名古屋大学 理系 | 2017年大学入試数学

      2017/03/06

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●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2017年大学入試(国公立)シリーズ。
名古屋大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





名古屋大学(理系)
(試験時間150分、4問、記述式)

1.全体総評~計算の煩雑さを除けば良問セットで差は出やすい~

4番にまた論証が当時しましたが、昨年に比べればまだマシで、点数が取れそうな答案がかける一方、その他の問題は良問のレベルですが、かなり計算量が多く、昨年よりも点数に結びつきづらいです。分野は数学IIIの微積総合、確率(漸化式)、空間図形、複素数(平面?)というセットで頻出の分野ですが、とにかく多くを要求してくるので、相当な計算力が問われます。




試験時間150分に対し、
標準回答時間は160分。昨年よりは時間が減りましたが、昨年はあてになりません。


2016年:200分(4番を捨てれば80分で済む)
2015年:145分
2014年:140分
2013年:135分
2012年:150分
2011年:125分
2010年:135分

2.合格ライン

今年は第1問~第3問も計算量が多めなので、まずはここをミスをせずにクリアできるかどうか。

計算量がマシな順に第3問、第2問、第1問なので、この順に正答率を上げておきたい。第3問完答、第2問(3)まで、第1問は体積が合えばこれで合格でしょう。体積の式まであっているだけでも、第4問で(2)まで行けばOK。

一方、計算ミスを犯している場合は、第4問で(3)、(4)も多少はくらいつく答案が必要。


60%ぐらいあれば大丈夫だと思います。

3.各問の難易度

第1問・・・【微積分総合】接線の交点、極値・凹凸・グラフ、回転体の体積(B,40分、Lv2)

微積分総合です。やることは比較的分かりやすいのでBレベルですが、やるべきことがかなり多く、体積は縦軸回転体のため、計算がかなり膨れます。

(1)は接線の方程式を出して、x=0、y=0とするだけです。(2)はその式を2回微分して増減凹凸を調べます。第2次導関数はともに符号が一定なので、言葉で述べておけば表にまで記載する必要はないです。

(3)はy軸(t軸)回転体なので、こちらの原則で計算していきます。

 

 Principle Piece III-79

 y軸回転体

 [1] x=f(y) に出来るなら x^2をyで積分

 [2] 出来ないなら dy=dy/dx・dx で置換積分

(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法の応用 p.40)

今回は、u(t)の方は[2]の方法で、v(t)の方はどちらの方法でも出来ますので、統一したほうが答案は書きやすいと思いますので、[2]の方法がよかったとおもいます。

u(t)は途中で増減が変わるため、「極大点より右の部分だけを見ている」ことを明記しておかないと減点されます。

※KATSUYAの解いた感想
名大は奇問がたまにあるから、気を付けないとな。微積総合っぽいかな。グラフ書かせて、回転体か。(1)(2)は計算するだけ。凹凸もか。ちょっとメンドウ。(3)y軸方向の回転体か。答案も計算も結構量があるな。部分積分も入るし、てか答え汚いな^^; 見直す気になれないが、一応(3)だけ見直し。変わらないな。これでいいかな。解答時間28分。

 

☆第2問・・・【確率と漸化式】立方体の頂点の移動と確率(BC、45分、Lv.2)

こちらも、確率と漸化式で名大理系としては比較的出やすいパターンです。対策済みかと思われますので、手がついたでしょう。

立方体の頂点は8つありますが、問題の設定の仕方がヒントになっています。遷移状態として、「A」、「BかDかE」、「CかFかH」、「G」の4つにしておくと楽です。また、遷移図もそんなに複雑ではなく、例えば「A」からは「BかDかE」にしか行けず、確率は1となります。

(1)を解く前に、遷移図は作ってしまったほうがいいでしょう。

Principle Piece A-40

n回目とn+1回目を詳しく見る

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39~43)

今回は、全て文字で設定されていますので、こちらは意識しなくていいでしょう。

Principle Piece A-41

必要のない部分も文字で置く

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39~43)

(1)はコツコツ計算するだけです。奇偶で止まる頂点が決まることの確認がてら、といったところでしょう。(2)は漸化式を解きます。奇偶で分かれるということは、1個とびの漸化式になると気づけるかどうかです。頂点移動のときはよく行われる操作なので、ここは気づきたいです。

q_n+2を漸化式で計算すれば、7/9qn になるとわかります。ここから奇偶で分けましょう。p_n、r_nも分けます。ただし奇数については、p1、q1、r1が入らないように調整しましょう。

 

(2)がちゃんとできれば、(3)はそんなに難しくありません。ただし、s1(時刻2)だけは一般項に当てはまりませんので注意です。初期値は常にあてはまるかどうか確認する癖をつけておきましょう。

(4)はさらに計算が増えます。t_mを出すためには、途中時刻2kで一度Aへ行き、もう一度「2m-2k」だけ時間が経過したときにAに到達する確率をだし、Σをとります。ほとんど一定の確率であるとわかりますが、端っこ2つだけはs1が入るので、変わります。

漸化式自体はそんなに難しくないですが、奇偶で分ける必要があることに加え、端っこの扱いに最後まで気を取られる問題でしたね。

 

※KATSUYAの解いた感想
確率と漸化式か。立方体やから点は多そうやけど、確率の設定は、まあまあ親切な設定。遷移図を書いてから(1)、原則で(2)を終了。全部奇偶で分けてかかないとアカンから、結構メンドウ。(3)は偶数確定やから場合分けは不要やけど、初期だけ変わるな。(4)は2回目のAやから1回目のAの時刻でΣと気づく。初期がかかわるとΣとれないから、分ける。かなりメンドくさい計算で結果も汚いし tm<smの不等式自体はかなり整理は出来るが、結構時間かかるな。解答時間36分。

