【後期】九州大学 理系| 2017年度大学入試数学
●２０１７年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(理系)【後期】です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾
２０１７年 大学入試数学の評価を書いていきます。
【お知らせ】
3/12～3/19 まで所用で海外にいたため、後期のエントリー、コメントの返信が遅れています。現在までに頂いているコメントはほぼ返信いたしましたので、ご確認ください。
２０１７年大学入試（国公立）シリーズ。
九州大学(理系)【後期】です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
九州大学（理系）【後期】
（試験時間120分、５問、記述式）
１．全体総評～最後以外は手が付けやすく易化～
昨年より易化です。最後は難しい論証問題が入っていますが、それ以外の大問は手が付けやすく、昨年より計算量も減り、点数には結びつきやすいセットとなっています。昨年は５問中４問が数IIIでしたが、今年は２問が数IIIでバランスがとれた出題です。
試験時間120分に対し、
標準回答時間は140分。
2016年：160分
2015年：125分
2014年：150分
２．合格ライン
1番～４番は手が付けやすいので、ここで取れるところをしっかり取りたい。３完は欲しい。５番は（１）止まりになる可能性が高いです。
６５％ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
第１問・・・【微分法の応用&極限】２法線の交点、長さの極限（B,20分、Lv.１）
最初は比較的簡単です。法線の式を２つ求めて交点を出し、距離の極限値を求める問題です。
（１）は交点を求めます。同じ形をしていますので、√q－√p でくくれることを視野にいれて式変形していくと見通しがいいです。（２）はただの距離公式ですが、傾きを利用して計算すると楽です。極限は特別な操作は必要なく、ただqをpに変えるだけなので、おまけです。
※KATSUYAの解いた感想
ただ交点出すだけだよな。（２）の極限もなんの式変形もなく、ただ置き換えるだけか。解答時間10分。
☆第２問・・・【確率】サイコロ4個の目と確率（B、25分、Lv.２）
サイコロを4回投げ、１、２、３回の目の最大公約数の倍数の目が４回目に出る確率を求めます。条件的には計算で出すのは難しく、ある程度は調査をする必要がありますので、試験としては適度な難易度と言えます。
１～６の目を３回出したときに、最大公約数の候補はもちろん１～６です。調べていくと、圧倒的に「１」になるときが多そうなので、先にそれ以外を調べていく、という発想に行き着けば、本問は勝ちでしょう。
※KATSUYAの解いた感想
とりえあず１が入ってればGCM１やから、dは何でもいいな。でも２、３、４とかでも１になるな。まてよ、１以外を先にし調べて、１になるときは余事象で考えればいいのか。方針がたったらあとは調査して終了。解答時間10分。
☆第３問・・・【空間ベクトル】平面と直線の共有点、三角形の面積（AB、20分、Lv.１）
今年も後期の３番は空間ベクトルです。昨年は少し受験生に意地悪な問題でしたが、今年は反省したのでしょうか。比較的穏やかになりました。
（１）のE,Fは楽勝です。GはBC上の点を「係数１－t、t 」で設定して、x＝３／２となるようにするだけです。Hも同様です。平面と直線なので、こちらの原則に従ってコツコツ連立するだけですね。
（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.70-71）
（２）は（１）で座標が出れば、面積公式に当てはめるだけです。今年は昨年よりかなりラクになりました。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
昨年の気分の悪さが蘇る九大後期のベクトル。また空間か。問題文をざっと読む。いや、これはいたって単純なのでは？計算がまたややこしいかな。とりあえず原則に従って交点を全て出す。そこまでしんどくはない。（２）の面積も公式に当てはめるだけ。教科書レベルとまでは言わないが、これは簡単。解答時間10分。
☆第４問・・・【微分法&微分法の応用】グラフの増減、凹凸、概形、極限（B、25分、Lv.２）
