横浜国立大学 理系| 2016年度大学入試数学
2017/03/04
●２０１６年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は横浜国立大学(理系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１６年 大学入試数学の評価を書いていきます。
２０１６年大学入試（国公立）シリーズ。
横浜国立大学(理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
横浜国立大学(理系)
（試験時間150分、５問、記述式）
１．全体総評～標準レベルが並び昨年より易化～
難易度は、昨年より易化。第５問を除けば標準的で、かつ計算量もそこそこ、という感じのセット、数III重視の配置は変わらずで、本学受験者には、うまくハマっていたのではないでしょうか。共通問題は両方とも数学Bで、確率はなし。
試験時間150分に対し、
標準回答時間は137分。昨年よりかなり短く、ここ数年では最も易しいと思います。
2015年：180分
2014年：145分
2012年：150分
２．合格ライン
第１問は普段よりラク。両方欲しい。
第２問の数列は一番簡単。かならず確保。
第３問は確保したいといいたいが、芋づる式なのでキー問題。
第４問もキー問題。共通接線の扱いがクリアできれば、最後まで行ける。
第５問は２次曲線なので演習量が少ないときついか。（１）は欲しいが、準円も練習してないと難しい。（２）は捨ててもいい。
第１、２、３か４を取りたい。残り時間で第５問の（１）か、３か４に手を付ける。６５強％ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
第１問(1)・・・【微分】単調減少の証明（B,10分、Lv１）
横国名物の、第１問の微積計算です。最初は微分。単調減少の証明なので、f’（x）＜０を証明しろ、ということです。ですので、f’（x）をもう一度微分して増減を調べればOKです＾＾ １階微分し、もう一度微分することで様子を調べるパターンですね。
（拙著シリーズ(白) 数学III 微分法の応用 p.41-42）
※KATSUYAの解いた感想
最初はやっぱ微積か。でも、ただの計算よりはちょっと重い感じのもの。解答時間６分。
☆第１問(２)・・・【積分法】区分求積法、置換積分（AB,12分、Lv１）
（２）は積分で、こちらはほぼ計算問題。ですが、こちらもただの計算問題＋αの積分計算です。まずは区分求積に気づきましょう。
区分求積では、以下の手順を守れば必ず積分の形に出来ます。積分の形ができたら計算するだけです。三角関数の角度はx＋● の形なので、＝ｕで置換すると見やすいでしょう。（置換しなくても出来ます。）
（拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.63-64）
※KATSUYAの解いた感想
横国の、この絶妙な難易度の微積、結構おもしろいな＾＾解答時間４分。
第２問・・・【数列】漸化式（B、20分、Lv.２）
文理共通の漸化式の問題です。条件式が和の形をしているときは、nを１つ上げて（下げて）辺々を引き算すると見えることが多いです。これに気づけば、あとはただの隣接３項間です。
３項間漸化式の解き方は、本学受験者であれば大丈夫ですよね＾＾
（拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.39-44）
※KATSUYAの解いた感想
（１）は計算するだけ。予測系？でも数値からは予想できないし、（２）があるから違うな。nを1つ上げて差をとる。an＞０がいるな。帰納法で示しておき、終了。（３）はただの３項間なので瞬殺。解答時間１０分。
第３問・・・【空間ベクトル】直線と平面の交点、面積比、体積比（B、25分、Lv.２）
空間ベクトルの標準的な問題です。内積計算等はなく、内分比を面積比、体積比に応用させていきます。
（１）はこちらの原則です。
（拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.69）
O、Q、Pは一直線上にあります。基点のOが入っていると実数倍が使えて楽です。あとは、OA,OD,OEに直したときの係数の和が１であればOK。
（２）はADEだけの話なので、今度は基点をAとし、ABをAD、AEで表すことを考えましょう。分母が１１、分子の係数の和が５なので、５／１１を前にかけて調整しましょう。
