京都大学 理系 | 2015年大学入試数学
2022/05/05
●２０１５年大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(理系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾
国公立が試験を開始しました。同時開始なので、すべての大学を即日UP出来ませんが、今の時期は、国公立ラッシュのエントリーになると思います＾＾；
２０１５年 大学入試数学の評価を書いていきます。
京都大学(理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、
典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。
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京都大学 理系数学
（試験時間１５０分、６問）
全体総評・合格ライン
難易度は、変化なしです。第５問に大物系の論証問題が入っていますが、他は取りやすいものもあります。第２、４、６問など全体的に誘導が少ないので、自分で何をすればよいか設定していく必要があります。
試験時間１５０分に対し、
目標解答時間合計は１９５分。（昨年は１７５分）
昨年より伸びていますが、第５問のせいです。ここをそうそうに見切りをつけてしまえば、第２問や第６問を考えて得点できたと思います。
■合格ラインですが、
第１問は簡単な体積計算。式には少しひねりがありますが、ここは落とせません。
第２問は、キー問題。自分で何を設定していくのかが問われます。
第３問は、誘導に従って計算していきますが、（２）はa(n)→∞をきちんと言えたかどうか。ここもキー問題。
第４問は、類題経験もありそうなパターンで、本学受験者ならばしっかり取りたい。
第５問は捨て問確定でいいでしょう。
第６問の確率はキー問題。東大ほどではないですが、昨年より難易度があがっています。
第１、４問は確保＋第２問か第６問のどちらかを確保。残った時間で第３問が完答できれば安全圏かと。６０～６５％ぐらいでしょうか。
医学部なら第２問、第６問はとるべきなので、７０％欲しいところ。
第１問・・・積分、回転体の体積（AB、15分、Lv.１）
基本的な体積計算です。交点の角度からして「求まるのか」と思ってしまいがちですが、２乗して積分するので、角度は上がって行きますし、最終的にはきちんと代入すれば求められます。ただの計算なので、特筆すべきことはありません。
※KATSUYAの解いた感想
基本＾＾ カリカリ計算して終了。計算するだけやから、正確かつ迅速に。解答時間７分。
☆第２問・・・四角形の面積の最小値 （BC、２５分、Lv.２）
半径１の円に外接し、２つ以上が９０度となる四角形の面積の最小値です。誘導があまりないので、自分で設定していきます。向かい合う角度が９０度なのか、隣り合う角度が９０度なのかで分けます。
円が内接しているときは、「頂点から接点までの距離が等しい」という事実を存分に使いましょう。中心と接点を結ぶという基本も忘れずに。これらを守れば、条件式もすぐに出ると思います。面積は相加相乗が早いですね＾＾
※KATSUYAの解いた感想
誘導なし。東工大タイプの問題。軸分けとかに比べると、図形の場合分けは政党率が下がりそう。解答時間１４分。
第３問・・・微分法の応用、極限（BC、25分、Lv.２）
接線との交点を次々にとっていくという、よくある設定の問題です。（１）で誘導もありますので、ａ（n+1）とａ(n)の関係は割とすぐに出せると思います。
（１）は、曲線外の点から引いた接線ですので、先に接点を設定します。
（Principle Piece 数学II 図形と式 pp.26-28）
（２）では、ａ（n+1）とａ(n)の差が１以上あることから、a(n)＞nなので、が∞になることが言えます。ここが一番の評価ポイントになりますので、これを断りなく∞と書いてしまうと、答えがあっていていも大きく引かれるでしょう。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
これは典型パターンかな。（１）は接点「t」を設定して、ａ＝（tの式）とする。単調増加で－∞～∞へ行くことを示して終了。（２）はとりあえず関係式を出して引く。１＋正やから１以上ずつ増えるのか。じゃあａnは∞にいくから、極限は取れるな＾＾ 解答時間１２分。
