大阪大学 理系 | 2010年大学入試数学
2017/01/24
※注 ヒントを見ないでこの大学の入試を解きたい人は、解き終わってから見てください。ネタバレがあります。
大学入試シリーズ第３１弾。
国公立シリーズ第６弾。
大阪大学 理系です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの「標準的な時間」です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。
大阪大学（理系）数学
（試験時間１５０分）
１．全体総評～標準より上レベルで揃った良問～
良問セットです。どの問題も標準ちょい上レベルで、方針を間違えると泥沼にはまるという落とし穴が用意されてます。
分野もⅢＣから１題ずつ、整数、空間図形、確率と非常にバランスの取れた出題となっています。
試験時間１５０分に対し、目標解答合計時間は１３５分。
もう少しボリュームが欲しいところですが、
１問ぐらい泥沼にはまってちょうどぐらいでしょう。
２．合格ライン～完答はし難いが、食らいつきたい～
「これは完答したいレベル」の問題がないので、全体として２完３半ぐらいの６５％ぐらいですかね。
逆に医学部では、このレベルなら４完はしたい。最低８０％。
３．各問の難易度
第１問・・・微積分（B、２５分、Lv.２）
いきなり数Ⅲで重量感のありそうな問題ですが、計算がややこいだけであまり考えさせられるものではないです。
（２）は部分積分の正確な適用と計算、（１）の利用がカギでした。計算を間違わずにやって波に乗りたいところ。
☆第２問・・・２次曲線（B、２０分、Lv.２）
楕円と双曲線。放物線のときに限らず、２次曲線では交点は最後まで計算しないのが得策。
本問はいい例ですね。交点を最初にだすと計算量も膨れますし、θも混じるので混乱しがち。
（Ｘ，Ｙ）とでも置いて最後まで放って置くと楽でしたね。
☆第３問・・・整数（Ｃ、４０分、Lv.２）
本セットの最難問と思われます。条件も式も単純なので、逆に難しかったのではないでしょうか。
整数問題の最大の特徴は、「値がとびとび」ということ。よって多少広くてもいいから範囲を絞ることです。
（拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.45～）
１０通りぐらいなら全部調べるぐらいの気持ちも必要です。さらに絞るために頭ひねるぐらいなら、鉛筆動かして全部調べたほうが早いこともおおいです。
本問では式を見て、ｍやｎがあまり大きくなれないことに気づけばなんとかなりますが、これはもうセンスですね。
☆第４問・・・空間図形、体積（Ｂ、３０分、Lv.2）
球の中心の存在範囲の体積を求める問題。空間図形の中では難しくない方ですが、差がついた問題かもしれません。
球が複数ある場合は、「複数の球の中心を通る平面」を考えましょう。見通しがよくなります。
（拙著シリーズ(白) 数学Ⅰ 三角比 p.40）
そうすれば３次元での様子は、球の中心を通る直線を軸にして１回転させたものになります。
球絡みの問題では、求める存在範囲も回転体と思って見ましょう。
本問はそれに気付けば割とあっさり解決するため、差がついたかもしれません。
☆第５問・・・確率（Ｂ、２５分、Lv.２）
立方体の点の移動の問題で、確率と漸化式を絡めています。（１）と（２）は出来るでしょうが、（３）以降は（１）と（２）の結果を吟味し、（３）の問題とうまくリンクさせることですっきり解けます。
確率と漸化式は、本サイトで最も出現回数が多いと思われる原則ですね＾＾
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 pp.39-43）
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 pp.39-43）
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 pp.39-43）
本問は問題文で文字を全ておいてくれていますので、漸化式を解く部分がメインとなります。漸化式はn乗型です。誘導なしですが、阪大受験者なら解けないとマズイですね。
（拙著シリーズ(白) 数学B 数列 pp.334-35）
最後の極限は、漸化式が解ければほぼおまけです。
４．対策～標準＋αの演習を～
標準レベルの問題を演習しながら、さらに一つ上のレベルを行うといいでしょう。
青チャートの総合演習以外を行い、その後に総合演習にじっくり取り組むのもいいです。
頻出分野の図形と確率は対策をとりたいところです。数ⅢＣも忘れずに。
以上です。
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(もしくは、本サイト右側のカテゴリーよりどうぞ＾＾)
■関連する拙著シリーズ■
★ 数学A 確率 (第５問)
★ 数学III 積分法の応用 (第４問)
★ 数学III 積分法 (第１問)
★ 数学III 式と曲線 (第２問)
★ 数学A 整数 (第３問)
★ 計算０．９(計算練習帳です＾＾)
