東京医科歯科大学 | 2016年大学入試数学
2017/03/02
●２０１６年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東京医科歯科大学です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１６年 大学入試数学の評価を書いていきます。
２０１６年大学入試（国公立）シリーズ。
東京医科歯科大学です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
東京医科歯科大学
（試験時間９０分、３問、記述式）
１．全体総評～数学IIIの微積から出題されずだが難化～
難易度は、昨年よりやや難化。昨年よりも原則に当てはまりにくい問題が多く、数学的なセンスや発想力がかなり問われるセット。IIIの微積が出題されないという、非常に珍しい年になりました。90分ということを考えると、第３問の計算量はどうにかして欲しい。。。
試験時間90分に対し、
標準回答時間は120分。
2015年：115分
2014年：105分
2013年：105分
2012年：115分
2010年：105分
２．合格ライン
第１問は(2)まで、第2問は(3)まで、第3問も(2)までは押さえたい。どれもメインが残っているので、発想の第１問をとるか、計算の第３問をとるか。第２問は（３）の利用に気づけば勝ち。
６０％ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
☆第１問・・・【整数】約数の和、完全数、1の位（C,35分、Lv３）
完全数を題材とした問題です。完全数は有名な題材ですが、全体的には発想力が必要で難しめ。（１）は、約数の総和の公式に当てはめ、1+p+p^2、1+q の性質に注意して絞ればOKです。（２）S(n)＝n+1というのは、素数のときにしか成り立ちません。従って、素数でないことさえ言えればよさそうですね＾＾
（３）は難問。（２）と直接関係ないですが、この形をしていて、S(n)＝２nとなるには、実は「ａ」が合成数ではないことに気づく必要があります。そのときに、2^a-1 と2^a の1の位を調べることで解決できます。しかし、これはかなり難しいですね＾＾；
１の位は、10で割ったあまりです。余りについては、いくつか調査して集計性を見つけるのが最も効率的でしょう。
（拙著シリーズ(白) 数学A p.72）
※KATSUYAの解いた感想
完全数か。（１）約数の和が因数分解の形してるから、これを利用するのがよさそう。（２）は他に約数が１つでもあればいいから、a=pqとおき、他に2^p-1はあるとして終了。（３）は何をすればいいんだ？（5分以上手が止まる）とりあえず、少なくともありえる約数を足すと２nになった。ってことは、これで全部やから、少なくともaは素数か。これで１の位はしぼれそうやな。結構発想力がいるな。解答時間20分。
第２問・・・【空間図形＋微積分】不等式の表す領域の体積の最小値（C、40分、Lv.２）
医科歯科大学が好きな、立体の体積の問題です。しかし、今年は積分計算自体に数学IIIの知識を必要とせず、逆に気づきにくい問題に見えたかもしれません。
（１）はいいでしょう、ぎりぎり、両方からはみ出ますね。（２）は意味がわかればどうってことはありませんが、表現が非常に遠まわしなので、意外と気づきづらいかもしれません。
（３）はただの回転体の積分です。積分式自体はただの２次式で、計算不要。（４）は（３）を利用します。図形的な考察が必要ですが、（３）で求めた部分と立方体、球をうまくたしひきすれば、実は割と簡単に出せます。z＝t で切断して、、、などとおくと、rも変数な上にθもおかないと出せないので、かなり泥沼にはまりそうですが、最初は私もやってしまいましたし、本学受験者であれば逆にやってしまいそうですね。
※KATSUYAの解いた感想
なんか条件がごちゃごちゃしてて、難問の予感あり。（１）は瞬殺。意外とはみ出た図を書くのが難しい＾＾； （２）のr１はすぐに分かった。r２、r３はなんだこれ？でもここにそんな時間かかったら、（４）まで解ける気がしないから、もう少し簡単に考えたい。図を書いて考えてみる。あ、(１、１)が入ればいいのか。なるほど。じゃあr３は（１、１、１）が入ればいいのね＾＾ V(r1),V(r3)なら包含関係あるから簡単。
（３）はただの回転体。急に簡単＾＾； （４）はここぞとばかりにz＝tで切断するも、rも不明なので撃沈。んー、これ積分で出さないのか。じゃあどうやって出す。てか、（３）は何のためにあった？ここで使うのか。あ、分かった分かった。立方体からはみ出た部分がこれなのね。各面ではみ出て、範囲的に共通部分がないから、６つ足せばいいのか。あとは足し引きで出せそうやな＾＾ これ、意外と気づかないと解けないかもしれんな。 解答時間28分。
第３問・・・【２次関数＋積分】絶対値付き関数と定積分関数の最大、最小（B、50分、Lv.２）
絶対値を含む定積分関数の問題ですが、ただの計算マラソンで、場合分け→計算 ひたすらを繰り返すのみです。
（１）は、演算記号はとりあえず戻すとして、x＝０、１、２の境目で場合わけです。パルス波のようなグラフとなります。
（２）はその関数を平行移動して積分ですが、区間を移動させたほうがいいでしょう。ｘ－ｔ＝ｕ とでも置けばOK。
（３）は展開すると、実はただの「s」に関する２次関数です。従って、係数部分を出して平方完成するだけ。しかし、その係数は（２）で求めた関数の定積分値なので、ひたすら場合分けと計算です。しかも、これが３回もあるので、結構膨大な計算量です。
本問の原則は、実質これだけです。
（拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.10-11）
（１）でグラフを書き終わっているので、きちんと使うように誘導されていますね。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
なんかややこしそうな関数＾＾； いや、そうでもないな。ただ場合分けが多いっぽい。（３）まで見る限り、多項式関数のままやな。なんか去年か一昨年か、どっかで大量の場合分けと計算をした覚えがあるけど、その予感。（１）のパスル波はさくっと終了。（２）はまだ場合分けが少ないし、直線なのでラク。（３）はsの２次関数であることは見抜くも、係数が＾＾；これ、３回ともやるのかなりきついやろ～。でも時間の許す限りやるしかないんやろな。 解答時間29分。結構ギリギリか。
４．対策
医科歯科大の問題は非常に独特です。小問で誘導しながらも、そのリフトに飛び乗るにはジャンプ力が必要。また、普段はIIIの割合も高めで、計算力もかなり必要。なるべく早くIIIまで一通り学習し終えて、夏以降には量をこなしつつ、質の高い演習も並行したいです。形式になれるには、過去問を20年分ぐらいやっておきたい。
量をこなす演習：じっくり演習＝６：４ぐらいでしょう。
以上です＾＾
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学II 積分 (第２問、第３問)
★ 数学B ベクトル (第２問)
★ 数学B 数列 (第１問)
★ 数学III 積分法 (第３問)
★ 数学III 積分法の応用 (第２問)
（回転体なので一応入れておきましたが、実質数IIです）
