共通テスト 数学II・B【2024年】の難易度、傾向は？対策も
2024/01/17
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このエントリーでは、2024年に行われた共通テストの数学II・BをKATSUYAが解き、その感想や各問題の難易度などをアップしていきます。
【評価指標】
１．難易度 A(易)～E(難)
２．解答するまでの標準的な時間
です。これら2点から、各問題ごとにコメントしていきたいと思います。
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この試験の解説動画もＵＰします。私が実際に解いた紙を元にして思考プロセスもお伝えします。
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共通テスト 数学Ⅱ・B（６０分）
１．全体評価(難易度)～人によるかな～
今年の数ⅡBは、得意な人からすると易化、苦手な人からすると難化だと思いますので、感じ方が分かれるでしょう。特に微積や数列などは、ある程度その単元の演習量を確保していて、体系的に知識を持っているとあまり計算せずにサクサク答えれてしまいますが、そうでないと「はぁ？」と感じて手が付かなかったかもしれません。
第１問[1]は指数・対数。昨年よりはさすがに少し難しくしてきました。昨年が簡単すぎる。グラフ、領域も聞かれました。
第１問[2]は複素数と方程式。珍しい出題ですが、私のYouTubeチャンネルでは追試動画で解説済み。似たようなものを答えさせるものもあった。個人的には良問。
第２問は今年は分かれることなく微積総合問題に。元の関数と、それを積分した関数の関係について考察しまくる問題。後半から抽象的になり、体系的に理解しているかどうかで感じかがかなり変わり、差がつくかと。いい問題だと思います。
第４問の数列も、個人的には去年の複利計算よりダラダラしてなくてラク。ただ、これも人によっては「解けない漸化式だ・・・」となって出来ないかも？
第５問は今年も空間ベクトル。こちらも昨年の設定にくらべると随分スッキリしています。最後の計算はメンドウですが、それでもラクになったかと。
※例年通り、統計(今年は第３問)については省略していますが、2025年以降の課程をふまえて、どこかで解説動画は出します。
※共通テスト(2024年度数II・B)をどうやって解いたかを、Youtube動画で紹介しています。参考にしてみてください。
２．各大問の難易度
※緑色の表記は、数学を解く上で必要な原則を表しています。
☆第１問[１] (指数・対数：対数関数のグラフ、不等式と領域、AB、10分【7分】)
８割難易度・・・普通 満点難易度・・・普通
今年の最初は指数・対数です。昨年はかなり楽でしたが、さすがに少し難しくしてきましたね。
（１）の最初は通るグラフ上の点ですが、単なる対数計算の問題です。落とせません。定点(１，０)もOKですね。
次のグラフは個人的には差がつくと思います。特に「カ」のlog_2x、log_3x、log_4xのグラフはしっかりと教科書や参考書で確認してください。(動画でも説明しています) 「キ」はｙ軸に動いているだけなので、こちらは答えやすい。交点は持ちません。
（２）は底、真数ともに文字の入った対数ですが、最初はどうってことありません。対数の式を指数の式になおせば、y=x＾2とすぐにわかります。底や真数条件もすべて書かれていますので、グラフを選ぶだけ。
最後は不等式です。不等式の場合は注意。底に文字の入った対数不等式は底と１の大小に着目するのが原則。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 指数関数・対数関数 p.46 参照）
先に全部log_x●の形にして、ログを取るときに不等号の向きを変えるかどうかが、場合分けの理由です。あとは０＜ｘ＜１、１＜ｘのときに解いた結果と一致するものを選ぶだけ。慣れていると秒で3番選べそうですけどね＾＾；
KATSUYAの解答時間 2:19 さすがに昨年よりはかかったけど、指数対数は時間の貯金が出来るところ。
第１問[２] (複素数と方程式：2次式で割った余りが定数となる条件、B、14分【9分】)
８割難易度・・・普通 満点難易度・・・やや難
複素数と方程式という、珍しい単元からの出題。こちらの動画で、本試で出てもひるまないようにと言っておいたので、見ていた人は心構えで来てたと思いますね。
問題としては、最後は流れが分かっていないと解きにくい問題です。途中に論理展開を正しく問う問題もありましたので、基礎的な数学力を見ていると思われます。
（１）はP(x)、S(x)が与えられているので、素直に割り算して商を余りを出すだけ。余りU(x)は定数になるはずですので、間違えにくいですね。
(２)は一般的な考察です。余りU(x)が定数となる条件と同値な条件を探ります。
