センター試験 数学II・B【2016年】の難易度、傾向は?

      2016/07/12

entrytop(center2016)

 

2016年に行われたセンター試験の数学II・BをKATSUYAが解き、その感想や各問題の難易度などをアップしていきます。

評価指標

1.難易度 A(易)~E(難)

2.パターンレベル 
 Lv.1(習得していて当たり前)
 Lv.2(習得していないと、差をつけられる可能性がある)
Lv.3(習得していなくてもしょうがない)

3.解答するまでの標準的な時間

です。これら3点から、各問題ごとにコメントしていきたいと思います。

センター試験数学Ⅱ・B(60分)【新旧共通】

解き方はこちらをご覧下さい^^


1.全体評価(難易度)~史上最難の昨年からは易化~

昨年の史上最低平均点の反動からか、大幅に易化。意図的(かなり悪意を感じる)とも思えるひっかけが見られ、満点は出にくいか。平均付近の人たちにとっては有利で、高偏差値の人たちに不利な試験と言えそう。

第1問[1]
指数・対数関数だが、昨年の反省からか、大幅易化。ただの値を聴いてくるのはさすがに簡単にしすぎか。後半の関数も、これまでに比べればかなり楽。グラフは盲点か(当然できないとマズイですが!)。

第1問[2]
三角関数で、昨年並み。式は見た目はごつく、式変形は少し複雑。最初の「チ」が出ないときびしい。解の個数は、悪意を感じるひっかけあり。

第2問は微分、積分で、昨年比微易化。正方形が共有部分を持つ条件など、領域が「a」の値によって変わるが、問題文が丁寧なので、流れに従えばそこまで難しい問題ではない。

第3問は数列。漸化式がなくなり、群数列。複雑な漸化式続きで平均点がかなり下がった反省からか、昨年比大幅易化。
群と分母が1ずれているところはまだしも、104項目を聞いているのに和は103項目までなど、悪意のあるひっかけは正直、受験生のみなさんの精神状態を考えるといただけない。

第4問は空間ベクトル。最初のPQの長さ以外は、図形的性質などをうまく使えば、後半は計算もほとんど不要で時間もあまりかからず、例年比易化。

※KATSUYA個人の見解に基づくものです。予備校の見解にひっぱられないように、ブログ掲載時点では予備校の見解を見ておりません。

■目標解答時間・・・72分 【49分】←穴埋め形式なら
(昨年解答時間・・・113分 【72分】←穴埋め形式なら)

比較すると一目瞭然。大幅易化です。IA同様、IIBもゆとりを持って出来たのではないでしょうか。数学Bの計算量が数列、ベクトルともに全体的に減り、指数・対数も手をつけやすい。三角関数、微積を除き、かなり易化。

KATSUYAは26.5分で終了しています。(昨年37分)

 

2.各大問の難易度

第1問[1] (指数関数・対数関数、グラフ、対数関数の最大・最小、昨年比易、AB、10分【7分】)

今年の指数・対数は昨年の反動からか、非常に手をつけやすい問題でした。(1)に至っては教科書の「問」レベルという、超基本問題です。

次のグラフはどうでしたでしょうか。三角関数同様、方程式や不等式、最大・最小に目がいっていると、このような問題が盲点になったりします。どれも教科書の問にあるような問題ですから、ここで落とすというのは、基礎の勉強が不足しています。

最後の最大・最小は普段よりかなり穏やかでしたね。置き換えも指定されていますし、楽勝です。真数条件はx>0ですが、そのとき、対数は任意の値をとります。こちらも、グラフを普段からよく考察しておくべきどころです。

 

Principle Piece II-83

 対数×対数 があるなら、対数を置き換える

(Principle Piece 数学II 指数関数・対数関数 p.21)(Principle Piece 数ⅡB 原則一覧なら89番)

