが戻ったといえます。手のつけやすい問題と手がつきにくい問題の差があるので見分けられると思いますが、手のつけにくい問題の割合が多いセットです。計算量としては普通か、普段に比べれば少ない印象。

分野的には数IIIが半分(複素数平面、極限、積分)、あとは整数、場合の数、ベクトルですが、手がつけやすいのは数IIIの3問です。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は185分。

2019年:185分

2018年:230分

2017年:170分

2016年:185分

2015年:195分

2014年:175分

2013年:140分

2012年:187分

2011年:135分

2010年:152分

2.合格ライン

第1問がキー問題か。典型パターンで演習ずみのはずだが、数値の汚さに負けなければ解ける。

第2問は最易問かと。これは取りたいが(2)が思いつけるか。

第3問は空間ベクトル。パターンからは外れていて、方針が立ちにくいか。

第4問の整数は最難問。捨てて他にいくべきかと。

第5問の場合の数はありがちな問題。経験していたらラッキーだが、初見で合わせるのは難しい。

第6問は回転体の回転体でキー問題。切り口の面積が出せれば積分はラク。

第2問を押さえ、第1問も出来れば欲しい。第5,6問はある程度つまみ食いしておけば、なんとか半分にたどりつくはず。出来ないものを捨てて、時間を確保して第5問を気合いで書きだすぐらいの気持ちがある人が勝ったかも。

50%ぐらい(医学部以外)、60%ぐらい(医学部)ですかね。今年は難しいです。


3.各問の難易度

☆第1問 【複素数平面】複素数解の位置関係(B,25分、Lv.2)

3次方程式の解が正三角形になるようにする問題で、典型パターンです。全体のセットを考えると押さえておきたいところ。

この手の問題は、解を成分表示して図形情報と対応させるのがいいでしょう。虚数解は持つとすれば共役とペアですから、実軸対称です。これらから、虚部の2倍が1辺であることや、実部と実数解の差が√3a×sin60°であることなど、

解を表すことができれば、あとは解と係数の関係で式を立てればOKです。答えの数値が汚いので、ちょっと戸惑いそうですね。

 

 

※KATSUYAの感想:解答時間13分。パターン問題。上記の原則通りにサクサク進める。aもbも解もずいぶん汚いな^^; もう一度最初から確認するもミスも見当たらないので、このまま終了。

☆第2問 【数列+極限】帰納法、三角関数の極限(B、20分、Lv.2)

解のn乗和に関する証明と、それを利用した極限の問題。こちらも典型パターンに近く、方針は立ちやすいです。

(1)はよくある帰納法で、2つ前まで仮定するパターン(オトトイ法)です。n乗和に関する問題はオトトイ法が有効なことが多いですね。

(2)は(1)を利用します。αの方は大きくなりますが、βの方は小さくなりますので、そちらに書きかえられたかどうか。β^n=偶数ーα^n ですから、これでsin(2nπーθ) の形になりますので、βだけにできます。また、積はー1であることから、最初も1/β^n とできます。

これで、sin●/●に調整する問題に変わります。●が一致していないとダメなので、角度の方に分母を合わせて調整しましょう。

βに変えることをなぜ思いつくかに関してですが、そもそもこの極限は、角度が0に収束しないと使えない公式です。n→∞のときに0になるようなものに書きかえる必要があります。

※KATSUYAの解答時間9分。これも比較的ラク。数IIIが2連続やけど、パターン多めやな。

 

第3問 【空間ベクトル】球面上の4点と内積の値(C、35分、Lv.2)

球面上の4点について、与えられた内積の情報から残りの内積を出す問題。方針が立ちづらく、ギブした人の方が多いと思います。

球面上にあることから、OA~ODは長さがみんな1です。内積が等しいことで、例えばAC=BC、AD=BDなどが言えます。医一番のポイントは、AB=CD=1であること。ここから、AやBを空間上に座標で置くことを思いつけば、最後までたどり着いたかもしれません。

AやBはどこに置いても一般性を失いませんから、対称性の高い置き方がいいでしょう。私は(√3/2,0,±1/2)でおきました。

次のポイントは、AC=BC、AD=BDなどから、CやDがABの垂直二等分面上(私の設定だとxy平面上)、すなわち球面の大円上にあることです。ここから、C(cosθ、sinθ、0)とでも置けば真ん中の内積の式から。θ=135°と出るはずです。あとは、CD=1であることから、Dはこの大円上でCと60°離れていますので、75°か195°。内積kとcosは符号が同じなので、75°を採用すればOKという流れです。

 


※KATSUYAの感想:解答時間23分。最初はかなり思考錯誤しています。内積が分かっていることで4辺は分かっている。残り2辺も等しい普通の四面体の図をかくも、球に内接することの条件が見えなさすぎる→式に出来る気がしないので、先に球を書いてAやBを置いてみる。AB=1?これなら座標ででおけばいいのでは?C、Dも大円上やし。なら三角でおける。進めてみると内積の式が簡単な式で表せて終了。座標思いつかなかったらヤバかった。

 

☆第4問 【整数】3で割り切れる回数の最大値(CD、45分、Lv.3)

整数問題です。m、nに関する式について、3で割り切れる回数が最も多くなるようなものを求める問題。整数問題は京大受験生なら対策済みだと思いますが、本問は本セット最難問で、捨て問です。「せっかく整数練習したのに」という未練も捨てれたかどうか。

3で割れるのか9で割れるのか27で割れるのか未知ですが、このままではどうしようもないときは、余りで分類する必要があります。3や9などで割った余りで分類するべきです。