「テ」や「ツ」は出来ましたか？仮定(使える条件)と結論(そこから導かれる条件)をきちんと理解していますか、というものです。数学の答案を書くうえで、非常に重要な論理展開です。こんなことを聞いてくるということは、このような力が、大学が想定しているほど、今の高校生(大学生)にないのかもしれません。
導かれる条件はP(α)＝P(β)となります。これが同値な条件であることを示すには、逆を示す必要があります。それが次です。文が書いてあるので、素直に従って埋めていけば詰まることはないと思います。
最後（３）は、この同値条件を使うことは予想がつくでしょう。10次式なので、サイアク割り算でやってやれなくはないですけど＾＾；(ただし、ごり押しという選択肢は常にストックとして持っておくこと)
同値条件を使えば、S(x)=(ｘ－２)（ｘ＋１）ですから、α＝２、β=－１としてP(2)=P(-1)が成り立つことと同じと分かります。２を代入すると大きくなりそうですが、うまく消えるように設定されています。
その時の余りU(x)は定数ですが、それはP(2)(=P(ー1))そのものですね。
KATSUYAの解答時間5:24 論理展開選ばせる問題あるけど＾＾； 当たり前すぎて戸惑った。でも重要ではある。
☆第２問 (微積分総合：f(x)とf(x)の定積分関数S(x)の関係、S(x)の性質、B、22分【15分】)
８割難易度・・・やや難 満点難易度・・・やや難
今年の微積は分かれることなく、総合問題です。この問題はかなりできが分かれたと思います。試験としてもいい問題だと思いますし、f(x)と、f(x)の定積分関数となるS(x)の関係を理解するのにもいいと思います。
（１）は具体的にｍの値が入っていますので、カリカリ計算するだけ。「アイ」は放物線の軸聞いているだけです。微分は不要。１と２の真ん中で、平方完成も不要。こうやって時短したい。
S(ｘ）を微分するとf(x)になることもいいですね。超重要な微積分の公式(定理)です。これにより、ｘ＝１、ｘ＝２で極値をとることは確定。あとは求めるだけ。
f(3)＝S'(3)なので、微分係数といえばグラフの接線の傾きです。
計算というより、知識問題ですね。
（２）も最初はいいでしょう。「セソ」は面積の表し方を聞いているだけ。「タ」は等号で結んで整理するとどうなるかを選びます。演習経験があると、「０～ｍで積分でゼロね」とすぐにわかります。原則にもありますね。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 積分法 p.65 参照）
「チ」と「ツ」はいい問題だと思います。頑張ってｍを求めようとした人いませんか？ｍ求めなんかなくてもOKです。
「チ」は、S(m)もS'(m)もゼロとなることに着目し、極小値が０になる(x軸と接する)ものを選べということです。
「ツ」はS(m)＞０、S'(m)＝０なので、極小値が正になるものです。
f(x)とS(x)の関係をちゃんと理解しているかどうかで差がついたでしょう。
（３）は文字が多くて難しかったかもしれません。ちょっと説明しにくいので、出来れば動画をご覧ください。
かいつまんで言うと、軸の位置ｘ＝m+1/2に関して放物線が対称なので、領域も対称になって面積が等しいよねっていうことが、①と②の式の意味です。
特に②はMに書き換えたり、ｑまで出てきて戸惑ったと思いますが、放物線の軸から等距離に進めば、対称な領域出来るよねって言っているだけです。ｑの制限は、放物線の下側になるように調整しているだけ。
①から、中点はｘ座標もｙ座標もｐが入らないので、1つに決まります。さらに②を使うとそれがグラフ上にあることが示せるのですが、ｑ＝M-1を代入しても成り立つことに気づかないと厳しい。
実は３次関数が変曲点に関して対称だということを知っていれば、２点が対称の位置にあることが分かるので、瞬殺です。変曲点ももちろんグラフ上です。
こちらの原則で極値付近の特徴については見たことがあると思いますが、それを一般化しているだけですね。
（詳細は拙著シリーズ 数学II 微分法 p.74 参照。詳しい図が載っています）
KATSUYAの解答時間8:34 最後は変曲点に関して対称ってことでしょ？で逃げました。まともに従うのは難しいかなぁ。。。（２）あたりから出来ない人出そうやけど、（１）は確実に確保したい。
第３問 (統計的な推測：晴れの日の母比率の推定、連続して晴れになる確率、B、18分【12分】)
８割難易度・・・普通 満点難易度・・・普通
※2025年度より本問の選択者が一定数増加すると思われますので、解説いたします。過去のものも、順次加えていく予定です。
今年の確率と統計は、後半は統計というかただの確率の計算問題という感じですが、設定なども結構すっきりしたなぁという印象です。難しいという評価もあるようですが、私はそうは思わなかったです。
前半は母比率の推定問題です。調査はベルヌーイ試行のとき(母比率の推定のとき)、標本比率がどんな分布に従うかが反射的に出るぐらいまで演習しておきたいですね。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C 統計的な推測 p.56 参照）
