慶應大学 経済学部 | 2020年大学入試数学

   

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶応大学(経済学部A方式)です。　

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。


２０２０年大学入試（私大）シリーズ。

慶応大学(経済学部A方式)です。




問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





慶応大学（経済学部A方式）
（試験時間80分、6問、ハイブリッド型）

１．全体総評～昨年の反動で最難レベルに～

昨年はここ数年ではかなり穏やかな出題でしたが、うって変わって今年はここ数年で最もきついセット。

最初の穴埋めもマシなのは数列ぐらい。確率は発想力や計算力が必要で理系でも骨が折れる。後半の記述も、4番は総合的に難、5番も完答するには緻密な評価が必要。6番はKO経済らしい微積だが時間は持ってかれる。絶望した受験生も多いのではないでしょうか。　

※社会の難易度は分かりかねますが、これでは数学選択者がいなくなるのでは・・・？




試験時間80分に対し、
標準回答時間は195分【169分】（←穴埋め考慮）　普通に無理やろ＾＾；

※KATSUYAも80分では解き切れておりません。。。

2019年：128分【108分】（←穴埋め考慮）

2018年：165分【141分】（←穴埋め考慮）

2017年：160分【133分】（←穴埋め考慮）

2016年：170分【147分】（←穴埋め考慮）

2015年：130分【103分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン

第１問はキー問題。（１）も絞り方次第、（３）もうまく変形できたかどうか。
第２問は前半最難問。（２）までゴリ押し取れればとりあえず。（３）は時間的にも厳しいか。
第３問は前半では最も簡単。規則がつかめれば出来るはず。ここを落とすとマーク式でふるい落とされると思われます。
第４問は（１）止まりなのでは。（２）は実は反転操作だが、気づくのは厳しい。（３）はもっと厳しい。
第５問も（２）まで取れればOKでしょう。（３）は完答するには精緻な議論が必要で、かなり長い道のりです。
第６問は3次関数の特徴の知識の有無で差が付きますが、KO経済はよく出すので、対策済みを期待したい。


採点のルール上、最初の３問には時間がある程度必要。第３問は落とせません。第２問は最後は捨て、第１問で稼ぐ必要ありか。後半は本学受験者なら第６問の微積対策はしているはずなのでここから。時間的にも、第４、5問はつまみ食い程度でしょう。

数学については半分取れればいい方ではないでしょうか・・・

 

☆第１問　【整数】３元2次方程式の整数解（B、20分【13分】、Lv.2）

3年連続で最初は円と直線の問題でしたが、今年は整数から。

（１）から意外と苦戦しますが、2元2次方程式の場合は、2乗ー2乗＝●に持っていくとうまくいくことが多いです。b^2+3bも平方完成をして、定数を調整しましょう。4倍すると見やすいです。

（２）「和が一定のときの積の最大」、「積一定のときの和の最小」なら相加・相乗が使えます。いずれも２数が近いときが答えです。４４１－（和が２１となる２数の積：１１０以下）＝平方数　　です。331以上441以下の平方数は361と400しかありませんので、361のときに１６×５＝８０で満たすことが分かります。

（３）は式変形がうまく出来るかどうか。穴埋めの形から、ｃを消去すればいいと分かりますので、ｃ＝ａ＋ｂ－ｐとして最初の式に代入すればＯＫ。式変形はがむしゃらにやってはいけません。

変形が出来れば最後まで出来るはず。3p^2の約数（全部で６個）を見ていくと、小さい順に１、３、ｐ、３ｐ、p^2、3p^2　ですね。ｐ＝７なので、ａ＋ｂ－７が最小→ａ＋ｂが最小→3p^2組み合わせの和が最小→（ｐ、３ｐ）＝（７，２１）　のときです。

※KATSUYAは7分で終了しています。最初は「三角形ABCでC＝120°のときの余弦の式だから７，５，３三角形だわ」と判断してc=7としました。

☆第２問　【確率】サイコロの目の和（C、40分【28分】、Lv.３）

今年の確率はサイコロの目の和。設定は単純ですが、頑張って数えながら、途中で規則に気づかないと最後までたどり着くのはかなり厳しいです。

（１）の前半は数えても大したことはありませんが、重複組み合わせの考え方をここで用いた人はここで戦えたかも。

X+Y+X=9となる自然数解の組は8C2＝２８通り、だが、(1,1,7)、(1,7,1)、 (7,1,1)だけはダメなので25通りです。

後半は比較的難しい？最初の1個目に何が出るかで分けると、残りの2個については、原則通り36通りの表で整理しておけば出来ます。サイコロ2個ぐらいなら書き出すの気合いは必要。

