京都大学 理系 | 2017年大学入試数学
2017/06/25
●２０１７年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(理系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１７年 大学入試数学の評価を書いていきます。
入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。
２０１７年大学入試（国公立）シリーズ。
京都大学(理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
京都大学（理系）
（試験時間150分、6問、記述式）
１．全体総評～昨年同様、差の出やすいセット。微易化～
難易度は昨年並。昨年度と同様に差の出やすい難易度の問題が多い。複素数平面は１番に登場。２、３、４あたりが取れそうで意外とてこずるか。分野は微積、ベクトル、確率（＋漸化式）、など頻出分野で昨年とほぼ同じ。東大より手応えを感じるセット。また、あまり２次では出題されない平面図形の分野から２年連続で出題。
試験時間150分に対し、
標準回答時間は170分。
2016年：185分
2015年：195分
2014年：175分
2013年：140分
2012年：187分
2011年：135分
2010年：152分
2014年並みの難易度と言えそうです。
２．合格ライン
第１問は簡単とは言わないが、全体から考えて確保したい。
第２問、第３問はキー問題。
第４問は本セット最難問で、（２）は結構難しい。
第５問は計算量が多いが典型パターンなのでコツコツやって抑えたい。
第６問は確率と漸化式で、京大としては簡単なので確保したい。
１、５、６で確保して、残り第２、３問のどっちかを確保できれば６割強。医学部なら４完１半ぐらい欲しい。
6５％ぐらい(医学部以外)、75％ぐらい(医学部)ですね。
３．各問の難易度
☆第１問・・・【複素数平面＋式と曲線】軌跡、媒介変数表示（B,20分、Lv.２）
複素数平面を利用した軌跡の問題で、うまく媒介変数、定数を入れ替える設定になっています。（１）、（２）ともにx、yについての式はほぼ同じ形をしています。
（１）は偏角が変数ですので、sin^2θ＋cos^2θ=1を利用しましょう。（２）では、rが変数ですので、ｒ＋１／ｒ＝・・・、ｒ－ｒ１／ｒ＝・・・に直して、2乗の差を取りましょう。r＞０なので、定義域に制限があるのを忘れずに。
※KATSUYAの解いた感想
複素数平面、というより媒介変数の問題。軌跡でｘ＋ｙｉとおくのだから、当たり前か。（１）はθが変数やから相互関係。（２）は、ほぼ同じ式やけど、偏角は決まっているので、rが変数。2乗の差のパターンか。うまく設定してきたな。そんなに難しくはないけど＾＾：解答時間９分。
第２問・・・【空間ベクトル】四面体と八面体（BC、30分、Lv.２）
四面体の各辺の内分点を結んだときに正八面体になっているなら、内分点は中点でかつ四面体も正四面体になっていることを示せ、という問題です。
抽象的ですが、こちらの原則にしたがって行くしかありません。
（Principle Piece 数学B ベクトル p.62-63）
OA,OB,OCを基本ベクトルにして、線分上の内分点も全てs：１－sなどとおいていくしかないでしょう。文字が多くはなりますが、今は内分点はバラバラです。（１）は平行なので実数倍（k倍）となります。bベクトルの係数を比較すれば題意の部分は得られます。
（２）は、（１）をさらにうまく使えばいいです。正八面体なので、D,G,F,Eの4点で結ばれる部分は正方形になりますので、k＝１ということです。これに気づけば、他の部分の内分比の関係も得られます。
これと同様の操作を、D,H,F,I、さらにG,H,E,Iの4点でも行うと、全て中点だと分かります。全て中点であれば、例えばOABとDEHは相似な三角形であると分かりますが、そのDEHは正八面体の面で正三角形なので、OABも正三角形となりますね。
※KATSUYAの解いた感想
抽象的な四面体問題。京大はこのタイプ好きやな。とりえあえずａ，ｂ，ｃで置いて、文字で内分点を設定してひたすら計算。（１）はさくっと終了。（２）は、とりえあえずk＝１で関係式をさらに出す。他の部分でもやってみると、全て中点が言える。結構量が多いな。とりえあず前半はOK。正四面体であることを言うなら、内積導入か。いや、中の三角形と外の三角形相似で、中は正三角形だから外も正三角形やな。よしよし。解答時間22分。
☆第３問・・・【三角関数＋整数】倍角、加法定理、方程式の整数解（C、30分、Lv.2）
ｔａｎの加法定理や倍角と絡めた整数問題です。設定はすっきりしており、かつ適度に難しく良問です。
とりあえず左辺の式をp、qで表すしかないでしょう。tan２βを計算すると、q＝１ではマズイことがわかりますので、q＝１は別で場合分けを行っておきましょう。
左辺＝２を整理した式は、pについて１次式ですので、p=・・・の形にすると見えたと思います。自然数となるには、少なくとも分子は分母以上です。qが大きくなれば分母のほうが大きいのは明らかなので、これで絞れますね＾＾
（Principle Piece 数学A 整数 p.45）
どのようにして候補を絞るか、というったところが演習量の差として出てきそうです。「奇数か偶数か」などは分かりやすいですが、今回のような「自然数なので１以上」といった当たり前のことほど、見抜きづらいですね。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
整数問題かな。とりあえず加法定理で左辺を変形する。2βの式見て、q＝１はマズイので場合わけかな。とりあえず式の分母を払う。ごちゃっとしてるけど、pは１次式やからp＝になおす。これが自然数になるには、、、いや、とりえあず１以上で絞るか。qが大きいと分母のほうが大きくなるので、絞れるはず。２～６と出た。さらにqは奇数でないとマズイから３か５しかないな。q＝１の場合は別で行い、有り得ないことを証明して終了。 解答時間１１分。