 
KATSUYAの感想

今年はかなり簡単だな。おい。(1)とか、なんだこれ。配点足りなくなったから追加したんじゃないか? グラフの性質は新傾向か。でも基本。むしろ計算いらんから楽勝^^ 後半の式もいつもより全然簡単。    全然計算してないな^^;解答時間1.5分。

 

第1問[2] (三角関数、三角方程式、解の個数、倍角の公式、例年並み、B、12分【9分】)

一昨年、昨年、と図形が絡んでいましたが、今年は三角関数だけとなりました。見た目がごつく、最初の式変形がうまくいかないと厳しいので、差がつく大問だったかもしれません。

両辺にcos^2xsin^2x をかけていますが、これがそもそも (sin2x/2)^2 であることが見抜ければいけましたね^^

途中の考え方も文章に丁寧に書かれているので、分かりやすいです。ただし、k=1/4 のときは要注意。sin2x=1 となるときの解は1個なのですが、cos2x=0となるときと解が一緒なので、結局2個ではなく1個です。ちょっと意地悪ですね^^;

後半は相互関係と倍角の公式を用いるだけなので、あまり問題はなさそうですね。

 

KATSUYAの感想

今年は三角関数のみか。えらいゴツイ式だな。式変形後の形を見て・・・「4」だな^^ cos2x=0となるときと合わせて解の個数を出す。ん?どっちもπ/4か。ひっかけてきやがったな。後半はただの方程式で終了。解答時間3分。

 

第2問(微積、定積分、面積、最大値、例年並み、B、20分【13分】)

微積分は例年並みですが、計算量はやや少なめです。今年は接線の式が聞かれず、(1)から定積分で面積です。しかし、積分の式も書かれていて、甘さを感じる問題でしたね。上から下を引くだけです。

(2)からは、図をしっかり書いて考察する必要がありますが、文章でも丁寧に何をすべきか書かれているので、正方形を動かしていけば分かる問題です。aが2より大きくなると、共通部分がなくなります。

a=1を境に領域の形(求めるための式)が変わりますが、図形的にa=1~2になるにつれて、面積が減少することも明らか。従って、0~1だけで考える、ということになります。そのような図だけを書き直しましょう。

Uの部分だけは自分で式を立てる必要がありますので、ここがポイントです。1~1+aまで、C1を積分して、長方形を引くのがいいでしょう。

Uが出れば、T=S-U なので、あとは微分して終わりですね^^
KATSUYAの感想

今年は接線を聞いてこないのか。2次やったら場合分けも自分でやらせて、良問かな。ちょっと文章が親切すぎるけど、これがないとまた平均点下がるから、、、みたいな思いがありそう^^;解答時間8分。

 

第3問 (数列、群数列、群の初項、末項、和の計算、昨年比大幅易、B、15分【10分】)

2013年から続いていた複雑な漸化式の出題がなくなり、群数列となりました。数列ぐらいは、これまでの漸化式を継続して難易度を維持しても良かったと思いますが^^;

いたって普通の群数列。「第k群には、分母がk+1の分数がk個並ぶ」ということが分かっていれば大丈夫ですが、問題文は「第k-1群には、分母がkの分数がk-1個並ぶ」という趣旨で書かれていますので、1つずれるミスが発生しそうです。

群数列の基本となる原則は、こちらです^^

 

Principle Piece B-7

 n群の最初 → n-1群の最後+1

(Principle Piece 数学B 数列 p.25)

 

1+2+3+4+5=15 なので、15項目は5群の最後です。また、分母8が現れるのは7群の最初なので、6群の最後+1ですね^^

(2)は、上の原則をしっかり使います。分母kが現れるのは「k-1」群の最初ですから、1+2+3+・・・k-2で、さらに+1します。

分母kの末項はk-1群の最後ですから、単純に1+2+3+・・・+kー1でOK^^

104項目をいきなり聞く意味はいまいちわかりませんが、1+2+3+・・・・+13+13 なので、14群の13項目です。従って、分母は15です。

三角数(1+2+3+4+・・・・の形で表せる整数:1、3、6、10、15、・・・・)は20ぐらいまでなら頭に入れておいたほうがいいかもしれません。

後半は和の計算。最初は、第「k-1」群の和を聞いています。1/k~k-1/k まで等差数列ですから、簡単ですね^^  形から等差数列であることは目に見えていますから、1群、2群、3群で和をとるだけでも予想できます。数列問題の裏技ですね^^

