【後期】東北大学 理系| 2017年度大学入試数学
2017/04/06
●２０１７年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)【後期】です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾
後期の大学のうち、数学のある大学について評価を書いていきます＾＾
【お知らせ】
3/12～3/19 まで所用で海外にいたため、後期のエントリー、コメントの返信が遅れています。現在までに頂いているコメントはほぼ返信いたしましたので、ご確認ください。
２０１７年大学入試（国公立）シリーズ。
東北大学(理系)【後期】です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
東北大学（理系）【後期】
（試験時間150分、６問、記述式）
１．全体総評～質、量、範囲全てでバランスの取れたセット～
昨年と変化なしです。数学IIIからは微積が、数学Bはベクトルと数列が両方、あとは数IIと数Aということで、数B関連が３問あるものの、基本的にはバランスが取れています。計算量も適度に有り、質的にも易しめのもの、標準のもの、難し目のものがあり、試験としては非常に適切なセットだったと思います。
試験時間150分に対し、
標準回答時間は160分。昨年と同じですね。
2016年：160分
2015年：165分
2014年：180分
２．合格ライン
前半の３問は比較的穏やかで、理系であれば計算をコツコツやって抑えたいです。
4番は東北大では珍しい確率と漸化式です。
5番は（１）は行けるが、（２）（３）はキー問題です。
6番も演習量で差がつくと思われます。
前半３つを抑えて、5番か6番で合わせて1完ぐらいあればなんとか届きそうです。
６５％ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
第１問・・・【図形と式＋三角関数＋微分法】放物線の接線の条件（B,20分、Lv.2）
図形の融合問題です。放物線の頂点が円周上にあり、さらに接線が円周を2等分する条件です。条件は遠まわしですが、要は接線が原点を通る条件ということで、三角方程式に帰着されます。
（３）は原点を通る接線が１本しかない条件を探すということですので、こちらの原則ですね＾＾
また、「接線が１本しかない」という条件は、解の個数の話に帰着できます。
（拙著シリーズ(白) 数学II 微分法 p.8-10）
なお、放物線に1本しか接線が引けないということは、その原点が放物線上にありますが、明らかではありませんので、上記原則に基づいて記述したほうがいいでしょう。
※KATSUYAの解いた感想
頂点が円周上にある。座標おいてくれてるわ＾＾； （２）は接線が原点通ればいいから、結局三角方程式の話になると。（３）1本しかないから、原点が放物線上でb＝０やな。上記原則とおりに書いて、きちんとb＝０を述べる。cosが2重根号になるけど、まあしょうがない、解答時間12分。
第２問・・・【微積分総合】定積分関数の最小値（B、20分、Lv.１）
７ａ＋２３ｂ＝０などと設定はややこしく見せていますが、ただの定積分関数の最小値を求める問題です。F(x)自体を求める必要はなく、導関数自体は 「積分の微分はもと」の公式を用いればすぐにわかります。
最小となるxが分かってから、その値だけ定積分計算すればいいでしょう。７、２３といった数値で最小となるxの値は綺麗になっていますが、最小値自体はそこまで綺麗にならなく、題材的にも数値的にも、少し雑な設定の問題ですね＾＾；
※KATSUYAの解いた感想
条件式はすぐ消去すりゃいいかな。なんか文字多くてややこしく見えるけど、ａ前に出せばたいしたことはない。微分してx＝１で最小となる。綺麗に出せるように７、２３とか調整しているのね。x＝１を代入して定積分計算。あんまキレイでないので、一応もう一回。結果は同じ。うーん、あまり練られた問題ではないみたいやな。解答時間12分。
第３問・・・【三角関数＋微分法】三角関数で表された式の最大・最小（B、20分、Lv.１）
第２問に引き続き、微分を出せる問題がでました。誘導もあるので方針に詰まることはなさそうです。極値などの計算が少し煩雑なので、そこをきちんと合わせられたかどうかだけですね。
（１）は通分するとsinθcosθに加えて、sinθ＋cosθも出てきますので、誘導にある通り置き換えましょう。誘導がなくても、こちらの原則を知っていれば見通しがいいです。
（拙著シリーズ(白) 数学II 三角関数 p.54）
上記原則で範囲も出しておき、（２）はその範囲で微分、増減を調べましょう。極値をとるxの値が汚く、極値の計算は煩雑ですが、本問はそこまで時間もかからないので、これぐらいは厭わずやりたいところです。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
誘導もあるし、明らかに置き換えて範囲を合成で出すパターンやな。（２）は微分して増減。極値の値の計算はちよっと有理化とかメンドウ。でもこれがラクやったらほとんど空気やな。計算問題と割り切ればまあこんなもんか。解答時間12分。
☆第４問・・・【確率＋数列】立方体の頂点の移動、確率と漸化式、条件付き確率（C、35分、Lv.２）
確率と漸化式です。旧７帝大の中では、東北大はあまり確率と漸化式を出さないのですが、この後期で出題してきました。また、この手のタイプの中でも上級レベルなので、対策が薄い可能性がある本学受験者には厳しいレベルかと思われます。
なお、今年の名古屋大前期でもう少しラクなタイプが出題されています（計算は名古屋の方が複雑）。
（１）はコツコツ調べればいいでしょう。また、この過程で、奇数秒後はAにはたどり着かないことを知る必要があります。
（２）がメインの問題です。こちらの３点セットの原則を用います。
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43）