最初の期待値はいいでしょう。０×(１－ｐ)＋1×ｐ＝ｐです。簡単すぎて逆に戸惑ったかもですが＾＾；
次の、どのような正規分布に近似できるかも、毎年のように聞かれます。普段は具体的な数値を計算させることが多いですが、今回は公式そのままの形を選ぶだけです。
次の「ウ」と「エ」は聞き方的に少し戸惑ったかもですが、母比率の推定の際の公式をおさえていれば、逆算も可能です。
「ウ」は、分散の計算が「2乗の平均ー平均の2乗」であることを聞いているだけです。
まず「エ」は、母比率の推定の公式の一部です。母標準偏差σの代わりに標本標準偏差Sを用いて、全体で「イ」の部分がR(1-R)/nとなるはずです(Rが今回の平均Xバーのこと)。従って、S^2の式全体はR(1-R)のはずですね。
なお、文章の意味は、確率変数０や１は、どちらをとったとしてもX^2＝Xが成り立つので、X1^2などの2乗の部分をすべて取っ払って計算してもいいよねってことです。すると、S＝√(XーX^2)となります。(上のバーは省略)
95％信頼区間も、ほぼ公式そのままですね。標本平均0.25±1.96×√{R(1-R)/300}です。R=0.25を入れて計算すれば終わりです。根号もウマく外せます。1/4と3/4で、データの個数が３００個という設定も、根号がうまく外せる典型例ですね。
後半はただの確率の問題で、数Bの統計の知識は不要です。「ちょうど３週続けて晴れ」の定義に気を付けて、確率を頑張って計算します。
U4の期待値は左ページに書いてある通り。大いに活用しましょう。１と書いてあるところだけ、確率を出して足すだけです。
U5は自分で調べますが、左ページのような表を書くのは現実的ではないので、直で調べに行きましょう。数Aの原則ですが、連続する場合を求める問題では、連続の始まりで場合分けするといいでしょう。
（詳細は拙著シリーズ 数学A 集合と場合の数 p.60 参照）
4つ以上続くのはNGなので、それも考慮して 1110※、01110、※0111となります。(※はどっちが入ってもいい)
あとは期待値を計算するだけ、というかこれらの確率を足すだけです。(と言いながら、私は2回もミスってます＾＾；)
最後はU300の期待値ですが、これをまともに数えるのはツライので、文章に書いてあることを受け入れましょう。数値は繁雑ですが、ただの直線上の点の座標計算だと分かります(数Ⅱ、いや、中２？)。U4とU5の期待値の差から傾きを出せば、300-4=296倍してU4の期待値に足すだけです。
KATSUYAの解答時間10:12 時間はかかったが、自分のU5の期待値計算ミスのせいなので、量的にもだいぶすっきりかな。2回計算ミスしているが、2回とも最後のケタが合わなくなって助かった。後半、数B統計の知識いらん＾＾；
☆第４問 (数列：等差数列、漸化式と帰納法、B、18分【12分】)
８割難易度・・・普通 満点難易度・・・普通～やや難
昨年、今年と文章が長かったですが、今年は４ページなので少しスッキリしました。個人的には計算も少なく、和の計算すら不要でラクだと思いましたが、後半の漸化式に意外と苦労する人もいるかもです。
（１）はただの等差数列です。これは楽勝ですね。
（２）は４型の漸化式になります。こちらも最頻出ともいえるタイプですね。特性方程式を作って等比型に帰着しましょう。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ｂ・Ｃ 数列 p.38 参照）
これも落とせませんね。初項ｂ１は与えられていませんので、そのまま置いておきましょう。
（３）がメインです。数列の項の２次方程式のような関係式で表されていて、「どうやって解くの？」という感じですが、別に一般項を聞いているわけではなく、順番に素直に見ていけば解ける問題です。
最初は代入するだけです。n=1によってc１からc２が求められます。c３からc２を求めるときには、n=2を入れましょう。c3とc2が同じ値になります。隣接２項間漸化式では、隣り合う項が同じなら、基本的にずっと同じです。
次は項が－３となるときが特殊っぽいので、探ってみようという意図。これも問題文に丁寧に書いてあるように、ｃ３＝－3だと、次の項はなんでもいいことになります。そこで、次の項ｃ４に好き勝手に入れて、ｃ５を計算しようというだけです。
その次で、数列に関するある予想を立て、それを証明する流れ。明らかに帰納法の出番ですね。原則のどちらにも当てはまっています。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ｂ・Ｃ 数列 p.38 参照）
「テ」は、帰納法の２段階目にあたる証明を選ぶだけです。実際の証明は要求されていません。成り立つと書いてあるので、受けいれればＯＫ。
最後は慣れていないと少し難しいかもですが、命題が成り立つことから、この命題の対偶を取ればＯＫです。対偶は
あるｎでｃｎ＝ー３なら、ｃ１＝－３となる