第４問・・・【三角比＋三角関数 or 平面図形】内接円の半径の取りうる範囲（CD、40分、Lv.３）
本セット最難問はこれでしょう。意外と手をつけられそうにみえますが、実は結構難しいと思われます。（１）の誘導をうまく使えれば、PがBCを見込む角が120°となるような部分を動くこと、内接円の半径はそのPからBCに下した垂線の長さであることを両方利用すると上手くできます。
前者は平面幾何の知識で、かつ後者は当たり前の事実なので、（１）があったとしても気づきにくかったかもしれません。なお、私は（１）の意図がよくわかず、（２）の内接円の半径は、Sを媒介として三角比と三角関数でゴリ押ししました。なお、三角形絡みの問題では、和積を駆使するとうまく行くことが多いです。
A+B+C=180°、360°のときに等式を証明せよ、といった問題でよくやりますね＾＾
（Principle Piece 数学II 三角関数 p.43）
ただし、式変形の過程はかなり長く、どこまで変形すればOKか（最もわかりやすい形なのか）も判断しづらいので難しいですね。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
（１）は内心やから角の二等分線の性質使って終了。（２）は（１）を何に使うか気づかず、とりえあず∠B＝θとおいてAB,BC,CAを正弦定理使って表し、面積→内接円の半径へ持っていく。和積でθを消せる変形にもっていけるかな。分母を積→和、分子を和→積に。お、角度はちょうど2倍やし、いけそう。約分もできて意外とすっきりしたので安心。θの範囲は鋭角三角形やから30～90かな。定義はされないが、端っこで値等しいはず。確認して終了。解答時間23分。（１）をどう使うかを考えてた時間が結局ロスやなぁ。
☆第５問・・・【積分法の応用】面積の最大・最小（B、30分、Lv.２）
面積の最大、最小です。途中で上下が入れ替わるパターンで場合分けをする必要が有り、題材的には絶対値付き定積分とほぼ同じです。 上下が入れ替わる区間と積分区間の大小で分けましょう。
（拙著シリーズ(白) 数学II 積分法 p.17-21）
本問の場合は、x＝√２上の曲線を通るときのａに加え、x＝０における接線の傾き（y’＝１）との大小でも上下関係が変わることを判断できたかどうか、です。なお、交点で議論してもできます。
したがって場合分けは３つですが、真ん中以外は面積的にも単調性がほぼ明らかで、面積を計算する必要はないでしょう。真ん中の式はその後さらに微分して増減表を書きますので、計算量は比較的多めです。
xe^-xの積分は部分積分で行いますが、頻出の式ですので、結果を知っておいてもいいでしょう。
（拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.9）
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
上下関係で場合分けパターンね。x＝０での傾き以上か以下かと、あとは端っこの点通るかどうかやな。途中の交点は求ま・・・るから「t」でおく必要は無し。てか、求まるならx＝０の傾きで議論しなくてもいいのか。まいいか。真ん中以外は単調なのでそれを述べる。面積の式を出し、またそれを微分。意外と計算量多いな。解答時間18分。
第６問・・・【確率＋数列】確率と漸化式、n桁の数の和（B、20分、Lv.２）
今年も京大は確率と漸化式で持ってきましたが、京大にしてはかなり簡単な方です。
３で割り切れるとのことなので、桁の和が３の倍数とすぐに読み替えは出来ると思います。n枚の和が３である確率ということで、漸化式タイプと分かります。お決まりの原則です。まず遷移図。
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43）
桁の和が３の倍数以外にも、３で割って１余る、３で割って２余る場合も文字でおいてみるとといいでしょう。
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43）
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43）
漸化式はただの４型ですので、簡単に解けます。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
お、確率と漸化式。問題を見て、「あ、これ簡単なタイプだわ」と少し期待はずれ。あまり考えることもなく、３の倍数とそれ以外のみで分けて問題なさそうやな。漸化式を立てて終了。解答時間7分。
４．対策
確率、整数、微積はほぼ確実に出題されます。新課程の複素数平面も、昔好きだったので要注意です。数学Bのベクトルもよく見かけます。立体のほうが好きなようです。
京大は、発想力に重きを置いた問題が出ることがあります。あとは標準問題か超大物です。超大物は完答しなくとも合格は出来ますので、それよりも標準問題で落とさないように、演習をすることが大事です。
原則の習得は青チャートなどで行いつつ、早めに入試基礎演習→入試標準演習段階へと進めていきましょう。最終的には仕上げ段階まで行ってから、過去問に接続したいところです。
京大の過去問は単科長年タイプのものがあります。小問を省いた、発想力重視のものもあるので、その癖を実感するためにも、早めに見ておきましょう。
量をこなす演習：じっくり演習＝６：４ぐらいでしょう。
以上です＾＾
■他年度の、本大学の入試数学■
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学A 確率 (第６問)
★ 数学A 整数 (第３問)
★ 数学A 平面図形 (第４問)
★ 数学II 三角関数 (第３問、使うなら第４問)
★ 数学B ベクトル (第２問)
★ 数学B 数列 (第６問)
★ 数学III 微分法 (第１問)
★ 数学III 微分法の応用 (第５問)
★ 数学III 積分法の応用 (第５問)
★ 数学III 複素数平面 (第１問)
★ 計算０．９【IAIIB】 (計算練習帳)
見る限り、昨年と出題分野はほぼ同じようです。
