大阪公立大学文系数学講評| 2022年度大学入試数学

2022/03/30 2024/03/30

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●２０２２年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は大阪公立大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２２年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０２２年大学入試（国公立）シリーズ。
大阪公立大学(文系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

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大阪公立大学　文系
（全4問、90分、記述式）

１．全体総評～文系にしては厳しめのセット～

大阪公立大学としての試験は今年からですが、理系同様に旧7帝大の文系に近いレベルで、文系には厳しめセットでした。小問うまく解法を変えないとすんなりいかない問題や、計算量の多い問題が並んでいます。理系同様に小問に分かれていますが、脈絡のないものもあります。

分野的にはベクトル、数Ⅱ図形、式と証明＋整数、微分で、確率の出題はありませんでしたが、バランスはとれていると思います。

試験時間90分に対し、標準回答時間は100分。方針に詰まってしまうと時間が来てしまいます。

２．合格ライン

第１問は本セットの中では一番マシですが、(4)は意外と差がつくかも。幾何的にアプローチするとすぐできる。
第２問はキー問題。(1)は何とか合わせたい。(2)は差が出る。
第３問も意外とキー問題。(1)(2)は知らないと難しい。(3)(4)は独立だが、とあることに気づくかどうか。
第４問は難しい。(2)まではおさえたい。(3)は式変形技術も必要で、加えて計算もまあまあ繁雑なのでキツめ。

第１問をなんとかおさえ、第2問の(1)と第４問(2)までを取る。第2問の(2)が取れれば。55%ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問【平面ベクトル】cosの値、三角形の面積など（AB,20分、Lv.１）

平面ベクトルの基本的な問題です。与えられた条件式を素直に使っていくだけ。

条件式から、基本的には何でも出せるはずだと思えれば、まずこれで波に乗りたいところですね。

Principle Piece

平面ベクトル → 基準2ベクトルと「基本3量」の決定を

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 平面ベクトル p.25 参照）

(1)はAを取ってOBに平行なので、ベクトル方程式の考え方でOC→=OA→＋ｋOB→とすればOK。これさえ置ければ条件式2つからｋの値を1つに特定出来ます。

(2)は(1)が出れば、内積の定義式を変形したcos＝・・・の式にあてはめるだけ。

(3)は(2)のcosからsinだして三角比の面積公式でOKですね。

(4)はDの位置を特定する必要がありますが、図形的にアプローチしたほうがいいです。OBACが台形でOB:AC＝１：４であること、および線分比＝面積比を利用すると(3)のOACから簡単に出せます。

ベクトルで面積を聞かれたときは、求めやすいところから線分比＝面積比で出す問題は共通テストでもよく見ますね。

※KATSUYAの解答時間は10:32です。波に乗らせるための問題かな。(4)は上記の通り図形的にアプローチ。

☆第２問【図形と式＋積分】面積、放物線と円の共有点条件（B、25分、Lv.２）

円と放物線が絡む図形の問題で、(1)で面積、(2)で共有点条件を聞いてます。試験としても差が付きやすい＋演習価値もある良問です。

(1)はａ，ｂが具体的に与えられていますので、交点を出しましょう。x^2を消去するとyの方程式になります。ｙの値に応じて対応するｘの個数は変わるので注意。

Principle Piece

円と放物線の共有点の個数の注意点

[1] yに関する方程式の解の存在範囲　[2] ｙの値に応じてxがいくつあるか

（詳細は拙著シリーズ数学II 図形と方程式 p.84 参照）

y=－1のときは1個、y=1/2のときは2個ありますね。

(２)は一般的に考察します。同じようにx^2を消去してyに関する2次方程式を作りますが、実数解条件だけではダメ。上の原則のように、yの範囲に気を付けましょう。円周上の点ですから、－１～１で少なくとも１つ解があるようにすればOK。

「少なくとも１つ」タイプは解の存在範囲の中では最もメンドウなタイプですが、次のようにちょっと被せて場合分けするのがラク。

Principle Piece

少なくとも1つの実数解 →2つ or f(p)f(q)≦0

（詳細は拙著シリーズ数学I 2次関数 p.109 参照）

2つの解を持つ場合で、端点f(-1)、f(1)の符号がともに正であることが分かるので、軸と判別式の条件だけとなり、後半の方は成り立たないことが分かりますが、どちらを先に調べるかで答案量も変わるので、見た目ほどすんなりいかないと思います。

※KATSUYAの解答時間は17:34です。(1)の面積計算で、積分側の方がなんとなくアヤシイ数値な気がしたので見直してミス発見した。たくさん演習をしていると、数値でアヤシサに気づけたりするので、演習量は大事。

