立命館大学全学部理系(2/2) | 2018年大学入試数学

2018/02/04 2018/07/01

●２０１８年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は立命館大学(全学方式理系：2/2)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１８年　大学入試数学の評価を書いていきます。

※入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０１８年大学入試（私大）シリーズ。

立命館大学(全学方式理系:2/2)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

立命館大学（全学方式理系:2/2）
（試験時間100分、４問、穴埋め型）

１．全体総評～数学IIIが4問中3問で割合が戻る～

数学IIIの割合が戻ってきました。4問中３問が数IIIという、非常にボリュームのあるセットです。。昨年は普段あまりでないIIBから出ましたが、今年はIIIとAからの出題です。これはこれで偏ってますが、こちらの方が立命館のイメージが強いです。

計算時間も、数IIIの割合が多かった2015年ぐらいになっていますね。

試験時間100分に対し、
標準回答時間は125分【84分】（←穴埋め考慮）

2017年は115分【79分】（←穴埋め考慮）
2016年は107分【70分】（←穴埋め考慮）
2015年は125分【81分】（←穴埋め考慮）

全体的にバランスよく計算量が多く、逃げ道が少ないです。

２．合格ライン

第１問はまだ計算量が少ない方。２ミス以内で抑えたい。

第２問はキー問題。典型テーマだが、最後の極限の計算に、Tn＋Tn-2の式を利用できたか。

第３問もキー問題。式は複雑だが、変形の仕方は書いてあるので言われるがままにどこまでついていけるか。

第４問は問題文の意味が複雑ですが、分かればという感じです。これも差がつきそう。

第１問をしっかりおさえて、第２問～第４問で残り時間でどこまで確保できるか。つまみぐいして、合計で半分以上ほしい。65％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問・・・【図形と式＋微分法III】接線、面積、軌跡（B、30分【20分】、Lv.2）

今年はの最初は穏やかな数IIIです。最初の接線だけが微分で、あとは図形がメインです。最初はいいでしょう。接線を先に作り、そこに通る点を代入して、解の個数に帰着させるだけですね。

こちらの原則通りです。

Principle Piece II-109

接線の本数は接点をおいて解の個数へ帰着

（拙著シリーズ(白) 数学II 微分(2冊目) p.8-10）

中盤は形からみても、解と係数の関係であることは明らかです。

Principle Piece II-18

和と積の情報は2次方程式の解は結びつく

（拙著シリーズ(白) 数学II 複素数と方程式 p.19）

面積は面積公式がいいですね。原点にないので、ベクトル利用が見やすいです。あとは問題文に従うだけです。最後のzを出すときは因数定理ですね。

※KATSUYAは14分で解きました。

☆第２問・・・【積分法III】定積分と漸化式、級数との関係（B、30分【20分】、Lv.２）

第２問も数IIIからで、今度は積分。題材はチャートにもありそうな定積分と漸化式の問題ですが、最後の級数との関係にどう活かすかがポイント。級数だけなら、普通はもっと別の聞き方をしますので、そのパターンをしっかり覚えていれば、最悪それで計算して出せます。

T0、T1は計算するだけです。tanの積分は、相互関係でsin,cos になおすのが基本。

次は漸化式の作成です。定積分の漸化式は、こちらの原則さえ頭に入れておけばたどり着けます。

Principle Piece III-64

定積分の漸化式は部分積分で攻める

（拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.56-60）

Tn-2　と２つ飛んでいるので、n乗を(n-2)乗と２乗に分けます。ここで、tan^2x=1/cos^2ー１に変形できれば、あとは部分積分できますね。（不安なら、必ず手を動かして自分で計算おきましょう！！）

「ａ」については、原点と(π/4,1)を通る直線の傾きでOKです。その直線との上下関係を考えれば、ハサミ打ちで極限も０です。

最後の極限計算ですが、１－1/2+1/3-1/4+・・・＝log2 を導いたりする問題は見たことがあるかと思います。本問も最終目標はこれですが、アプローチが違います。

Tn+T(n-2)＝1/n-1　のnに奇数か偶数を入れて足したり引いたりしていくと、真ん中がごっそり消えていき、頭（T0やT1）としっぽ（T2n・・・など）だけが残るので、極限はT0やT1だろう、ということですね。

