東京工業大学 数学 | 2013年
2017/02/03
●２０１３年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東工大です。
２０１３年 大学入試数学の評価を書いていきます。
東京工業大学です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。
東京工業大学 数学 （試験時間１８０分、５問）
１．全体総評～大問数が6問から5問へ。やや易化～
まず、昨年は６問あった大問が、５問に減りました。東工大は２年前まで４問という形式が普通でしたが、昨年に６問（うち2問は小問集合パターン）になりましたが、今年は小問部分１つが減り、５問になりました。現在、過渡期と思われます。
昨年同様、小問部分がⅠⅡABから、それ以降はすべてⅢCからという出題。今年は割合的に、ⅢCにさらに偏りました。
難易度としては、昨年より微妙に易化していると思われます。第３問のような難問もありましたが、昨年の第3問、第６問のような莫大な計算量を要するものやボリュームを感じる問題はなく、大問数も減ったので手がついたのかなと思います。
ただいずれにしろ、ⅢCの問題はかなり重く、最後まで解答するのはどの問題も相変わらず厳しいことに変わりありません。
試験時間１８０分に対し、目標解答時間合計は１７５分。
東工大にしては珍しく、適量です。制限時間をオーバーするのが通例でしたが、今年は計算量がそこまで莫大ではないものも多いので、かなり解答時間は減っています。
２．合格ライン～
配点が書かれていますので、目標点数も書いてみます。
第１問 （５０点以上）昨年同様、ここで落としてしまうようでは合格は遠のきます。確実に得点したい
第２問 （４０点以上）５乗の計算をどうやったかですね。計算すれば出ますので、出来れば欲しい。
第３問 （５～１０点）これは厳しいでしょう。時間をかけすぎないことが大事。
第４問 （３５点以上）一般解を表すことができればなんとかなるはず。議論が多少甘くても、６割は欲しい。
第５問 （４０点以上）（１）が一番メンドクサイと思われますが、ここがある程度出れば、（２）、（３）は何とかなるはず。
全体として、約１８０/３００ で、６０％ぐらいあればOKでしょう。＾＾
３．各大問の難易度
☆第１問(1)・・・数学的帰納法（B、１５分、Lv.１）
帰納法の2つ前からバージョン(おととい法)の典型問題です。3^nなどというヒネクレたものがありますが、やり方は変わりません。全体のセットを考えて、ここは確実に。
なお、この問題を見て帰納法になるのは大丈夫ですよね。
（Principle Piece 数学B 数列 pp.50-57）
☆第１問(2)・・・確率、サイコロ（B、１５分、Lv.２）
昨年に引き続きサイコロですが、また今年はアプローチが違います。今年の方が簡単な気がしますね＾＾
４種類＝X,X,X,Y,Z.W か X,X,Y,Y,Z,W という目の出方で、場合分けして足せばOKですね。な
お、6のn乗は、ｎ＝５ ぐらいまで記憶しておくとラク。ここには書きません。自分で計算したほうが記憶に残ります。
※KATSUYAの解いた感想
両方とも、割と典型的。今年は小問集合が１問か。ⅢC色が濃くなる。解答時間合計７分。
☆第２問【旧課程】・・・行列、方程式（BC、３０分、Lv.２）
行列の行列式および対角成分の和に関する問題。行列式に関する証明（１）は、本学受験者であれば知っているような事実でしょう。いざ証明するとなると、ちょっと計算が必要。
（２）は（１）の利用ですぐにx＝１と出ます。あとはyですが、yの絡む方程式といえば、HC定理ぐらいです。これに気づけば、次数下げができたでしょう。
なお、AがEの定数倍とそうでない場合に分けることに注意。nが５乗程度の小さい時では、次数下げ、あるいは整式の割り算等が有効です。
☆第３問・・・微分法の応用、方程式の解の個数（D、４５分、Lv.３）
本セット最難問と言えます。関数が非常に単純なので、逆に手をつけてしまい、焦ってしまった人もいるかもしれません。いかに早く逃げたかがカギとなるかもしれませんね。
左辺をf（x）とおくのはいいともいます。極値をとるxの値も、なんとかなるでしょう。しかし、途中のf’（x）の符号で・・・・となった人が大多数でしょう。
f’（x）が２項からなりますので、f’（x）の符号調査 ⇒ ２項の大小比較 と結びつくかどうかです。しかし、ここにスムーズにいくには、かなり演習を積んでいる人でないと厳しいと思います。できなくても仕方のない問題というところ。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
この大小比較も全部自分でやらせるのか。これ、小問で誘導にするべきでは？解答時間１８分。
第４問・・・極限、三角不等式（B、３０分、Lv.２）
予備校でも評価の割れる問題ですが、私はⅢCセットの中では、ダントツの最簡単問という印象。
このような単純な三角不等式の方が、なぜか解けない人が多いみたいです。（２０１２年のセンター、京大の問題など）
単純なものどうしてあれば、どう考えてもグラフか単円でしょう。そして三角不等式さえ解くことができれば、簡単に和を出せてしまうという問題。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
正直、拍子抜け。もっと挟み撃ちとかたくさん使うような大物かと思った。解答時間１２分。
☆第５問・・・円、楕円、面積（C、４０分、Lv.２）
楕円と円に関する問題。こちらは最初から最後まで割とボリュームのある感じです。小問が3つありますが、おそらく(1)の配点はかなり大きいです。
（１）ですが、これは正直に連立して解の個数(存在範囲)に帰着させるのがいいかと思います。存在範囲といえば、これですね＾＾
（Principle Piece 数学Ⅰ ２次関数 p.44）
本問は、yを消去し、0≦a≦１／２ で重解をもつ条件をしらべればOKです。
（１）が出れば、（２）と（３）は計算すれば確実にできます。（１）の議論で満点でなくとも、なお、面積計算ですが、√1-x^2 の積分に関する計算は、円の一部として計算する方が早いでしょう。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
こちらはボリュームの適度にある良問。（１）が一番重いけど、問題の流れからして自然だからじょうがない。解答時間２２分。
４．対策～普段から小問ごと解法を吸収していく～
東工大の問題は、例年、誘導を省いた問題が多く、今年はまだましです。すなわち、普通なら小問になっているようなものを自分で見つけ出し、自分でそれを解くという作業を行わなければいけません。(第３問、第４問など)
普段から取り組む際に、小問になっているようなものについては、その手法をよく意識し、なるべく吸収していきながら（増減を調べるのにこんな方法があるんだな、こういう立体のときは、x軸切断がラクなんだな など）、誘導なしの問題のときに、自ら編み出す演習をしていく必要があります。
前者が量をこなす演習、後者が質を高める演習です。前者を、できれば高校２年生までに(ⅢC含めて)ある程度終わらせて、後者の時間を確保していきたいですね。
以上です＾＾
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■関連するPrinciple Piece■
★ 数学B 数列 (第１問)
★ 数学III 微分法の応用 (第３問)
★ 数学III 極限 (第４問)
★ 数学I ２次関数 (第５問)
★ 数学III 積分法の応用 (第５問)
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