センター試験数学II・B【2020年】の難易度、傾向は？

2020/01/20 2020/01/21

このエントリーでは、2020年に行われたセンター試験の数学II・BをKATSUYAが解き、その感想や各問題の難易度などをアップしていきます。

【評価指標】

１．難易度　A(易)～E(難)

２．パターンレベル　
　Lv.１(習得していて当たり前)
　Lv.２(習得していないと、差をつけられる可能性がある)
Lv.３(習得していなくてもしょうがない)

３．解答するまでの標準的な時間

です。これら３点から、各問題ごとにコメントしていきたいと思います。

センター試験数学Ⅱ・B（６０分）

実際の答案はのちほどUPする予定です＾＾

１．全体評価(難易度)～数IIは昨年比やや易。数Bは計算量多いまま～

今年は新課程になってから最もラクかな、という印象です。

第１問の三角関数、指数関数はさらに２つに分かれましたので、実質４題ですが、１つ１つは軽くなりました。

第２問の微積も例年並み。3次関数のグラフが絡まず。２放物線の共通接線の問題。後半の面積の場合分けは差がつきそうですが、昨年に比べれば設定はやさしめかと。

第３問の数列は昨年同様に複雑な漸化式で、置き換えに従って慎重に計算を進めていく必要があります。比較的計算は多めですが、昨年よりはましかもです。

第４問の空間ベクトルは、問題文のまま忠実に計算するだけですが、長さや内積の計算が繰り返し出ますし、空間ベクトルということもあり、計算量は多めです。

※KATSUYA個人の見解に基づくものです。予備校の見解にひっぱられないように、ブログ掲載時点では予備校の見解を見ておりません。

■目標解答時間・・・７２分　【５１分】←穴埋め形式なら
（昨年解答時間・・・７７分　【５２分】←穴埋め形式なら）

全体的にほぼ昨年と同じぐらいかと思われます。題材的には今年の方が少しラク。計算が無駄に多いところがちょこちょこあります＾＾；

ＫＡＴＳＵＹＡは昨年同様、３５分で終了しています（第４問まで）。今年の方がラクやとおもったけど、微積の後半と数列でちょっとロスしたかな＾＾；

２．各大問の難易度

※緑色の表記は、数学を解く上で必要な原則を表しています。

※青色の表記は、数学を解く上で必要な、超基本の心構えを表しています。(どうしようもなくなったら、ここまで戻ってください、ってことです)

第１問[１]　(三角関数：加法定理、合成、不等式、解と係数の関係、対称式、例年比やや易、AB、７分【５分】)

今年の三角は２題に分かれましたが、１つ１つは軽めです。

前半はワークのB問題にもありあそうな不等式。右辺を加法定理で展開し、整理するとsin、cosの1次式になりますので、合成です。（合成も誘導に書いてあります）

後半はワークにはなさそうなタイプですが、解と係数の関係の利用も明記されており、やることはパターンです。

解と係数の関係→和と積→対称式利用と結びつくようにしましょう。また、sin＋cosの式は2乗しましょう。相互関係から、積が現われます。

方程式をとけば、sinは出ます。０．８ですので、√２/2と√3/2の間にあることを利用して角度も出ます。

KATSUYAの感想

前半簡単やな。これどうやってつなげる？後半は独立してんのか。２つに分かれたのね。後半は２５と３５を見て、ありがちな３／５、４／５のパターンと判断。何も計算せず暗算で終了。解答時間２分。

第１問[２]　(指数・対数関数：指数式の値、連立対数方程式、例年比並、AB、７分【５分】)

指数・対数も三角同様に、２つに分かれました。前半が指数、後半が対数で、領域の考え方が一応必要です。(領域だと気づかなくても答えはでる)

前半はおきまりの形の式です。X、１／Ｘの形の対称式の利用です。

後半は対数に関する不等式が２つ並んでいますが、誘導に従って置き換えましょう。Ｙの係数が合うように両辺の分母を払います。いきなりこの形になると思ってやると、あわてます。

不等式条件なので基本的には領域で考えますが、今回は②直線の交点でＹは最大（７．６）となりますので、気づかなくてもいけちゃいます。後半も、Ｙ＝７と出れば、代入するだけで１≦Ｘ≧1.5も出ますので、ｘ＝３√３を超えない整数です。

KATSUYAの感想

こちらも2つにわかれたのね。指数の方はワークレベルでかなりラク。対数も比較的簡単め。平均低下防止のため？解答時間４分。

第２問(微積分：2つの放物線の共通接線、面積、3次関数の最大値、例年比並、B、20分【14分】)

今年の微積は２放物線の共通接線で、題材的にはよく見かけます。センターでは初かな？だとすると、センターだけで対策を取ってきた人はとまどうか。後半は面積中心ですが、場合分けあり。Ｄとの接点が２ａ（≧１）であることなど、聞かれている以外のものも必要となります。最後の３次関数はただの計算。

