東京理科大学理工学部(建築など) 数学講評 | 2021年大学入試数学

2022/06/25

●理科大の数学シリーズです。今回は理工学部(2021年)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。今年度は理科大シリーズを追加していこうと思います。

理科大の大学入試は入試基礎演習および入試標準演習として非常に適切ですので、取り上げてみたいと思います。

理科大シリーズ

東京理科大学(理工学部(建築科など))です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

知らなかった場合は、言葉を覚えるだけでなく、必ず教科書や問題集等で該当する類題を数題見つけ、演習することで定着させてください。自分で探して自分で解く。これが一番身に付きます。

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東京理科大学(理工学部(建築科など))
（100分、３問、ハイブリッド型）

※ハイブリッド型＝穴埋め＋記述式

１．全体傾向～問題は標準的だがボリュームが多い～

大問３問構成で、第１問は３つの小問で構成されていますが、問題によっては他大学の大問レベルのボリュームを持っています。第2問、第3問は入試標準レベルの問題ですが、小問数も多く、全体を通してやることも多いので時間との勝負になりそうです。

制限時間も100分にふさわしい、記述模試のような感じのテストなのが理科大理工の特徴です。2021年は数学科の方より難しいかもです。

解答時間は132分【111分】（←穴埋め考慮）

２．各問の難易度

本文にある緑字(この色)は、大学入試数学を解く上で必要な原則を表しています。

第１問（１）…【空間ベクトル】内積の計算、3次方方程式（AB、12分【8分】、Lv.1）

空間ベクトルからで、少し3次方程式を絡めた感じの問題。

内積＝６からひたすら式を作ってa,b,cの連立方程式を解くだけです。といっても、a,bの２式で出るし、cは最後の式ででます。内積＝０ではないので注意。(私が最初ひっかかりました＾＾；ケタのおかげで気づいた)

最後の3次方程式は係数が15なのでちょっとメンドウですが、因数定理の代入候補の原則(まず±１、それでだめなら最高次の約数/の定数項の約数)を用いて、見つけていきましょう。

これは押さえたい。

☆第１問（２）…【複素数(平面)＋数列】複素数の等比数列の和（B、25分【16分】、Lv.2）

複素数(or複素数平面)からの出題で、複素数を公比とする等比数列の和を、４で割った余りで分類する問題。やることは分かりやすいですが、計算量が多くて時間は持っていかれます。なんとか全部正解したいところ。

最初は極形式にしてもいいですが、答えの形がa+biなのと、2乗、3乗、4乗と順番に出すので、そのまま計算したほうが早そうです。4乗が実数になるので4m乗も分かります。

後半は和を求めます。4mまでの和なので、4つセットで等比数列とみなすのがいいでしょう。最初に出したものが初項と公比なので誘導としては分かりやすいです。あとは1項ずつ慎重に足していけば残りの和も出せます。ケタもあるのでミスには気づきやすいかと。

最後は記述式だと難しいですが、とりあえずS12で絶対値64、S13が128になることはすぐわかりますので、13は入ったのではないででしょうか。

ちゃんと書くなら、上の4つのSについて絶対値の大きさがどう変わるかをすべて述べます。S4mの絶対値は、それまでのSよりも絶対値は大きいので、S11以下はないですね。

これも押さえたいですね。

☆第１問（３）…【整数】条件、方程式を満たす整数解（B、20分【12分】、Lv.1）

整数問題総合って感じです。入試基礎演習としてまとまっています。

最初は中学数学でも出てきますね。360を素因数分解し、奇数の指数を見て最小が10、次が10×２×２です。

次もよく見るパターンです。整数解の基本原則は因数分解＝整数の形です。右辺が０でなくてもいいのが、整数解を求めるときのポイント。(l+m)(l-m)=40としましょう。40は組み合わせが多いですが、絞るときに真っ先に考えるのは大小と奇偶です。今回はドンピシャ。2つの因数は差が偶数なので、どっちも偶数でないとダメですね。