文字定数「k」を含む関数について、グラフの概形を書く問題です。関数の見た目は少しややこしそうに見えますが、グラフはいたって単純です。直線も含めて３つもグラフの概形（増減、凹凸あり）を書かせるあたりは、若干時間稼ぎにも見えなくはないですが、、、
（１）は微分するだけです。所詮、（ａx+b）^n の形をしているだけだと見抜ければすぐに出来ますね。
（２）もくどいですが、コツコツ場合分けして調べるしかありません。k＝０のときも増減、凹凸を調べるのかといいたくなりますが、直線かどうか不明な状況が前提なので、概形が合っていればOKでしょう。なお、０＜k＜１のときと１＜kのときもそこまで大きく概形は変わりません。
（３）は単独で出来ます。与えられている式からも、ｅ絡みの極限と見えますので、こちらの原則に従います。
（拙著シリーズ(白) 数学III 微分法 p.22、一部省略）
今回は、●の部分がー（１－k）xなので、ムリヤリそれに合わせます。調整するためには、さらに指数部分に（ーx）をかければOKですね。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
関数はなんかややこしそうやな。（１）で微分してみて、そうでもないと判断。（２）３つもグラフ書くんか。k＝０は直線やな。増減凹凸とは大げさやけど、とりあえず書く。残りもコツコツ調べるだけ。微分結果はほとんど変わらんけど＾＾； （３）は単独やな。ｅ絡みってところやな。原則に従って終了。解答時間16分。
☆第５問・・・【微積総合】媒介変数表示、面積（CD、50分、Lv.３）
フィボナッチ数列を題材にした問題ですが、すべて論証問題で、（２）（３）はかなり難易度の高い論証です。
（１）はなんとかなるでしょう。各項が正（ほぼ明らかとしてよいハズ）→漸化式から｛ａ(n)｝は増加数列でａ(n+1)>ａ(n)→ａ(n+2)=a(n+1)+a(n)>2a(n) が最もスッキリしますね。
（２）からは難しいと思います。帰納法を用いてとありますが、m以下を全て仮定し、m＋１を証明するという、現在完了法的な方法で証明するタイプです。また、mを表す際にａ_１やａ_２を用いている可能性もあるので、m＋１の１をa_1に変えればいいわけではないので、難しいです。m＋１を超えないフィボナッチの最大項を持ってくれば、残りはm以下で、かつ最大項未満なので完了法の仮定から和で表せますね。
（３）はさらに難易度があがります。（２）の際に（１）を用いていないので、（１）を用いるのだろうという発想がまず必要。また、（２）における表し方も一通りではありませんので（例：５＝ａ_4+a_3=a_4+a_2+a_1）、最も数を稼げるのがいつかを考えるのが妥当でしょう。
フィボナッチの項ー１(例えば m＝a(n+2)－１)のときは、a_1+・・・+a_nまでの項の和になり、足している項は小さい項からn個になりますので、これが最大です。これと（１）の不等式を等比数列的に用いると、題意の不等式が得られます。
発想が必要な部分がいくつもあり、非常に難しい論証だったと思います。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
フィボナッチか。（１）は自然数項で増加数列を言えばいいな。（２）はどうすればいい。とりあえず３～１５ぐらいで和で表してみて、完了法的に証明できそうと判断。上記方針で証明完了。（３）は個数の評価か。（１）使いそうやけど、まずkが大きくなるのがいつかを考えるしかないな。小さい方からできるだけ足すと、、、あ、これでいけそうやな。個数と項がつながったので、これで評価して終了。解答時間32分。
４．対策
九大は、今年はちょっと難し目、というより計算量の多い問題が目立ちましたが、手法としては標準的なものが多く、問題文から適切に解釈できれば、それらの組み合わせで解ける問題です。教科書程度ではもちろん足りませんが、一通りの手法を終了させたら、入試基礎レベルへ移行し、その後、もう少し手間のかかる問題の演習へと進みましょう。
なお、今年の最後のような論証が九大では散見されますが、これが出来るようになることよりも、取れる問題でしっかり取ることが大事です。
量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでしょう。
以上です＾＾
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学A 確率 (第２問)
★ 数学B ベクトル (第３問)
★ 数学B 数列 (第５問)
★ 数学III 微分法 (第４問)
★ 数学III 微分法の応用 (第１、４問)
