東北大学 理系 | 2016年大学入試数学

      2017/02/24

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●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は東北大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2016年大学入試シリーズ(国公立)シリーズ。
東北大学(理系)です。

 

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





東北大学(理系)
(試験時間150分、6問、記述式)

 

1.全体総評~計算量が例年より少なく易化~

昨年より易化。前半3問がかなり易しく後半も誘導のある第4問は取りやすく、計算量も例年より少なめなので、余裕があったと思われます。時間をかけて後半2つの勝負となったでしょう。



試験時間150分に対し、
標準回答時間は135分。今年は少なめですね。

2015年:178分
2014年:185分
2013年:155分
2012年:170分
2011年:140分
2010年:200分

 

2.合格ライン

第1問~第3問はおさえたい。第4問~第6問も、時間はあるので、出来れば2つおさえたい。残り時間で、ミスを防げば、5完もいけそうな感じです。


70%強ぐらい取れてしまいそうです。

 

3.各問の難易度

第1問・・・【平面図形】垂心、同一円周上(AB,15分、Lv1)

珍しく平面図形の問題ですが、たいしたことはありません。同一円周上にある4点を見つけ、円周角の定理でどんどん角度を移していけばOKです。平面図形はあまり演習していないと思いますが、それでもここは抑えたいですね。

※KATSUYAの解いた感想
平面図形の問題か。垂心ネタの基本的な問題やな。これは簡単。解答時間8分。

第2問・・・【整数+数列】帰納法、素数ネタ(B、20分、Lv.2)

等式を満たす素数を見つける問題ですが、(1)のおかげでかなりラクになっています。(1)は書いてある通り、帰納法で証明します。(2)は(1)を用いますが、pとqは対称ではありませんので、p=2のときとq=2のとき、両方調べましょう。こちらも誘導がありますし、確実にものにしたいです。

(1)がなくても、どちらかが2であることはすぐに分かりますし、指数関数の方が一気に大きくなりますので、帰納法で不等式を証明することを思いついて欲しいところですね。

※KATSUYAの解いた感想
なんか似た式を他の旧7帝大で見たような。いや、証明が似てるのか。京大かな。解答時間6分。

第3問・・・【確率】サイコロ3個、三角形の辺(AB、15分、Lv.1)

今年の確率はたいしたことはありません。東北大はあまり漸化式と絡んで出てきませんが、この確率はかなりラクです。直角三角形は3、4、5しかありませんし、鋭角三角形も調べ上げればすぐにできます。

a,b,cのうち2つが等しい時、3つとも異なるときで分けて数えるとラクです。対称性もありますので、大小を設定するとかなり減りますね^^

原則を用いるまでもなく、ただ数え上げるだけです。

※KATSUYAの解いた感想
これはどうみてもただ調査するだけやな。(1)は瞬殺。(2)は216通りはしんどいから、大小設定をする。3つが等しい時はアウト。2つ、全部違う時で数えて終了。 解答時間9分。なんかラクなセットの予感してきたが、、、

☆第4問・・・【複素数平面】ドモアブルの定理、π/7系統の三角関数との関連(B、25分、Lv.2)

極形式等を利用して、π/7関連の三角関数の値を求めていく問題です。題材は本格的ですが、誘導も非常に丁寧なので、これも確実にものにしたいです。

(1)は2項定理で展開すればOKです。(2)はドモアブルの定理を利用すればすぐに分かります。共役複素数の偏角は、マイナスを付けるだけですね。

(3)は差がつきそうですが、Q(x_k)はすぐにP(x)につながりますので、(2)と同様の手順で(省略してもいいでしょう)導けますので分かります。(4)はx1、x2、x3が全て解ですが、これらが異なることは断っておかなければ減点されるでしょう。あとは、解と係数の関係ですね^^

