東北大学理系 | 2016年大学入試数学

2016/02/27 2017/02/24

●２０１６年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１６年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１６年大学入試シリーズ（国公立）シリーズ。
東北大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

東北大学（理系）
（試験時間150分、６問、記述式）

１．全体総評～計算量が例年より少なく易化～

昨年より易化。前半３問がかなり易しく後半も誘導のある第４問は取りやすく、計算量も例年より少なめなので、余裕があったと思われます。時間をかけて後半２つの勝負となったでしょう。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は135分。今年は少なめですね。

2015年：178分
2014年：185分
2013年：155分
2012年：170分
2011年：140分
2010年：200分

２．合格ライン

第１問～第３問はおさえたい。第４問～第６問も、時間はあるので、出来れば２つおさえたい。残り時間で、ミスを防げば、５完もいけそうな感じです。

７０％強ぐらい取れてしまいそうです。

３．各問の難易度

第１問・・・【平面図形】垂心、同一円周上（AB,15分、Lv１）

珍しく平面図形の問題ですが、たいしたことはありません。同一円周上にある４点を見つけ、円周角の定理でどんどん角度を移していけばOKです。平面図形はあまり演習していないと思いますが、それでもここは抑えたいですね。

※KATSUYAの解いた感想
平面図形の問題か。垂心ネタの基本的な問題やな。これは簡単。解答時間８分。

第２問・・・【整数＋数列】帰納法、素数ネタ（B、20分、Lv.２）

等式を満たす素数を見つける問題ですが、（１）のおかげでかなりラクになっています。（１）は書いてある通り、帰納法で証明します。（２）は（１）を用いますが、pとqは対称ではありませんので、p＝２のときとq＝２のとき、両方調べましょう。こちらも誘導がありますし、確実にものにしたいです。

（１）がなくても、どちらかが２であることはすぐに分かりますし、指数関数の方が一気に大きくなりますので、帰納法で不等式を証明することを思いついて欲しいところですね。

※KATSUYAの解いた感想
なんか似た式を他の旧７帝大で見たような。いや、証明が似てるのか。京大かな。解答時間６分。

第３問・・・【確率】サイコロ３個、三角形の辺（AB、15分、Lv.１）

今年の確率はたいしたことはありません。東北大はあまり漸化式と絡んで出てきませんが、この確率はかなりラクです。直角三角形は３、４、５しかありませんし、鋭角三角形も調べ上げればすぐにできます。

ａ，ｂ，ｃのうち２つが等しい時、３つとも異なるときで分けて数えるとラクです。対称性もありますので、大小を設定するとかなり減りますね＾＾

原則を用いるまでもなく、ただ数え上げるだけです。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
これはどうみてもただ調査するだけやな。（１）は瞬殺。（２）は216通りはしんどいから、大小設定をする。3つが等しい時はアウト。２つ、全部違う時で数えて終了。　解答時間９分。なんかラクなセットの予感してきたが、、、

☆第４問・・・【複素数平面】ドモアブルの定理、π／７系統の三角関数との関連（B、25分、Lv.２）

極形式等を利用して、π／７関連の三角関数の値を求めていく問題です。題材は本格的ですが、誘導も非常に丁寧なので、これも確実にものにしたいです。

（１）は2項定理で展開すればOKです。（２）はドモアブルの定理を利用すればすぐに分かります。共役複素数の偏角は、マイナスを付けるだけですね。

（３）は差がつきそうですが、Q(x_k)はすぐにP(x)につながりますので、（２）と同様の手順で（省略してもいいでしょう）導けますので分かります。（４）はx１、x２、x３が全て解ですが、これらが異なることは断っておかなければ減点されるでしょう。あとは、解と係数の関係ですね＾＾

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
お、複素数平面のにおいするな。（２）はドモアブルやな。（３）以降は（２）を使いそう。とりあえず始める。（１）はただの2項展開で瞬殺。（２）はsinを先に出せば極形式になるな。（３）は、代入してみるとP(x)につながる。（４）は解と係数の関係やな。あ、でも全て異なることは断る。tanに直せばいいかな。解答時間１５分。

☆第５問・・・【空間ベクトル】空間図形、球の切り口の面積の和の最大値（BC、30分、Lv.２）

空間図形と題材とした問題で、図形のイメージや垂直であることの確認作業を考えると、本セット最難問だと思われます。図がそれなりにうまく書けないとイメージがわかず、少し難しいです。

長さから、OPQが直角三角形なのは分かります。ポイントはPQが「平面α」に垂直であることを示す作業です。OPに垂直であることはいいですが、さらに「交線l」にも垂直であることを言わないと、次の原則が使えません。

Principle Piece B-55

球の平面と切り口は三平方の定理で

（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.82-83）

勢いで、OP⊥PQだけで「半径の２乗ーPTの２乗」とやってしまった人は、結果はあっていますが、減点されるでしょう。

（１）がきちんと出来れば、（２）も簡単。PからOQに垂線をおろし、それがちゃんと平面βに垂直であることをやはりきちんと示します。あとは半径の２乗の和の最大値を求めて円周率をかければOKです＾＾

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
問題文を読み、これはある程度図をうまくかかないとマズイと判断。たまたま平面が30°ぐらいの角をなすように書いてあり、OPQがしっくりきた＾＾　中心との距離はPTやな、、、ん、まてまて、平面に垂直とは言ってないな（＾＾；）もう一本は「l」で行くか。危なかった。これに気づけば（２）は実質同じやから、垂直勝負やな。解答時間１９分。

☆第６問・・・【積分法＋三角関数】絶対値付き定積分、三角関数の最大・最小（B、30分、Lv.２）

絶対値付き関数の積分です。最後になってやっと数IIIの微積です。絶対値付き定積分関数なので、こちらの原則に従います。

Principle Piece II-106

絶対値付き積分は中身＝０と積分区間を比較する

（拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.10-11）

今回は、交点が積分区間に入っていますので、場合分けすることなく積分計算ができます。整式に比べると式処理が複雑なので、グラフを書いて見るとわかりやすかったかもしれません。

積分結果は　2/3xが角度になりますが、sinとcosの１次式になりますので、ただの合成ですね＾＾

Principle Piece II-64

合成の条件
[1] 角度が同じ　[2]sin とcosがある　[3]1次式

（拙著シリーズ(白) 数学II 三角関数 p.43-44）

うまく合成できるように設定されていましたね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
やっと微積きた。絶対値付きやから＝０になるときを出す。x＝０、πのときだけ交点多いけど、はしっこやからとりあえずのぞいて計算。１つは確実に区間内で交わるから、場合分け不要そうやな。積分計算し、合成出来る形になった。てっきりこの後微分するのかと思ったけど＾＾；合成なら楽勝やな。解答時間19分。