同志社大学全学部文系 | 2019年大学入試数学

2019/02/11

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(全学部文系)です。

２０１９年大学入試（私大）シリーズ。

同志社大学(全学部文系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

同志社大学（全学部文系）
（試験時間75分、3問、ハイブリッド型）

※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。

１．全体総評～計算量は若干減って適量に～

昨年からはやや易化しています。最初の小問が２つ＋穴埋め１０個の形式は継続。第２問の数列は誘導が丁寧で比較的解きやすく、第３問も計算は少しメンドウですが誘導に従えばある程度は得点できます。時間的にも適量なのではないかと思います。

試験時間75分に対し、

標準解答時間は90分【75分】（←穴埋め考慮）

2017年は103分【90分】（←穴埋め考慮）

2017年は113分【98分】（←穴埋め考慮）

2016年は110分【91分】（←穴埋め考慮）

2015年は101分【85分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン

第１問は昨年より少しメンドウです。（１）は4個、（２）は誘導っぽくなく、キー問題。
第２問は比較的簡単な数列と余りの問題。確保したい。
第３問は本格的に図形問題でこちらもキー問題。苦手だと（２）も怪しいかもしれないです。

第１問（１）、第2問は確保したい。第１問（２）第3問のいずれかを完答させたい。65％程度でしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問（１）・・・【微積分総合】放物線と接線、面積の和の最小値、円（B、20分【13分】、Lv２）

放物線と接線、面積が絡むパターンです。放物線と接線が絡むのは2年連続。

面積については放物線と接線が絡むので、こちらの原則をおもいっきり使えます。昨年のままなので、掲載しておきます。

Principle Piece II-120

放物線と接線みの面積

[1] 放物線の式ー接線の式＝ａ(x－接点)^2 になる

[2] それを積分すれば a/3 (x-接点)^3

（拙著シリーズ(白) 数学II 積分 p.34-37）　

これを用いると、S1もS2も比較的ラクに出すことができます。ｘ軸も、ｘ＝０で接する接線になりますからね＾＾

これで「エ」までは確保できます。

最後の「オ」は、「中心から接点までが接線と垂直」とし、傾きに持ち込むのがいいでしょう。放物線と円が絡む場合は、「連立して重解条件に持ち込む」か「中心から接点が接線と垂直」の利用がいいでしょう。

☆第１問（２）・・・【ベクトル】平面への垂線、距離の和、距離の2乗和の最小値（B、25分【17分】、Lv.2）

空間ベクトルからの出題で、こまごまと聞いています。計算量も比較的多いため、穴埋めにするのは少し酷な問題化と思われます。

最初は垂線ベクトルですので、平面ABC上にあること（１－ｓ－ｔ、ｓ、ｔの係数設定）、DHがABとACに垂直であること（ｓ、ｔに関する式を２つ作る）を式にしましょう。(Principle Piece B-56 数学B ベクトルp.75)

今回はABCの平面の方程式が切片型なのでｘ＋ｙ＋ｚ＝１とすぐ出せます。従って、下記のように法線ベクトル（１，１，１）を利用することも出来ます。(Principle Piece B-60 数学B ベクトルp.82-83)

DH→＝k(１，１，１)より　Oに始点を合わせて　OH→=OD→＋DH→=(k+1,k+1,k+2)　これがｘ＋ｙ＋ｚ＝１上にあるから　３ｋ＋４＝１　ｋ＝－１　となります。ラクですね＾＾

DP+PEは折れ線ですので、対称点を作ってのばすことになります。(ULTIMATE Principle Piece )

Dからの垂線はそのための誘導であることが分かります。平面に対する対称点をD'を、Hを利用して求められれば、最小値はD'Eになります。　D'Eと平面の交点Pは、D'E上の点を１－ｕ，ｕの係数設定でおき、ｘ＋ｙ＋ｚ＝１に代入するのがいいでしょう。

最後は距離の２乗和ですが、Ｐを係数で置いて、ｓ、ｔの２変数２次関数にすれば、平方完成になります。(Principle Piece Ｉ-28 数学I 2次関数p.31) 多少の計算は強いられますが、２乗和であれば距離公式が最も素直な発想です。

※KATSUYAは合計16分で解いています。昨年より大分ボリュームがありますね。

☆第２問・・・【数列＋整数】３項間漸化式、剰余類（Ｂ、20分、Lv.2）

３項間漸化式の一般項を出しつつ、その式に関する余りを調べる問題です。

３項間漸化式にしっぽがありますが、そんなものは（１）の誘導のように階差をとれば簡単に消えます。

ｂｎに関する３項間漸化式の特性方程式は、１の重解になります。これは等差数列を意味します。気づかなくても、いつも通りにやればすぐ分かります。(Principle Piece Ｂ-18 数学B 数列 p.39-44) bnからanはただの階差の公式です。

（３）からは整数問題ですが、式も単純ですし、困ることはないでしょう。３で割った余りならｎを３で割った余りで分類、７で割った余りならｎを７で割った余りで分類すればOKです。(Principle Piece A-56 数学A 整数 p.23)

※KATSUYAは11分かかりました。原則も使いやすいし、第１問より全然ラクなんですけど＾＾；

第３問・・・【三角比(三角関数)＋図形】2円と接線、内接円の半径など（B、25分、Lv.２）

分野を特定しにくいですが、昔のセンターIAの第３問のような感じです。

（１）はいいでしょう。（２）のCOは、ACPOがたこ型（対角線が垂直）であることを利用すれば（AOC、POCが2等辺なので）2sinθとすぐに出ます。ADは気づきにくいですが、直径には直角（円周角）がつきものです。ADBが直角三角形であることに気づけば、ABcos２θとでます。

（３）（４）は（２）の気づきによって芋づるです。BD=2sin2θですし、直角なので面積はすぐです。さらに面積を媒介にして内接円の半径は出ます。(Principle Piece I- 50 数学I 三角比 p.32)

（５）は、とりあえずR＝ｒ　で値は出しておきます。ただし必要条件なので、時間があればそのときに確かに内接していることを確認すればいいでしょう。具体的には、DBとPとの距離もｒになっていることを確認すればいいですね。

思いつかなさそうなら、出来ているところを見直す方がよかったかと思われますが＾＾；

４．対策～数学Bを中心にまんべんなく対策を～

分野はまんべんなく、幅広くです。あまり絞らないほうがいいでしょう。微積を筆頭に、数B、確率（場合の数が多い？）は割と出ます。問題のレベルは標準～応用といったところですが、文系だからといって舐めていると痛い目に合うタイプの問題です。パターン問題が単問で解けるレベルでは少し足りません。融合された模試タイプの問題に対応できるようになっておきましょう。

文系ですが、きちんと点数を確保したいのであれば、入試標準演習の段階までやったほうがいいでしょう。入試問題を通して、難しいタイプのものを、誘導できざんで解いていく練習をする必要があります。

量をこなす演習：じっくり演習＝８：２ぐらいですね。

以上です＾＾