☆第３問【式と証明＋整数】下5桁の数字、桁の和の2乗、4乗（BC、25分、Lv.２）

前半は下5桁、後半は条件を満たす整数を求める問題。(1)(2)はどちらも二項定理利用、(3)(4)はどちらも整数問題ですが、基本的に関連はなく、どれも独立で解けます。(1)(2)は頻出パターンなので演習しておきたいですね。

(1)(2)は同じ原則に従うだけです。下5桁＝10^5で割った余りです。大きい数字で割った余りは合同式では難しいです。今回は累乗で割った余りなので、二項定理が有効です。

Principle Piece

累乗で割った余りは二項定理の併用も

（詳細は拙著シリーズ数学A 式と証明 p.78、または数学II 式と証明 p.52 参照）

(1)は(1000+1)^15として1000の指数が1,0の項だけ調べます。

(2)は7^4=2401 がポイント。そのうえで(2400+1)^20として2400の指数が2,1,0の項だけ調べます。指数が2の項も100000で割れます。

なお、(2)は私のYouubeチャンネルでも解説しています。

(3)(4)は(1)(2)と関係なくただの整数問題ですが、求める自然数がそもそもかなり絞られます。(3)は●^2と表せる2桁の数、(4)は●^4で表せる4桁です。これに気づけば、あとは条件に当てはまるものを探すだけです。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は12:42です。(2)は初見ではないので、参考記録と考えて下さい。(3)(4)はほぼ算数＾＾；意外とこういう問題の方が差がつくかも。

☆第４問【微分法】法線と3次関数のグラフの共有点条件（C、30分、Lv.2）

最後は微分法の問題から。微分の知識自体はそこまで使いませんが、計算がかなりメンドウなので難しかったと思います。

(1)は接線の公式そのままです。

(2)は垂直な直線(法線)の方程式です。x軸に垂直なときもあるので、ｙ＝・・・の形ではなくax+by+c=0の形にしたほうがいいです。ｙ＝・・・の形で答える場合は、a=√5/3 の場合とそうでない場合で分けないとダメです。

(３)は難しい。連立してyを消去しますが、x=aを共有点に持ちますので、x－ａを因数に持つと気づくの第1関門。これを見据えておくと、x^3とa^3を組み合わせておくなど、うまく整理できます。残った式＝０が実数解をもたない条件を探します。

2次の係数が文字が入っているので、0の場合を先に片づけます。グラフ的には、ｘ軸に垂直な直線の時です。そうでないときは判別式Ｄ＜０になりますが、これがａの6次方程式になります。a^2がカタマリになるのは見えると思いますが、因数分解もそんなに簡単ではなく(出来るかどうかも分からない)、かなりキツイと思われます。

結局この式はa^2をカタマリとして、有理数係数で因数分解され、それさえできればa^2の範囲が出せますので、aの範囲も出せますね。

別解として、グラフ的で視覚化することも出来ます。l2がf(x)とx=aで交わり、もう1点で接するような場合を考えます。その場合は、解と係数の関係で簡単に接点のｘ座標は出せます。

Principle Piece

接点以外の交点はサボれる

（詳細は拙著シリーズまたは数学II 微分法 p.60 参照）

このときの接線がL1と垂直になるようなａが、共有点の個数が変わる境目です。あとはグラフで視覚化すると、どのように共有点の個数が変わるかが見えます。

いずれにしても(4)は難しいですね。

※KATSUYAの解答時間19:58。(1)はさくっと。(2)はｘ軸に垂直なときがあるから分母を払って整理。(3)は素直に連立すだけやけど、細かい場合分けもいるし、判別式もメンドウ。これは捨ててもいいかな。

４．対策

レベル的には7帝大レベルに近く。同じ大阪の阪大文系と比べても大きく劣らないと思います(年によっては阪大の方が簡単)。分野は数IIが中心ですが、ⅠＡの手法も当然使います。小問で刻まれてはいるものの、つながりがなかったりもするので、やりにくさもあります。式変形をしながら、前問とは独立しているのか、どこかで使えそうな式が見えるか、常に意識する必要があります。計算量も文系としてはしんどいものがありますので、計算は怠らずに行いましょう。

原則習得タイプの問題集で早めに手法を一通りマスターし、次の入試基礎演習の段階まで終えたら、融合問題を多く解く演習をしましょう。医学部なら、仕上げレベルまでやったほうがいいかもしれません。

なお、拙著『Principle Piece』シリーズであれば「原則習得」「入試基礎演習」の両方の段階を兼ねていますので、この後にもう入試標準演習の問題集に接続可能です＾＾

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３でOK。