 

☆第3問・・・【空間ベクトル+図形と式+2次関数or複素数と方程式+式と曲線】球面、半球面との共有点条件(B、30分、Lv.2)

球面と直線が共有点を持つ条件ですが、領域が楕円になったり、(3)では解の存在範囲になったりと、複数分野にまたがります。やること自体は比較的単純ですが、円や楕円が3つもあり、領域の詳細(交点など)には時間がかかります。

(1)は置かれている通りです。始点をOに合わせます。引き算は始点合わせの公式と心得ておきましょう^^

 Principle Piece B-25

 ベクトルの引き算は始点合わせの公式

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.9)

 (2)は、実数解条件に帰着させるだけです。点Qが球面上にあるとして「t」についての方程式を作り、判別式です。

(3)もほぼ同じで、z>0の部分は、tの範囲では「t<1」になりますので、解の存在範囲の問題に帰着できます。

Principle Piece I-32

 解の存在範囲の条件を体系的に把握する

(拙著シリーズ(白) 数学I 2次関数 p.44 詳細は割愛)

式を立てるのは簡単ですが、領域が円2つと楕円で、交点をすべて吟味しないとわかりません。実は3つの曲線は(1、±1)を共有し、そのうち大きい円と楕円は接します。適当に書いて分かることではないので、きっちり吟味していないと減点されるでしょう。

 

※KATSUYAの解いた感想
空間ベクトルかな。(1)は始点あわせ。(2)は実数解条件。領域は楕円か。(3)は解に条件があるから、原則にしたがって3条件を出す。全部円と楕円か。上下関係がよくわからん。このままでは書けないので、交点を調査。楕円と大円が接するのか。これは調べないと分からないな。危ない危ない。解答時間21分。

第4問・・・【複素数(平面)】条件を満たす集合の特定、論証(CD、45分、Lv.3)

今年も最後は論証です。昨年に比べれば、まだ答の予想もつき、何をやるべきかは見やすいですが、それでも比較的長い証明過程を必要とするため、一筋縄ではいかないでしょう。

条件を満たす複素数の集合ということで、なんとなくは1のn乗根であることは予想がつくかと思います。

(1)はいいでしょう。条件IIと条件IIIを用います。wとして1/zを選べば1が要素に、また、ーzと1/zとしてー1が言えます。

(2)も比較的簡単です。zがあればーzもありますので、0でなければ必ず異なるペアがあることになります。

(3)以降は予想はつきそうですが、それ以外にないことをきちんと言わないと得点にはならないでしょう。ー1と1は確定ですから、残りを調べることになります。

(3)の場合は、{ー1、1、z、ーz}として問題ないでしょう。zは0、ー1、1以外で設定しますから、1/zがどの要素になるかを考えると、ーz以外にありません。したがって、z=±iが出ることになります。

(4)は要素が増えますので、場合分けが必要。私は{ー1、1、z、ーz、w、ーw}としました。

このとき、1/zとして取れるものはーz、w、ーwのはずですから、場合分けして全て調査すると、(予想通り?)1の6条根全て、という組み合わせしかないことがわかります。

※なお、複素数平面の知識を利用する場合は、例えばすべての集合の絶対値が1であることを証明しておくと、1/z=zバーとなること、などが使えます。


※KATSUYAの解いた感想
また大物論証かな。名大の論証はきついけど^^; 複素数の集合系か。昨年よりは馴染みやすそう。集合はおそらくn乗根すべてかな。(1)と(2)はさくっと終了。(3)は、4個のうち2個は分かっているので、条件2と3を駆使して残りを特定。(4)は個数が増えるだけやけど、地道に調査するしかないな。ありえるパターンをひたすら調査して、終了。今年はまだ方針が立ったな。解答時間32分。

 

4.対策

頻出分野は微積、確率(漸化式と絡むことが多い)、整数の論証系です。どれも計算量もあり、かつ発想もある程度必要なものが多いです。出題分野も似ている東大レベルで練習を積んでおいてもいいぐらいでしょう。

BレベルとCレベルが5部5部ぐらいで出題されます。Bレベルを落とさないことを最優先に、さらに上のせしていきましょう。Cレベル以上を意識しすぎると、逆効果。Cレベルは、3割とれればいい、ぐらいの気持ちでいるほうがいいでしょう。それよりも、D以上を嗅ぎ分ける能力が本学では必要で、今年の第4問のようなものを、避けられることも重要。過去問で嗅ぎ分けの練習をしましょう。

最終段階では、仕上げ段階まで行っておきたいですが、ここまで行ったとしても点数につながらない問題も出るかもしれません。本学の場合、他の科目を犠牲にしてまで数学に時間を取られることのないようにしましょう。合計で合格すればいいのです。

単科長年タイプの過去問もありますので、ある程度のレベルに達したと感じたら、これに絞って研究するのもいいかもしれません。

※名大理系数学は大竹先生が書いておられます。私も高校生のときにご指導いただいた先生で、個人的には非常にオススメです。


量をこなす演習:じっくり演習=8:2(入試演習初期)→6:4(仕上げ期)ぐらいでシフトしていくといいでしょう。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学Ⅰ 2次関数 (第3問)

★ 数学A 確率 (第2問)

★ 数学II 複素数と方程式 (第4問)

★ 数学II 図形と式 (第3問)

★ 数学B ベクトル (第3問)

★ 数学B 数列 (第2問)

★ 数学III 式と曲線 (第3問)

★ 数学III 複素数平面 (第4問)

★ 数学III 微分法の応用 (第1問)

★ 数学III 積分法の応用 (第1問)

融合問題が多いので、たくさんありますね。

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