表を書いていれば、最初が１→残り11以上で3通り、最初が２→和が10以上で6通り・・・と順番に求められます。

（２）からが難問。出た目の和が６になることは、6回目までならあり得ます。

１回目は１通り（＝５C0）、2回目はX+Y=6の自然数解で５C1・・・となっていきます。確率なので、それぞれ1/6。(1/6)^2　・・・となっていきます。ここで2項定理の利用が思いつけばこっちの勝ち。１/６＝ｐとして下線部が二項定理の展開項になりますので、

p(５C0＋５C1・p+5C2・p^2＋・・・・5C5・p^5)=p・(１＋ｐ)^5　となるわけですね。

（３）は（２）までで二項定理の利用に、あるいは勘でも分子が７の累乗、分母が６の累乗になることに気づかないと厳しいでしょう。（２）の要領で出したものを全て足すので、等比数列の和として計算可能です。それをうまく整理すると、問題文のような形となります。

※KATSUYAは20分で終了しています。（２）はまともに計算する。本当にこんな形になるのか？１６８０７って何の何乗？2401×７か。ちゃんとなった。（３）の最後は何かあるのだろうと思いつつよく分からず。やっているときは二項定理には気づかずも、この規則なのだろうと思い、簡単な和＝３でやってみる。やっぱり。なんで？いや、とりあえず時間くったしもうこの規則が成り立つとして計算。等比数列の和になることで形にも合うし、間違いないやろ。（2項定理は解き終わってから気づきました。）　ゴリ押すためには累乗の値を知っておくことも大切と実感した問題でした。

 

第３問　【数列】漸化式、帰納法、等比数列の和（B、20分【13分】、Lv.２）

今年の数列はちょっと変わった連立漸化式ですが、前半３つの中では最も易しい。ここで落としたらマークは厳しいと思います。

（１）にあるように書き出してみればすぐに規則はつかめますし、（２）から３つおきに等差になることもされるので、６つぐらい、不安ならあと３つぐらい書いてみるといいでしょう。帰納法の証明は穴埋めなので簡単なはず。

（３）は１，２，２，３，４，４、・・・となっていくことから、３つおきに見ていけば、初項10、公比100の等比数列と、初項100、公比100の等比数列２つ分の和とわかります。桁数はおまけですね。

※KATSUYAは４分で終了しています。変な漸化式だが、（１）（２）を見て大したことはなさそうと確信。書き出して規則も単純と分かる。さっきの確率との難易度の差が激しすぎる＾＾；

☆第４問　【空間ベクトル】球面上の2点を結ぶ直線と平面との交点の軌跡など（C、50分、Lv.２）

後半の記述はベクトルから。今年はこっちがベクトルで第５問が三角と指数・対数ですね。それはいいとして、この問題かなり難しく、理工学部などで出ても全く違和感のないレベルの問題です。経済学部・・・ですよね＾＾；

（１）はいいでしょう。直線上の点なので、１－ｓ、ｓの係数を設定し、ｚ＝０となるｓを決めれば出ます。

（２）はP,Qの座標をじっとみて、OPベクトル＝ｋOQベクトル（ベクトル的に実数倍）であること、さらには長さを計算し、OP・OQ＝１（p^2+q^2=1-r^2も使います）となることにさえ気づけばただの反転です。ｐ、ｑ、ｒという文字を捨てて、ｘｙ平面上でP（X,Y）、Q(x,y)とでもすれば青チャートにもあるタイプに格下げされます。

しかし、ここまで遠回りに設定されているとなかなか気づかないのではないでしょうか。私も、図形的にアプローチして気付きました。K塾さんの別解のやり方に近いです（解答PDFの15ページ目下部）

（３）はさらに気づきにくいと思います。△ABCはABが固定なのでこれを底辺と見た時の、z軸とCの距離（高さ）が最小であればOKです。ここまでは気づくのではないかと。これが最小であるとき、OPも最小であり、このとき反転の関係からOQは最大です。ここまで気づけば、円周上の点と原点との距離なので直径のときになります。