※KATSUYAは10分で解いています。級数の値はノー計算のため、少し短いです。

☆第３問・・・【複素数平面】13乗根の満たす式と三角関数の値（BC、35分【24分】、Lv.２）

３問連続で数III。お次は複素数平面ですが、13乗根で来ました。５乗根、７乗根、９乗根では出尽くし感があるので、難関大としては新たなネタの試行錯誤が見えます。よくこんな式が思いつくな、という感じですが＾＾；　題材としてはCレベルですが、誘導で難易度が下がっていますのでBCとしました。

[1]はいいですね。とくにコメントなしです。[2]ですが、「ｕ」の式に気持ちで負けないように。使うべき公式も書いてありますし、いけるはずです。

「オ」～「キ」ですが、直前で分子が（偶数）×πになっていないところだけ、１３から引けば偶数になりまので、当てはまりますね。その後も（※）を使うと書いてあるので、頑張ってかけ算しましょう。

掛け算の際には、こちらを意識してください。

Principle Piece III-103

方程式z^n=1 における活用式を意識する

（拙著シリーズ(白) 数学III 複素数平面 p.27）　※数式が打ちにくいので具体式は省略します。

これで「ク」も出ます。

さて、ここまでの誘導をマネして、－１／ｕについても同じようにやってほしいということです。急に丸投げ＾＾；

分母の角度が２、５、６　分子は１、３、４　となります。（パイなど省略してます）　倍角公式を使いたいので、まず「２と４」でカップル成立。　分子の方が２倍大きくないとダメなので、１３－１＝１２として分母の６と、１３－３＝１０として分母の５とくっつけましょう。

これでー８cos２、５、６　となりました。奇数だけ１３－５＝８で変形します。マイナスはここで取れます。あとは（※）に変えて掛け算です。

最後は解と係数の関係ですね。符号だけ注意してください。「コ」＝ー３です。なお、解の式に√１３が入るなら「コ」は３かー３のはずなので、勘で埋めておくとベター。

※KATSUYAは15分で解きました。符号ミスが途中であり、訂正。

第４問・・・【整数】2進法の無限小数表記（BC、30分【20分】、Lv.３）

数Aが第４問なのはいつも通りですが、今年は整数で来ました。あまり整数を聞いてこないので、受験生としては不意をつかれた感じでしょうか。原則やパターンにもあまり当てはまってなく、文章を読んでの理解力が求められます。

文章がまた長い・・・＾＾；　f（x）の意味は詳しく書いていますが、結局使い方がわかると解きやすいのは「カ」ぐらいで、あとはf（x）に関係なく「ほぼ出来る」か「ほぼ出来ない」かだと思います＾＾；

[1][2]は、ずっと同じなら0.1111・・・か0．0000・・・かってことです。前者は１、後者は０です。前者ですが、10進法で言えば０.999・・・と書いてあるようなものです。

これなら、桁をずらして最高位を落としても変わりません。f（x）に代入しても変わらないと言いたいわけです。なので、「ウ」はy＝f（x）とy＝xの交点の「x＝１」「x＝０」で、確かに結果として一致しています。（１は除きますが）

こんな感じで、残りも進めます。[3]はf(x)を2回合成すると戻るということなので、0.010101・・・みたいに、２桁ごとに規則があるということです。その２桁が「00,01,10,11」のどれになるかで、級数も変わります。１以外を全て答えましょう。

[4]はそのまま延長。n桁で循環があります。２＾n通りありますが、[11・・・11]以外なので１引きます。

[5]は、1023=2^10-1　に気づけば、10桁循環だとわかるでしょう。なお小数部分は「0000000010」の循環となります。

※

４．対策～数学IIIと数学Aを中心に～

昨年は傾向がちょっと違いましたが、そのときも「普段は数IIIと数Aだからね」とアドバイスいたしました。１年で戻してきましたね。数Aが整数なのはちょっと意外でした。

ただし数学IIIの極限などでは、数列や三角関数などと融合されることも多いです。「IIIに取り組みつつ、IIBの公式などで不安が見つかったら、その時点でIIBの学習もやっておく」というスタイルがよさそうです。チャート（青色がいいでしょう）と、同レベルの入試問題集をたくさん練習しましょう。あまり数IIの勉強を怠ると、今年のようなセットに対応できませんので、ご注意を。

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでよさそうです。

以上です＾＾