ただし、今回は偶数秒後しか点Aにいませんので、nとｎ＋２で遷移を考える必要があります。ここが少し難しいところです。
Aだけでは様子はつかめませんので、他のところも設定する必要があります。
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43）
偶数秒後は、A以外ではC,F,Hにしか止まりませんので、ここだけ設定すればOKでした。慣れていれば、次に述べる原則を利用して、C,F,Hは対称なので大胆に「A」と「A以外」という、２つの状態だけで進めることも出来ます。
さらに、偶数秒後はこの4頂点に止まる確率を足せば１になりますので、これも利用しましょう。
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39-43）
２つおきというところが、少し難易度を上げています。もともと題材的にレベルの高い問題なので、普段出題しない東北大からの出題で難しかったでしょう。
（３）は（２）が出来ればおまけです。分母はｎ＝８を（２）に入れればいいです。分子は、全頂点を回ってAにもどる経路を地道に調査し、確率を計算しましょう。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
立方体関連の漸化式ね。名古屋でもみたけど、あれはうろうろするだけやからな。今回はまともに漸化式を設定するタイプ。上記原則と、２つおきに作ることに注意して（２）を先に出し、（１）はそれに代入。（３）はあと分子だけやな。経路を慎重に調査して終了。解答時間19分。
☆第５問・・・【整数＋数列】整数解の個数（BC、30分、Lv.２）
整数解の個数の問題です。3文字ある上に、係数がいくつか入っていますので、少し難しめのタイプといえます。拙著では比較的大きく取り上げているので、体系的に理解している人にとっては逆に易しく、サービス問題に近いタイプでもあります。
このタイプの問題には、キラー原則が存在します。
（拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.63）
また固定する際には、係数が１でないものを優先した方がいいでしょう。
（拙著シリーズ(白) 数学A 整数 p.64-65）
今回は、ｘ、ｙの係数が両方２なので、２（ｘ＋ｙ）＋ｚ＝ｎ とみなし、ｘ＋ｙ＝ｋ で固定すると計算がしやすいです。なお、ｋがどこまで取れるかを考えたときに、奇数、偶数で場合分けが必要だと分かります。
（３）は不等式ですが、（２）の結果を今度はシグマ計算することになります。ここでも奇数、偶数で場合分けが必要です。計算量も比較的多めな上に、場合分けを２回も行いますので、慣れていないと時間はかなりかかると思われます。
この手のタイプは、ｎ＝０、１，２、３などで実際に数えてみて、式に合っているかどうかを確かめれば簡単に検算できますので、必ず行いましょう。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
この手のタイプは自分で書いているので、手が詰まることなく上記方針で固定してシグマを取る。先に（２）をやり、（１）は代入。（３）は（２）の結果をシグマやな。これも奇数、偶数で分ける。答案量自体もかなり多いから、慣れてないと時間を取られる可能性があるな。解答時間18分。
第６問・・・【空間ベクトル】球面上の点から下した垂線、なす角の余弦の最大値（BC、30分、Lv.２）
最後は空間ベクトルです。球面上の２点から下した垂線などについて聞いてきます。条件をうまくベクトルの式に変形できるかどうかがポイントです。
条件としては、BDやCEがOAと平行であること、ODやOEがOAと垂直であることです。利これにきちんと気づけば、あとはこれらを式にすれば、ODやOEの成分はすぐに求められます。 Aの座標が球面上の点なので、ｂ＾２＋ｃ＾２＋1/5=1 になることを多用しますので、これに気づかないと極めて複雑な式になり、手がとまってしまうでしょう。
特に長さを出すところは、１／５－２が係数として出ますが、これを計算してしまうと見えにくくなります。b^2+c^2=4/5 で代入していく方が無難そうですね。
（２）はなす角の余弦の最大値なので、内積の式にあてはめましょう。ｂｃという式だけが残ります。取りうる値の範囲は三角関数利用（ｂ＝2/√５・cosα、ｃ＝2/√５・sinα とおく）でもいいですし、相加相乗でもいいと思います。ｂｃ＜０に十分注意。式自体は単調減少ですので、端っこで最大ですね。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
空間ベクトルか。球面入るとちょっと難易度上がりそうやけど、、、条件からＢＤとかＣＥはＯＡと平行やから、垂線の方向がはっきりしている分ラクかな。平面の方程式を使ってもいいだろうと判断し、平面αの式を用いてＤ，Ｅの座標を計算。b^2+c^2+1/5=1で結構きれいにできる。うまく設定してあるな。あまり図形的な意味を感じないけど＾＾； （２）は（１）の値を利用。上記方針で終了。ｂｃの範囲とか、最後にＡの座標まで出すから、細かい議論は必要なところも、試験としては差を出しやすいやろな。解答時間22分。
４．対策
基本的には前期と同じです。前期のエントリーをご覧下さい。前期よりは難しい問題が多い傾向にありますが、構成や問題の特徴はほとんど変わりません。
量をこなす演習：じっくり演習＝６：４ぐらいでしょう。
以上です＾＾
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学A 確率 (第４問)
★ 数学II 三角関数 (第１問、第３問、第６問(使うなら))
★ 数学B ベクトル (第６問)
★ 数学B 数列 (第４問、第５問)
★ 数学III 微分法の応用 (第２問、第３問)
★ 数学III 積分法 (第２問)