※KATSUYAの解いた感想
お、複素数平面のにおいするな。(2)はドモアブルやな。(3)以降は(2)を使いそう。とりあえず始める。(1)はただの2項展開で瞬殺。(2)はsinを先に出せば極形式になるな。(3)は、代入してみるとP(x)につながる。(4)は解と係数の関係やな。あ、でも全て異なることは断る。tanに直せばいいかな。解答時間15分。

☆第5問・・・【空間ベクトル】空間図形、球の切り口の面積の和の最大値(BC、30分、Lv.2)

空間図形と題材とした問題で、図形のイメージや垂直であることの確認作業を考えると、本セット最難問だと思われます。図がそれなりにうまく書けないとイメージがわかず、少し難しいです。

長さから、OPQが直角三角形なのは分かります。ポイントはPQが「平面α」に垂直であることを示す作業です。OPに垂直であることはいいですが、さらに「交線l」にも垂直であることを言わないと、次の原則が使えません。

 

Principle Piece B-55

球の平面と切り口は三平方の定理で

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.82-83)


勢いで、OP⊥PQだけで「半径の2乗ーPTの2乗」とやってしまった人は、結果はあっていますが、減点されるでしょう。

(1)がきちんと出来れば、(2)も簡単。PからOQに垂線をおろし、それがちゃんと平面βに垂直であることをやはりきちんと示します。あとは半径の2乗の和の最大値を求めて円周率をかければOKです^^



※KATSUYAの解いた感想
問題文を読み、これはある程度図をうまくかかないとマズイと判断。たまたま平面が30°ぐらいの角をなすように書いてあり、OPQがしっくりきた^^ 中心との距離はPTやな、、、ん、まてまて、平面に垂直とは言ってないな(^^;)もう一本は「l」で行くか。危なかった。これに気づけば(2)は実質同じやから、垂直勝負やな。解答時間19分。

☆第6問・・・【積分法+三角関数】絶対値付き定積分、三角関数の最大・最小(B、30分、Lv.2)

絶対値付き関数の積分です。最後になってやっと数IIIの微積です。絶対値付き定積分関数なので、こちらの原則に従います。

Principle Piece II-106

絶対値付き積分は中身=0と積分区間を比較する

(拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.10-11)


今回は、交点が積分区間に入っていますので、場合分けすることなく積分計算ができます。整式に比べると式処理が複雑なので、グラフを書いて見るとわかりやすかったかもしれません。

積分結果は 2/3xが角度になりますが、sinとcosの1次式になりますので、ただの合成ですね^^

 

Principle Piece II-64

合成の条件
[1] 角度が同じ  [2]sin とcosがある  [3]1次式

(拙著シリーズ(白) 数学II 三角関数 p.43-44)


うまく合成できるように設定されていましたね。

※KATSUYAの解いた感想
やっと微積きた。絶対値付きやから=0になるときを出す。x=0、πのときだけ交点多いけど、はしっこやからとりあえずのぞいて計算。1つは確実に区間内で交わるから、場合分け不要そうやな。積分計算し、合成出来る形になった。てっきりこの後微分するのかと思ったけど^^;合成なら楽勝やな。解答時間19分。

 

4.対策

たまに非常に難しいセットになることが多いですが。例年は標準レベルの問題が出題されます。ひとひねり加えられたり、融合的なものが多いですが、やることは典型的なものが多いです。

頻出分野は微積分、確率、整数問題、図形です。計算量が多いものも出ますので、素早く確実に解けるようにしましょう。

パターン問題を習得したあと、入試問題の表現に数多く触れることが大事ですね。最終段階は入試標準レベルでも大丈夫ですが、不安な場合は仕上げ段階まで行いましょう。

東北大は単科長年タイプのものもありますので、過去問対策はこちらでもいいでしょう。

 

 

 

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

 

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 確率 (第3問)

★ 数学A 整数 (第2問)

★ 数学A 平面図形 (第1問)

★ 数学II 三角関数 (第6問)

★ 数学B ベクトル (第5問)

★ 数学B 数列 (第2問)

★ 数学III 積分法 (第6問)

★ 数学III 複素数平面 (第4問)

 

 

 

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