その和をとれば、初項からk-1群の末項までの和も計算できます。最後はなぜか「104項目」ではなく、「103項目」までの和です。私、がっつりひかかりましたが、104項目までの計算をミスして桁が合わず、その過程で見直したので助かりました^^;

※なお、104項目まででも、正しく計算すると桁が合います。さすがに、これは悪質なひっかけだと思います。

 

KATSUYAの感想

群数列。しかも単純^^ 全体的に難易度をかなり抑えてきたな。さすがに簡単にしすぎでは?104項目は、、、上の式つかうより、1+2+・・・の方が安全かな。和の計算も単純。最後は計算ミスした+104項目まで出していた→見直しで「103項目」に気づき、奇跡の修正(笑) 桁合ってたら、100%ミスったな^^; こえ~。 解答時間9分。

 

第4問 (空間ベクトル、四面体(3辺3角型)、長さの最小値、内積、位置ベクトルと内分比面積、B、例年比やや易、15分【10分】)

今年は空間ベクトルの問題ですが、想像以上に計算量が少なく、最初のPQの長ささえ落ち着いて計算すれば、あとはあまり計算がいりません。線の種類も少なく、こちらも例年より易しかったです。

まず、3辺となす角が全て分かっていますから、準備しておきましょう、というサインが問題文にもあります。

 

Principle Piece B-49

 四面体問題 → 基本ベクトルの長さと内積3種で準備万端に

(Principle Piece 数学B ベクトル p.63)

 

これらの準備をして、PQベクトルをa,b,cで表します。2乗の計算は慎重に行いましょう。式はs、tの2変数関数ですが、式の形から平方完成は目に見えています^^

(2)の最初は、ただ内積を計算するだけです。0になりますので、三角形の面積はAP×PQ÷2 で行けます。

なお、PQが最小なら、OA、BCの両方に垂直なので、内積0は当たり前ですが^^;

OGベクトルの表記は差が付いたかもしれませんが、QがBCの中点のときを考えていることと、Gが重心であることを考えると、2:1なのは目に見えています。 先に2:1を出して、そこから「チ」~「ト」も埋まりますね^^

GPQの面積は、内分比=面積比を利用するだけです。空間ベクトルにしてはほとんど計算を必要としない問題でした

KATSUYAの感想

空間なのに設定が昨年よりもさらにシンプル。PQの計算はちょっと慎重に。平方完成して最小値の流れね。(2)は、最小になるときを考えるのね。じゃあ垂直だから内積0だな(検算しておこう)。OGがOAとOQの・・・図を書いて見ると、ただの中線と重心の関係であることが分かり、2:1など、同時に瞬殺。最後の面積も楽勝。解答時間5分。最後まで易化の印象やな。

解き方はこちらをご覧下さい^^ 

 

3.対策~教科書の基礎事項にも目を配る~

レベル的には、教科書の章末問題レベルです。そのレベルの問題を、いかに素早く解くかがカギになってきます。

2次で数学がいる人は、特に意識する必要はありません。2次の対策がそのままセンターの勉強になってます。過去問や模試などで、形式になれることだけしておくといいでしょう。

→ 分野別のセンター用参考書はこちらから

→ 過去問・模試センター用参考書はこちらから

 

■関連するPrinciple Piece■

Principle Piece 数学Ⅱ  三角関数(今年は消えましたが、一応)

Principle Piece 数学Ⅱ  図形と式

(第1問[1]対応)

 

Principle Piece 数学Ⅱ  指数・対数関数

 - センター試験(過年度) , , , , ,