同志社大学全学部理系 | 2016年大学入試数学

2016/02/06 2017/02/04

●２０１６年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(全学部理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１６年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１６年大学入試（私大）シリーズ。

同志社大学(全学部理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

同志社大学（全学部理系）

（試験時間100分、4問、ハイブリッド型）

※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。

１．全体総評~難化。昨年よりさらに計算量が多い~

難易度は、昨年より難化です。第１問から、知らないと難しい有名題材を誘導なしの穴埋めをさせている上に、第４問を筆頭に計算量が相変わらず多いです。ただ、難易の差がはっきりしているので、取れるところを抑えて、出来る問題が出来ないでタイムアップになることだけは避けたいところ。

試験時間100分に対し、
標準回答時間は157分【133分】（←穴埋め考慮）
2015年は120分【108分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン

第１問（１）は絶対取る。（２）は、計算できるところだけで逃げるしかなさそう。結果を知っていたらラッキー。
第２問は比較的誘導が丁寧なので、ここは取りたい。
第３問はキー問題。最後の座標まで出せれば、少しリード。
第４問は、時間的にも（１）、出来て（２）止まりです。逆に差がつかないと思われます。

６０～６５％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問（１）・・・【三角関数】、最大・最小、合成（AB、12分【８分】、Lv1）

合成を題材とした基本的な問題です。残りのセットを考えると、ここで落とすわけにはいきません。後半も、角度が一致しているので、再び合成できます。

合成が出来る条件を忘れずに。

Principle Piece II-64

合成の3条件
「１次」「角度一致」「sin、cosがある」

（拙著シリーズ(白) 数学II 三角関数 p.43～44）

☆第１問（２）・・・【確率、漸化式】ポリアの壺、（C、40分【20分】、Lv.２）

ポリアの壺と呼ばれる、有名な確率の話を題材としたものですが、通常は誘導があります（慶応理工2015など）。しかし、この文章の聞き方では、誘導がないに等しいので、かなり難しいと思われます。

知っていたから知らなかったかで、差がつくでしょう。さらに後半に至っては、異なる球を取り出す場合なので、ポリアの壺の結果を知っていた人でも、漸化式で解く過程を知らないと厳しいでしょう。

漸化式は、通常の原則では簡単に立てることはできません。PnやQnという事象を、さらに細かく分けていく必要がありますので、誘導なしではかなり厳しいでしょう。

※KATSUYAの解いた感想
（１）は瞬殺。（２）はポリアの壺か。文章を読んで「え＾＾；誘導になっていない。これは知らないとまず無理なのでは・・・」と思ってしまった。この形式の穴埋めなら、結果を知っていると残念ながら簡単に出来る。最後の極限が１／２になるように漸化式を作ることは可能やな。（２）はほとんど解かずに終了。解答時間２＋３＝５分。

第２問・・・【微積総合】単純微分、特殊積分、弧長（B、25分、Lv.２）

微積総合の計算問題です。通常は原始関数のわからないものに対して、先に微分させた結果を見せてから、積分計算をさせるという流れです。難関大ではよく見かけます。素直に誘導に乗ればできますね＾＾

原始関数が分かれば定積分も出せますから、弧長も出せます。弧長の公式は知ってますよね？？この時期でも知らない人がたまにいます。必ず参考書を見直しましょう。

※KATSUYAの解いた感想
さっきのポリアより簡単。早くこっちに移ったもん勝ちやな。誘導に乗って素直に順番に計算して終了。解答時間11分。

☆第３問・・・【空間ベクトル】直線への垂線、正三角形、正四面体（B、30分、Lv.２）

座標が与えられているタイプの空間ベクトルですが、計算は少し多め。（１）はいいでしょう。点から直線への垂線の足を求めるだけです。

Principle Piece B-55

点から直線に下した垂線の足
[1] 直線上にある（１－t、tの設定）
[2] 垂直 → 内積＝０　からtの方程式

（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.79～80）

（２）は差がつくでしょうか。PHの長さは正三角形の高さとなっていますので、「正三角形の１辺の長さと高さの比」を考えれば、１辺の長さに持って行けます＾＾

（３）は割とメンドウです。どこまで記述するかですが、正四面体PQRSのSからPQRに降した垂線SKは、外心で、かつ重心です。（これを記述するかどうか・・・）それを用いると、SKの長さやKの座標が比較的ラクに出せます。

SKベクトルはPH、ABの両方に垂直なので、長さの条件と合わせて成分が出せます。（●、▲の両方に垂直で、大きさが■のベクトルを求めよ、なら教科書レベルですよね＾＾）

Principle Piece B-47

2ベクトルに垂直な単位ベクトル
→１文字に減らして長さの条件へ

（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.61～62）

数値は綺麗ではないので、少し計算に時間はかかるかもしれません。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
正四面体をつくっていくのね。問題をざっとみて、解き方の方針はたったけど、無理数いっぱい入ってきそうな予感。（１）、（２）は原則どおりに終了。（３）は最初、Q,Rも出して距離計算をしようと思ったが、Q,Rも汚そうなので断念。すなおに重心から伸ばすか。どこまで記述する？ちゃんと外心から書くか。コツコツ全て書いて計算し、終了。解答時間14分。

☆第４問・・・【積分法】絶対値付き定積分と級数、準周期関数（CD、50分、Lv.２）

｜xsin(nx)｜の積分計算を題材とした問題です。sin、cosのような周期関数ではよく見かけるタイプですが、見た目ほど簡単ではありません（ていうか、見た目通り難しい？？）。（１）までは行けるでしょうが、（２）以降は、もとまらない角度が出てくる上に、極限を求めるために評価もしなければいけません。

角度がもとまらなくても、その角度で成り立つ方程式を用意しておきます。面積の等分などの問題でよくありますね＾＾

Principle Piece III-75

交点が求まらないなら文字でへ → それが満たす方程式を用意

（拙著シリーズ(白) 数学III 積分法の応用 p.22）

（３）に至っては、関数が変わって同じことを途中までさせられた上に、そのあと結局何をすれば良いのかわからないかもしれません。私も最初悩みました。

感覚的には、γ_{k}はx_kに非常に近い位置に存在するので、（２）からx＿{k}～γ_{k}の積分を差し引いたところで、極限は変わらないはずだ、ということなのでしょうが、（２）までで、すでにタイムアップかギブアップのどちらかの可能性が高いでしょう。

この感覚に気づけば、その部分を慎重に評価していけばいいわけですが、、、捨てても問題ないでしょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
純周期関数型の極限か。よく見かけるけど、（２）以降はゴツイか。（１）は詰まることなく終了。（２）は、βkは出せないから、方程式用意だな。右端に近そうやし、（１）と一緒やろ。（３）また極値の場所出すの？めんどくさ・・・しかもまた極限？こんどは左端に近いから、僅かな部分を引いても変わらないハズ。評価は思ったよりめんどくさくて、疲れた。　解答時間30分。