です。それは(3)の(i)の実験でも分かりますね。どこかでー３になると、前に戻っていくとー３のままなわけです。ただし、その先は別にー３である必要はありません。それは(ii)の実験がヒント。これらのことを踏まえれば選べるでしょう。Ⅰの数列だけは存在しませんね。
KATSUYAの解答時間4:03 昨年の半分。計算もかなり少なくて簡単だと個人的には思うけど、意外と出来が悪い？
☆第５問（空間ベクトル：四面体、垂直条件など、B、24分【16分】)
８割難易度・・・普通 満点難易度・・・普通
今年は昨年に引き続き空間ベクトルでした。これまで交互でしたが、崩れました。といっても、ベクトルも昨年よりかなりすっきりしていて、解きやすかったと思います。最後ははしごを外して一気に計算させてる感じですが。。。
(1)はいいでしょう。成分計算して内積を出すだけです。
(２)は、直線上の点を表す式を選ぶ問題です。これまで、式は問題文に書かれていて、それに従えば計算するだけでしたが、ついに式を選ばせる問題が出てきました。
こちらの動画でも可能性に言及はしましたが、追試でも式が書かれていたので、本試ではやってこないだろうとは思っていました。
といっても、直前にAP→＝ｓAB→とあるので、変形して成り立つものを選ぶだけです。
それを踏まえて、AB上の点PとOとの距離が最小となるタイミングを調べる問題。２通りの解き方が提示されていますが、一応どちらも考察します。
花子さんの方はOP^2をsの２次式で表します。Pの座標はｓで表されるので、OP^2はsの２次式になり、平方完成して終わりです。
太郎さんの方は図形的なアプローチです。一番短くなるときとは、OからABに垂線をおろしたときなので、OPとABが垂直になりますね。
OP^2の式があるので、そちらを利用すればｓ＝２もさくっとでますね。
（３）は、２直線上を動くP,Qの距離の最小値になります。共テお得意の流れです。難しくし、はしごも外すというパターン。花子さん、太郎さんのどちらの方法でもいいので、やってねということでしょう。
花子さんのやり方でやるならこちらの原則に従ってカリカリ計算します。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ｂ・Ｃ 空間ベクトル p.61 参照）
Pの座標はｓで表されているので、Qの方も同じようにOC→＋ｔCD→、あるいは (１－ｔ)OC→＋ｔOD→などで表せばいけます。PQ→の成分をｓ、ｔで表し、各成分の２乗和を出せばOK。
太郎さんの方は、予想にはなりますが、PQが最小になるとき、PQがABにもCDにも垂直になるときであることを利用します。今回はこちらに気づければこちらの方が早いでしょう。
KATSUYAの解答時間7:33 ベクトルも昨年より短かったなぁ。数Bは易化かな。
関連リンク
※共通テスト(2024年度数II・B)をどうやって解いたかを、Youtube動画で紹介しています。参考にしてみてください。
３．対策～共テのみの対策は不要になる？～
共通テストの主旨から考えると「知識だけで解ける問題」よりも「知識を使って考察する問題」が主になってくると思います。
今年の微積分、数列のような問題は2次試験でも扱われそうな問題で、それを穴埋め形式にしている感じがします。(作問側が苦心して作っている様子がうかがえます)
逆に言えば、2次試験用の対策がそのまま活かされる可能性が高く、数学が共テのみで必要で、いわゆる「共テ対策」のみ行っていても逆に点数が取れないかもしれません。
今年も数学以外にも外部からいろいろ言われていますが、外部の批評家がいくらピーピーわめいてもこの傾向は変わらないと思いますので、過去問や模試の問題集できちんと訓練をしておきましょう。
また、難易度的には、これまでのセンター時代のセンター対策のみでは対応できない内容が目につきます。共通テストしか使わないとしても、チャートの例題ぐらいは一通り解けるようにしておく必要があるでしょう。
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版！)■
数学II Chapter２～複素数と方程式～ (第１問[2])
数学II Chapter５～指数関数・対数関数～ (第１問[1])
数学II Chapter６～微分法～ (第２問)
数学II Chapter７～積分法～ (第２問)
数学B・C Chapter１～数列～ (第４問)
数学B・C Chapter３Ｂ～空間ベクトル～ (第４問)
数学B・C Chapter４～複素数平面～ (25年度からは範囲に！)
数学B・C Chapter５～式と曲線～ (25年度からは範囲に！)
※Chapter２「統計的な推測」も４月下旬～５月上旬に販売開始予定。(遅れる可能性はありますが、どんなに遅くても夏前には販売開始すると思います)
すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ！！
数学B・C～原則のみ～ (←こっちにはすでに統計も収録済み！)
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