最後は1次不定方程式。穴埋めならば1つ見つかれば簡単に一般解まで持っていけるようにしておきましょう。9x+11y=1の解はx=5、y=-4が見つかります。あとはxを11ずつ増やし、yは9ずつ減らせばOK。

x+y=2k+1なので奇数ですので１，３，５・・・です。５になるときとー５になるときのｋを出せばOK。

これも基本。出来れば全部正解したい。

☆第２問…【微分法】接線、法線の交点、面積、取りうる範囲など（B、35、Lv.2）

放物線を題材にした微分総合問題です。法線との交点や接線同士の交点、三角形の面積やそれらの取りうる範囲など、いろいろやらなければいけないので、時間との勝負です。

（１）は法線出して放物線と連立するだけです。法線の式は見た目ごついですが、x=aで交わるので、x－aを因数に持つと信じで因数分解しましょう。ここで詰まるとほぼ全滅。理科大志望者なら正解しないとキツイと思われます。取りうる範囲ですが、法線絡みは相加平均相乗平均の関係を用いることが多いので覚えておきましょう。

（２）は2接線の交点なので連立するだけ。ｂは最後に代入するとキレイにまとまるかと。なお、2接線の交点のｘ座標は接点の中点であることは知っておきましょう。

微分して傾きを出すだけ。（２）はその式を微分して増減を調べればOK。最初の式から見れば2階微分なので、変曲点のｘ座標ということになります。

（３）は差が付きそう。APとABが垂直であることに気づけば少しラクですが、それでも文字計算がかなりキツイ。こちらは三角形を直接出すより、積分を使って、放物線Dと直線ABで囲まれた6分の公式の部分と、放物線と2接線で囲まれた12分の公式の部分を合わせた面積とみなす方が計算はラクかもしれません。

（４）はまた法線との交点ですので（１）を利用すればｃはｂの式ですぐに出せます。ｂの範囲も出ているので、微分して増減を考えればOKですね。

（３）は差がつきそう。(4)もウマく出さないとちょっとメンドウ。あとは出来れば正解したい。

☆第３問…【微積分総合＋極限】接線、準周期関数と面積、極限（B、40分、Lv.2）

最後は数III総合問題(微積＋極限)です。|xsinｘ|という関数(準周期関数と勝手に読んでます)に関する面積などを計算し、最後に和の極限を出します。模試として出そうなぐらい、身に着けておきたい手法が詰まっています。

（１）は微分と積分の計算。不定積分は部分積分です。部分積分の原則に従い、先に三角関数から変形しましょう。

（２）は原点から、それ以外の点に接するように接線を引くので、先に接点を設定して接線の方程式を作ります。絶対値がついているので細かい議論がメンドウですが、数式的にも、グラフ的にもπ/2、3π/2、5π/2、、、と等差数列になることに気づくと思います。まずは結果を合わせることが優先。ここでミスすると(4)まで全滅なので。

（３）は絶対値付き定積分です。区間の両端と符号の中身＝０を比較して場合分けですね。(2n+1)πで符号が変わります。結果は比較的きれいになります。

（４）は（３）まで出来れば部分分数分解と気づくでしょう。等差数列を求めて分母に持ってきて部分分数分解で和を出すパターンは定期試験や入試基礎問題で頻出です。差が４ずつ飛ぶので1/4を前に出すことだけ忘れずに。

（２）が出来ないと（１）どまりになる。その場合は大問１，２で100％近く稼ぎたい。

３．対策～入試基礎レベルを素早く解く訓練～

例年小問も含めて数IIIが比較的多い印象ですので、数IIIの演習量は出来る限り確保しましょう。チャート式(青)のような網羅的問題集をこなしておき、入試標準レベル演習までやっていろんなパターンに触れておき、さらに解説をしっかり読んで、「穴埋め形式なら使えそう」と思ったテクニックはなるべく吸収していきましょう。

理科大は過去問が良問で非常に優秀ですので、古いものも含めて出来る限りしておきましょう。工学部あたりも形式が似ているので回数を確保するなら入手してもいいでしょう。

量をこなす演習：じっくり演習＝7：3ぐらいでOKです。うまく融合されている問題が多いので、過去問演習が大事。

以上です＾＾