（３）は高さの比がOP:PQ、面積比が（２）です。難しくはないですが、芋づる式のため、本問は差が付くと思われます。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
空間ベクトルで、、、内積はなし。面積「比」や体積「比」やから、係数だけで勝負するのね。（１）あ原則に従いさくっと終了、（２）はAを起点になおす。この式変形は意外と慣れてないと無理か。（３）は（２）プラスαなだけ。解答時間１１分。
☆第４問・・・【微分法の応用】接線の本数（B、２５分、Lv.２）
接線の本数の問題ですが、両方に接する接線ということで、少しひねってあります。しかし、そのひねられた所は、原則によってすぐにかき消すことが出来ます＾＾
接するときには、とにかく接点をおきます。そうでないと、接線の公式が使えません。円、楕円などの２次曲線でもそうですし、微分を使った接線でもそうです。
（拙著シリーズ(白) 数学II 図形と式 p.26-28）
接点を「t」とおきます。このtの解の個数が、接線の本数になります。「t」に関する条件式ですが、C1における接線と連立して、判別式D=0がいいでしょう。順番を逆にすると判別式が使えないので不利。
定数「ａ」を視覚化すれば、簡単にわかりますね＾＾ ∞での様子は、問題文を利用しましょう。
（拙著シリーズ(白) 数学II 微分法 p.4-5）
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
共通接線の本数なら、原則使い放題＾＾ どっちで接点をおくかな。先にC1で接線つくっておけば、判別式いけるからC1から。「ａ」は簡単に定数分離できる。問題文の式も使える形になるので、確信あり。あとは微分してグラフ書いて視覚化。解答時間１３分。
☆第５問・・・【２次曲線】楕円の準円に内接する長方形の面積（BC、45分、Lv.２、☆のおすすめは（１）だけ）
準円を題材とした問題で、（１）は、青チャートなどで意識的に勉強している人にとっては、ただの作業問題ですが、（２）は計算が煩雑すぎて、こちら最後までたどり着くのはかなつらいです。
準円については、拙著でもかなり大きく取り上げています（拙著シリーズ(白) ２次曲線 p23-24）。数値的には、拙著の問題よりラクです。
（２）はつらい。問題文の座標が（２、１）なのはすぐにわかりますが、傾きが綺麗な数値ではなく、残りの座標は計算が面倒。それでもまともに出しすしかありません。縦と横の長さは、傾きとx座標の差で出すのがラクですが、途中で２重根号も入ります（最後は消えます）し、道半ばで挫折する可能性が高そうdすね＾＾；
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
準円は作業やな。計算は慎重にやらんと、どっかで間違う・・・ほら間違えた＾＾； 準円にならんし。符号がどっか逆やな。見つけて修正。（２）は、なんかうまい方法でもあるんかな。傾きとtanを結びつけてみたりするも、かならず２重根号が出るので、「これはまともにやれってことだな」と覚悟を決めて交点を出し、コツコツ計算。途中の数字もでかいし、これはツライ計算だわ。試験場では誰も合わないだろ。解答時間29分。
４．対策
横国は数学IIIの割合が高く、文理共通問題以外は全てIIIの問題です。しかし、第４問や第５問を見ればわかるとおり、使う知識は数学I,IIも多く入ってきます。IIIを早めに習得し、I,IIの知識も必要な微積総合問題をしっかり演習すれば、6割はとれそうです。
文理共通問題は数Bか数A（確率）が筆頭候補となりますので、こちらの演習も行いましょう。チャートで進めるなら、青です。IIIまで全部やっておけば、かなりラク＾＾
原則習得はしっかりと行い、入試基礎レベル、入試標準レベルまでは行いたいです。8割以上を目指したいのであれば、仕上げレベルまで欲しい。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３でOK。
以上です＾＾
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学II 図形と式 (第５問)
★ 数学B ベクトル (第３問)
★ 数学B 数列 (第２問)
★ 数学III 微分法の応用 (第１問、第４問)
★ 数学III 積分法 (第１問)
★ 数学III 式と曲線 (第５問)
こうやってみると、今年のの出題範囲は相当偏ってますね＾＾；