①と②は接線の公式にあてはめてカリカリ計算するだけです。１次の係数、定数項を比較して連立しましょう。

後半は面積。ほとんどが、接線と放物線の間の積分なので、被積分関数が（　）^2の形になることを利用すると、計算はサボれます。

とくに、Ｔの面積を出す時の後半は、０~aまでの積分も、a~１までの積分もそれに当てはまります。そのまま（　）^3/3として原始関数にすれば計算はラク。

（３）が合えば、最後はただの3次関数の最大値なので、微分して増減です。極大値が最大値となります。

KATSUYAの感想

放物線の共通接線か。題材は普通。最初のｓ、ｔでs-t=4aとかやってしまい、（右辺２でわるの忘れた）形に合わずロス。後半は接線型の積分なので原則通り計算。極値をとるａが形に合うので、Ｔの式もあってるやろ。なのに最大値の計算をミスり、ケタが合わず。a^3の係数ー４でやってた。ここでもロスし、結局標準の14分かかる。

第３問　(数列：等比数列の和、部分分数分解型、複雑な漸化式、階差型漸化式、例年比やや難、B、18分【13分】)

昨年も漸化式は複雑でしたが、今年はのっけから複雑そうな漸化式です。ただし誘導が昨年よりは分かりやすい。

（２）から。漸化式の両辺を何で割るかが書かれているので、落ち着いて形に合うように式変形しましょう。丁寧にやれば形通りになるはずなので、分からなくなったら、①の右辺をまず１つ１つ展開してから、１つ１つ割っていきましょう。

出来た漸化式は、階差型なので、シグマをとります。部分分数分解と等比の和です。等比の和は、教科書に載っているシグマの公式覚えている人には非常に間違えやすい形をしています。等比の和はかならず言葉で覚えましょう。和の計算も別別に聞かれていますし、誘導はかなり丁寧ですね。これでbn、そのままanもでます。

（４）は余りです。聞き方からしても、周期は３です。ａ１，ａ２，ａ３について調べればＯＫ。順番はａ３，ａ１，ａ２の順です。（順番的にも、｛０，０，１｝で並びますので、これは悪意を感じます）

周期性が出ればあとは大丈夫ですね。合同式的に考えれば、１が６７３個ありますので、その余りです。

KATSUYAの感想

今年も複雑そうな漸化式。でも最初から何で割るかも書いてある分、昨年よりはラク（昨年きつかったしなぁ＾＾；）。和の計算も別々かい。この親切な感じを見るに、昨年正答率悪かったとみた。最後は、なんでその順番なん？それは意地悪すぎんか？（ひっかからんけどな＾~＾）　解答時間１０分。bnを出すときに２つの和を引くべきところを足してしまってケタ合わずでロスしてます。

（なんか今年、途中でミスしてロスするの多いな。。。疲れてるんかな＾＾；）

第４問（空間ベクトル：台形、内積、長さ、角度、面積、高さ、体積、B、例年比並、20分【14分】)

Oを含めて５点が登場する空間ベクトル。前半は同一平面上のOABCで昨年同様に台形が姿を表しました。後半はD－ABCの体積。最後は図形の把握に戸惑う可能性がありそうですが、誘導に従って（信じて）いけば出来ます。内積や長さの計算が多く、やる内容がかなり偏っていて計算が多めです。

（１）はいいでしょう。カリカリ計算してください。

（２）もカリカリ計算するだけです。成分でやってもよし、（１）が出てるんで利用してもよしです。私は成分入れましたが、ルート計算を避けたければ（１）を利用してベクトル表記のまま展開がいいでしょう。

（３）からCBとOAは実数倍の違いなので、台形になります。台形とわかれば、図形的にABCの５／３倍になることも分かるでしょう。ベクトルにしても三角比にしても、知っている面積公式は三角形です。四角形の面積を聞かれたら、基本的には三角形に分割しましょう。

（４）は成分（ｕ，ｖ，１）とでも設定して連立することになるでしょう。ベクトルでなす角聞かれたら、cosθ＝・・・の内積公式にあてはめます。長さと内積の計算ばっかりですね。

αとβは垂直（だそうです）ので、これに従えば高さがODsin60°＝√３とでて、最後までいけます。ABC=12ですので注意。

KATSUYAの感想

今年も空間か。２年連続空間てめずらしいかな。最初の内積はカリカリ計算。次は、、、ただ条件入れて連立だけね。長さもまた計算。（３）は、、、今年も台形登場か。これで面積も比較的ラクに。（４）は、、、また連立かい。交点とか垂線とかまったくなしで、ただの計算問題やんけ。おまけにcosの値のときにODの長さ間違えて、「角度でないんですけど・・・」で大幅ロス。ようやく気付いて最後まで　解答時間１３分。１２分以上かかってしまった・・・

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