【後期】九州大学 理系| 2016年度大学入試数学

      2017/03/14

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●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(理系)【後期】です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。




2016年大学入試(国公立)シリーズ。
九州大学(理系)【後期】です。



問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、
典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





九州大学(理系)【後期】
(試験時間120分、5問、記述式)

 

1.全体総評~質量ともに上がり難化~

昨年より難化です。計算量のかなり多い大問や、高校数学ではアウト気味の範囲など、難しい問題が真ん中に並んできました。5題中4題に数学IIIが絡み、非常に数学IIIに偏った出題となっています。



試験時間120分に対し、
標準回答時間は160分。計算量が多く、昨年よりかなり増えました。

2015年:125分
2014年:150分

2.合格ライン

真ん中の第2、3、4問が厳しいので、第1問、第5問は数学IIIで決して簡単ではありませんが、ここを抑えないと厳しいです。

ただ、第2、3、4問は小問に分かれており、途中までであれば手がつけられます。考えすぎると第5問に手がつかないので、見切りをつけて一通り最後まで手をだせたかどうかが、キーとなりそうです。


60%弱ぐらいでしょうか。

 

3.各問の難易度

第1問・・・【複素数平面】ドモアブルの定理(AB,15分、Lv1)

青チャートや傍用問題集にもありそうな、入試としては基本問題のレベルです。左辺、右辺ともに極形式で表し、絶対値と偏角を比較して関係式を導きましょう。

偏角は、等しいとは限りません。2kπの差であれば構いませんの。本問を解く際には、ここに注意を払うことは原則です。

Principle Piece III-新11

極形式における「=」偏角では+2nπを忘れずに

(拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.24)

※KATSUYAの解いた感想
これはパターンなので、原則に従ってさくっと終了。解答時間4分。

☆第2問・・・【確率+極限】条件付き確率、確率の最小値、極限(C、30分、Lv.2)

3n個の球から3個を取り出す際の確率の問題で、その最大値や極限を聞いています。(1)もよくよく考えると場合分けがあったり、(2)の条件付き確率の計算は普段より難しく、(3)の計算も多めで、出来はよくないでしょう。

(1)条件付き確率については、少し普段よりテクニックが必要です。分母、分子はP(A)、P(A∩B)で普段通りなのです。

Principle Piece A-38

条件付き確率は2つの確率の比で計算

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.32)

ただし、本問は、事象の中に「少なくとも・・・・」という表現がありますので、こちらの原則と合わせて計算する必要があります。

Principle Piece A-9

「少なくとも・・・」と言えるなら補集合で考える

(拙著シリーズ(白) 数学A 集合と場合の数 p.21-22)

(1)はまともにやってもたいしたことないですが、(2)は両方の原則を用いないと難しいでしょう。

P(A)=「全体」-「1つも赤の1を取らない」
P(A∩B)=「少なくとも1つが赤で、かつ3個とも赤」=「3個とも赤」ー「3個とも赤で、1つも赤をとらない

特にP(A∩B)の考え方は、普段あまり必要がないので、難易度高めです。

(2)が出来れば、(3)はともかく、(4)は出来ますね。(3)は、nが飛び飛びの値ではありますが、おおよそどこで極小(かつ最小)になるかを調べるために、微分してもいいです。あるいは、確率の最大・最小では定石の比をとってもOKです^^

Principle Piece A-37

確率の最大値は、比と1の比較

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.27)

ただし、本問のp(n)は、かけ算と割り算だけのきれいな式とは言い難いので、比が綺麗になりませんから、計算量は、微分してもこれで計算して膨れ上がります。

 

※KATSUYAの解いた感想
(1)分母は余事象か。分子はまともにやったほうが早いかな。(1、3、5)、(2、3、4)、(3、3、3、)だな。てか、nが3、4と5以上で場合分けせんとアカンのか^^;(2)も分母は余事象。分子は(1)みたいには考えられんから、上記のような余事象計算をして終了。(3)比をとっても何も消えないから、微分してしまおう。n=1のときか^^;怪しいから比でもやってみるが、結果同じ。不安にさせられる結果。(4)は瞬殺。両方やったからかもしれんが、計算量多いな。解答時間20分。

 

☆第3問・・・【ベクトル】平面と直線の共有点、三角形の面積(B、45分、Lv.2)(最後は良問ではありません)

空間ベクトルの問題ですが、最後の問題はっきり言って良問とは言い難いです。最後の問題は計算量が膨大な上に、条件を満たすものがないという、受験生の不安を募らせる結果となります。

しかし、それ以外は、パターンにはまっているわけではないですが、手法を組み合わせれば解き進められる、適度な良問。「直線が平面に含まれる」という条件を、式に出来たかどうかが、本問の分かれ目です。

(1)は面積公式です。(2)がポイントです。まず、平面の式を表しましょう。法線ベクトルが与えられていますので、内積=0ですぐに作れます。

一方で、直線上の点は、媒介変数1-t、tの係数で作れます。条件は、直線上の「任意の」点が平面上にあるということです。「tについての恒等式」とみなせばいいわけですね^^