☆第４問・・・ｃｏｓの最大値、正四面体（B、２０分、Lv.２）
正四面体の３点からなる角度のcosの最大値です。立体ですし、cosと内積は相性がいいですから、こう聞かれたらベクトルですね＾＾
（Principle Piece 数学B ベクトル pp.27-28）
空間ではtanは使いにくいですし、そもそもcosを聞いていますから、今回は間違いなく[1]です。
cosの式は√が入りますが、２乗するまでもなく、そのまま微分して問題ないでしょう。変に変形すると、最後に戻すの忘れますので、出来るならそのままで。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
これもよく見かけるパターンかな。誘導はないけど、割と普通な問題が続く。ベクトルを設定し、内積計算へ。微分して終了。解答時間１１分。
☆第５問－整数（倍数）（DE、８０分、Ｌｖ．MAX）
大物の論証問題です。「そりゃーそうだろうな」と思うような事実なのですが、係数が「実数」だとかなり証明は辛いです。個の問題に、極限の考え方が必要だと気づくのは本番では（本番でなくても）至難の業です。
イメージ的には、あまりがもし存在するとすれば、そのあまりはg（n）で割っていきます。nはいくらでも大きく取れますから、いつかは１より小さくなってしまうはずだから、整数でないことがそのうち出てくるだろう、という感じです。しかし、係数が実数であるため、通分した結果うまく整数になるかもしれませんし、スッキリとした答案を書くのは至難の業でしょう。
※KATUSYAの解いた感想
えっと・・・係数は実数だから、あまり関係ないな。商とあまりをとりあえず設定。割った時にあまり÷g（x）の部分がゼロにならないダメって言えばいいのね。nが十分大きくなっても整数だから、、、これは極限使わないと無理やな＾＾； でもどのタイミングで使うか。。（４０分以上思考） nとn+1の差で出そうやな。なんとかできたが、論証として穴がない自信はあまりない。（K塾とほぼ変わらなかったので、たぶん大丈夫。）解答時間５４分。
☆第６問－確率、漸化式（Ｃ、３０分、Ｌｖ．２）
今年は最後に漸化式と確率の問題がきました。東大よりも設定はシンプルなので東大よりは簡単ですが、昨年に比べると漸化式が立ちづらいと思います。東大、京大ともに確率は難易度UPです。
一応ですが、お馴染みの３点セットを載せておきます。
（Principle Piece 数学A 確率 pp.39～43）
（Principle Piece 数学A 確率 pp.39～43）
東大と同じように、x(n)＜２／３ を、さらに０～１／３ と１／３～2/3 に分けるという方法をとらないと、うまく遷移図がかけません。なぜ１／３で分けるか、ですが、f（１）を選んだときに２／３ を超えるかどうかの境目となっています。なお、f（０）を選んだら、間違いなく２／３を下回ります。
（Principle Piece 数学A 確率 pp.39～43）
式をじっと眺めると、帰納的に０～1/3と2/3～0は確率が同じだと言えますので、これに気づけば最後まで行けたでしょう。
なお、０との中間をとるのがf（０）、１との中間をとるのがf（１）です。１／２から始めていますから、たしかに等しいはずですね＾＾
※KATUSYAの解いた感想
京大も今年は確率は考えさせられるな。求めさせる確率をさらに分割しないといけない、という点では東大と同じ。こちらの方が気づきやすい。解答時間１４分。
対策
ここ最近は誘導が少ないタイプの問題も多いので、自分で設定していく能力を養っていく必要があります。とはいえ、難問ばかりやってもしょうがないですので、まずは基礎パターンの習得からです。
チャート式等の参考書で、典型問題をⅢCまでなるべく早い段階で終了させる必要があります。メドとしては、高３の夏までに、ⅢCを終了させておきたいところ。
ⅠⅡABはすでに終了しているでしょうから、こちらはレベルを上げてⅢCの典型演習と並行で、質を高める演習をしておく必要があります。
夏休み中、あるいは夏が終わってからは、入試問題集等で全分野のレベルUPをしていきましょう。
過去問はかなり前のものからありますが、あまり前のものは難しいです(～2003あたりまで)ので、適当な時期につまみぐいしてもOK。最新５ヵ年分ぐらいを、センター後にやるといいでしょう。
以上です＾＾ 次回は、京都大学（文系）です。
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