解き方は様々かとは思いますが、私は式をm^3、n^2+n+3に分けたうえで、それぞれを9で割った余りで分類しています。場合分けが多いですが、合同式を使えばそこまでしんどくはありません。

これにより、f(m、n)が9で割れる場合が限られます。m≡0,3,6(mが3の倍数)かつn≡2のときです。mが3の倍数のとき、m^3の方は27まで割れますので、後者が27で割れるかどうかを探します。n=2,11,20,29と4つしかないので、n^2+n+3を実際に計算し、n=11のときのみ27で割れる(27×5)となることが分かります。

これでm=3k、n=11まで確定です。この状態でもう一度f(m、n)に入れれば、27(k^3+5)です。k=1~10が入りますが、これが3で割れるのがk=1,4,7、10(m=3,12,21、30)のときのみ。実際に計算し、9では割れないことも確認すれば、81で(3で4回)割れるときがMAXだと分かります。

整数問題では、「ある程度で絞れたら全部書き出してでも求める」という気持ちが正解に導いてくれることも多いです。その気持ちを常に持っておきましょう。

※KATSUYAの感想:解答時間25分。最初は3で割った余りで分類して途中までやるも、道のりが遠そうなので一旦リセット。9でいってみるか。9の倍数になるときである程度絞れたので、書き出し覚悟で進める。nは4つしかないので迷わず全計算。27の倍数になるものがさらに絞れた。27でくくった因数をさらに剰余で分けると、3の倍数になるものが4通りしかないので、さらに全計算で終了。


☆第5問 【場合の数】4×4方陣に数字を入れる方法(C、30分、Lv.2)

数独を題材にした問題です。縦、横それぞれに1,2,3,4が1回ずつ入る方法となります。経験していた人は手が進みそうですが、初見で合わせるのはちょっと厳しいでしょうか。

Kさん、Sさんの解法を確認しました。Kさんは最初がテクニカルな分、4通りの書き出しで済んでいます(ここだけ手書きじゃないので、何かのテキストの解答ですかね?予想的中ですね^^)。Sさんは9通り+αの書き出しです。こちらの方が素直な発想のような気がします。

私も、Sさんと同じ方法でやっております。1行目が1,2,3、4の場合に、2列目が完全順列の9通り。その9通りに対し、3行目の書き方が2通りになるものと4通りになるもがあります。(4行目は3行目まで決まれば1通り)私は実質、この24通りについて書き出しています。

私がかかった時間を見て、24通りぐらいなら大したことはないと思うか思わないか。第4問に引き続き、数Aは型にはまった解法だけで済む問題が少なく、全調査をする気合いを持つべき分野が多いですね。

※KATSUYAの解答時間18分。記憶だと答えは576通りのはず。1行目1234で何通りあるか調べるのが一番正確やろ、と判断。2行目は完全順列で9通り。全部で576÷4!=24通りのはずやから、、、いいや、全部かいちゃえ!と判断し、全て調査して終了。あくまで個人の考えですが、24通り書いても18分なら、考え込むよりよっぽどいい。

 

第6問 【積分法】回転体の回転体の体積(C、30分、Lv.2)

曲線をz軸回転させ、その曲面をx軸回転させた場合の通過領域の体積を求める問題です。

回転体の体積の問題の原則は、回転する前に切ることです。Sの断面を回転させたものがVの断面です。従って、本問のポイントは、Sをx、y、zの式にできるかどうかです。上記の場合、z軸回転体の場合は、xの部分を√x^2+y^2 にするだけで式が出来ます。回転体の性質から考えても、xy平面上での原点からの距離でzの値が決まるハズです。

ちゃんとやるなら、Sはz軸回転体なので、曲線上のz=tの点を回転させた式を立てればSの断面は出ます。t→zとすることで一般式にできますね。

Sが式に出来れば、x軸回転体なのでx=tで切るだけ。断面はドーナツ型なので、最小半径と最長半径の差のパターンです。原点からの距離を調べましょう。(すぐに単調増加とわかるので、ここでも苦戦はしないでしょう)

最後の積分計算も、たいしたことはありません。log(1+t)=(1+t)'log(1+t)とみなして部分積分でしたね。

※KATSUYAの感想:解答時間15分。Sの式はいきなりはダメかな?とりあえずいきなり書いて求めてしまうことにするも、その先が比較的さくっと進められてしまうので、Sの式を導く過程も書いておく。たぶん書かなくてもあっていれば大丈夫やとは思うけど、、、

4.対策

確率(2020年は場合の数)、整数、微積、さらに複素数平面が頻出。数学Bのベクトルもよく見かけます。立体のほうが好きなようです。

京大は、発想力に重きを置いた問題が出ることがあります。あとは標準問題か超大物です。超大物は完答しなくとも合格は出来ますので、それよりも標準問題で落とさないように、演習をすることが大事です。

原則の習得は青チャートなどで行いつつ、早めに入試基礎演習入試標準演習段階へと進めていきましょう。最終的には仕上げ段階まで行ってから、過去問に接続したいところです。

京大の過去問は単科長年タイプのものがあります。小問を省いた、発想力重視のものもあるので、その癖を実感するためにも、早めに見ておきましょう。


量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいでしょう。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

>> 
2010年度

>> 2011年度

>> 2012年度

>> 2013年度

>> 2014年度

>> 2015年度

>> 2016年度

>> 2017年度

>> 2018年度

>> 2019年度

 - 2020年度大学入試数学 , , , , , , , ,