(3)は、平面とAC,BCの交点です。直線上なので1-s、sの係数で作った座標を平面の方程式に代入すれば出ます。ただし、cが入っているので計算が多少煩雑。

面積比は線分比の積で解決できます。1-s、sの係数は内分比の情報ですので、それらを使えば条件式は作れますが、cの解がかなり汚いです。それだけならまだいいのですが、そのcの値に対し、sが0<s<1に入っているかどうかの確認が必要です。これを、AC上とBC上で両方やらなければならず、かなりキツイです^^; しかも、結果として不適・・・。

※KATSUYAの解いた感想
面積は瞬殺。直線が平面に含まれるってのは、どう解釈しようか。とりあえず直線上の点を平面のしきに代入。あ、「t」についての恒等式とみなせばいいってことか。あんまり見ないな、こういうタイプ。(3)はとりあえず、両方の交点を出さんとな。cが残るの、鬱陶しいな~。内分比の情報になるから、かけて1/2ならええんか。計算するも、全く因数分解できない上に、かなり汚い。どっかで間違えたなこれ。もう一度(3)の最初から確認するが、間違い見つからず。まじか、むしろ間違いであって欲しかった(><)これ、sに入れて確かめるんやろ?有理化が辛すぎるやろ。なんとか計算終了するも、結果両方不適。いや、それはさすがにふざけてるやろ(--#)気分悪すぎ。解答時間32分。

☆第4問・・・【式と証明+数列+極限】不等式の証明、漸化式と極限(CD、50分、Lv.3)

ある2数の相加平均・相乗平均を求め、出た2数について、また相加平均・相乗平均を求めていくという連立漸化式に関する問題です。

(1)は見た目ゴツいてですが、真ん中はただの相加平均・相乗平均の証明です。端っこの不等式は特に問題ないでしょう。

問題は(2)。相加平均・相乗平均を取り続ければ、一気に2数は近づいていくことがわかります。(1)の式を用いることで、{a_n}は減り続け、{bn}は増え続けます。極限が存在するとすれば、それぞれの極限をT,Uとでもおけば、a_n=a_{n+1}=T、b_n=b_{n+1}=Uとできますので、これに漸化式を当てはめると、たしかにT=Uが出ます。

しかし、存在を前提としていることや、上に有界(下に有界)であるかどうかは厳密には確定していませんので、高校数学としてはかなり危険な出題です。

(3)は(2)と関係なく出来ます。ただの漸化式です。(4)は、(3)がちょっとヒントになっていると思われますが、(2)の極限αが、すべてのa_nよりは小さいことなどを利用しないと、変形は難しいでしょう。

※KATSUYAの解いた感想
相加平均・相乗平均が題材かな。(1)は瞬殺。(2)は、、、そりゃまあ一気に2数は近づいていくよな。漸化式を利用すれば、どんどん差が縮まるのは目に見えている。が、だからといって同じになると言い切るのは、高校数学では無理なのでは?「極限値をαとする」って書いてあるから、存在を前提とすると解釈するしかないな。(3)は漸化式を使うだけ。(4)も変形するとキレイに2乗の式が出たので、2乗を外したものの不等式を証明すればいいのか。αは値は絶対わからんから、評価に使うだけやな。解答時間25分。

☆第5問・・・【微積総合】媒介変数表示、面積(B、25分、Lv.2)

媒介変数表示で表されたグラフで囲まれる部分の面積です。概形はdx/dt、dy/dtで変化表をかけばOKです。

問題は面積。形からして、y方向の積分(∫x・dy)が賢いと思いますが、媒介変数表示のグラフの面積の場合は、次の原則に注意しましょう。

Principle Piece III-73

媒介変数表示の面積は「y」「dx」の符号を変えて計算

(拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.12-13)

これはx軸方向の積分の場合ですが、y方向の場合は、「x」「dy」の符号に注意です。「x」の符号というのは、グラフがx≧0の位置にあるならプラス、x≦0の位置にあるならマイナスということです。

「dy」の符号というのは、「t」の増加に伴ってyが増加する方向に(視覚的には、上に)動いているならプラス、yが減少する方向に(視覚的には、下に)動いているならマイナスを入れなければいけません。

媒介変数表示の面積では、ここにさえ注意すれば正解できます。拙著ではこの符号について大々的に扱っているので、儲けもんでしたね^^

 

※KATSUYAの解いた感想
最後はただの媒介変数か。計算だけならまだましだわ^^;変化表は意外と微分して0になるものが多い。囲まれる部分は2つある。y軸対称やからx≧0で考えるか。ー2π~πはy減少、0~πはy増加に注意して計算。解答時間12分。

 

 

4.対策

九大は、今年はちょっと難し目、というより計算量の多い問題が目立ちましたが、手法としては標準的なものが多く、問題文から適切に解釈できれば、それらの組み合わせで解ける問題です。教科書程度ではもちろん足りませんが、一通りの手法を終了させたら、入試基礎レベルへ移行し、その後、もう少し手間のかかる問題の演習へと進みましょう。



量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

>> 2012年度
>> 2013年度
>> 2014年度
>> 2015年度



■関連する拙著シリーズ■


★ 数学A 確率 (第2問)

★ 数学B ベクトル (第3問)

★ 数学B 数列 (第4問)

★ 数学III 微分法の応用 (第5問)

★ 数学III 積分法の応用 (第5問)

★ 数学III 複素数平面 (第1問)

★ 数学II 式と証明 (第4問)

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