ここからもうちょいあります、図形的なアプローチ（相似の利用がはやいか）出も出すことは出来ますし、あるいは（２）の実数ｋを出し、これが1-r/1+rであることからｒを出せば、ｐ、ｑは出さなくても距離を出すことが出来ます。

※KATSUYAは30分で終了しています。（２）で結構考えました。ｐ、ｑ、ｒをまともに扱おうとするも煩雑になりそうで別の方法を模索し、図形的に反転しそうに見えたので、OP・OQをやってみたら１になったことから思いつきました。（３）は（２）できれいな図をかいていたので、思いつきやすかったです。いや、普通にきつい。てか、時間ない。先に６やろ。

第５問　【指数・対数＋三角関数】対数方程式、対称点、三角関数の最大値、最小値（BC、30分、Lv.２）

今年は第５問が数IIの３関数（三角、指数、対数の３つ）の融合問題です。ちょっと無理やり間はありますが、精緻さや記述力が問われます。時間を考えると、8割答案を目指す、、、、のも無理そうですね＾＾；

（１）はいいでしょう、対数はまず底をそろえないと足し引きを１つにまとめれません。

（２）も対称点なので、P,Qの中点が（√３α、α^2）とすればOK。

（３）は、式を見れば合成すればいいことは分かると思います。合成の条件は、1次であり、sinとcosがあり、角度が一致していることです。

しかし、このs+t/2の評価がなかなかきわどい。まず、ｓ＋ｔがｓの増加関数であることに気づくことが最初の関門です。ここれで、ｓ＋ｔ／２の取りうる範囲が出ます。それに、合成によって出てくる位相差θを足すとどうなるかですが、このθも評価することになりますので、大小の評価が結構メンドウです。最大はｓ＝０のとき、最小は合成したときの角度がー９０°になるときです。（ー９０°を取れることをきとんと議論するのがメンドウ。）

※KATSUYAは20分で終了しています。最後に手をつけましたが、８０分では解き切れませんでした（-_-；）

☆第６問・・・【微積分】３次関数の決定、最大値、面積（BC、35分、Lv.2）

最後は微積分からです。今年も、3次関数のグラフ特徴とも言える部分を利用することでかしこく計算できる問題です。KO経済はこの3次関数のグラフの特徴に関する問題がかなり結構好きです。（結果的には今年も３次関数は（ｘ－●）（ｘ－■）^2の形をした関数でした。）

（１）ですが、最初の式以外は全て「a」を代入することになるので、（x-a）の３次式とみなすのがもっとも賢いと思います。（S台さんの解答例でのような感じです。私もこれで解いています。）

（２）は３次関数の最大値ですが、極大値と等しい値をとるｘの値が5/4ａであることもポイントです。3次関数の極値付近の様子の知識ついては知っておくと便利なことが多いです。特にＫＯ経済受験者であればマスターは必須といえます。

あとは１が0~a/2~5a/4のどこに入るかで分ければOK。

（３）は面積です。素直にとらえれば２つの面積の和ですが、最初にあった積分式の条件から、片方を2倍すればよいことに気づくと、計算量は減ります。区間１~４の方は「12分の４乗」公式で出せますので、式だけ書いてしまい、結果は裏技で出せばいいでしょう。これを2倍すればOK。

 

※KATSUYAは12分で解いています。急いでいることもあり答案としては9割答案だと思います。3次関数の特徴しらなかったらここも時間かかるやろなぁ。しかも途中で場合分けありの最大値聞いてくるって、ちょっと地獄すぎん？最後の面積は上記の通り結果は裏技だよりです。あと7分で5番解き切れるか？無理くさいな。

４．対策～IIB中心に、計算力上げつつパターン問題を素早く解く練習を～

分野としてはIIB＋確率、という感じですので、これらの分野の重点的な演習をしましょう。

図形問題は融合が多く、図形的な考察が途中で必要な問題も多いので、単なる数式処理で出来るものではなく、総合的な図形問題に触れておきましょう。青チャートできちんと演習を積んでおけば、大丈夫です。有名なパターン問題はそのまま自分のものにいしていきましょう。

レベル的には入試標準レベルの演習まで行い、過去問に接続すればいいと思います。

量をこなす演習：じっくり演習＝８：２ぐらいで、直前には７：３（今年レベルなら６：４）にしたいですね。

以上です＾＾

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