センター試験 数学I・A【2020年】の難易度、傾向は?

      2020/01/21

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このエントリーでは、2020年に行われたセンター試験の数学I・AをKATSUYAが解き、その感想や難易度などをアップしていきます。

評価指標のみかた

1.難易度 A(易)~E(難)

2.パターンレベル
Lv.1(習得していて当たり前)
Lv.2(習得していないと、差をつけられる可能性がある)
Lv.3(習得していなくてもしょうがない)

3.解答するまでの標準的な時間

です。これら3点から、各問題ごとにコメントしていきたいと思います。

 

2020年センター試験数学Ⅰ・A(60分)

 

実際にKATSUYAが解いたものは、のちほどUPする予定です。 

 

 

1.全体評価~数学Iは昨年並、数学Aはトラップがちょこちょこ~

昨年より少しラクかな、という印象です。数Iは「易、難、易」と交互に来てましたが、今年も易、数Aは「難、易、難」で来ていましたが、今年は並です。データや確率、整数などで慌てると点をもってかれそうですが、全体的に計算量も少なめでしたね。

データ分析や整数などから見ても、巷で予想されている傾向を意図的に変えてきた印象が強いです。

 

第1問は、[1]数の計算、[2]論理と集合、[3]2次関数 の構成で昨年と変わらず。必要・十分が出ませんでしたので、気が楽だったのではないかと。

 

第2問は[1]三角比、[2]データの分析 三角比は角の二等分線で、気づかないとキツイので、差はでそう。データは変量変換はおろか、分散すらも出ず。箱ひげ図までの出題でした。(お尋ね者になりすぎた?)こちらも楽にはなりましたが、6択はひっかかりやすいか。

 

第3問の確率と場合の数にも選択式があり、多少時間をとっても落ち着いて判断することが求められます。後半はいつもよりは楽な確率の問題です。途中で0点になるところの処理がポイントですね。

 

第4問の整数も、1次不定方程式から出ず。(お尋ね者パート2?)循環小数とn進法(7進法の循環小数)からです。1次不定方程式のようにテクニックでどうにでもなってしまうものを排除しにかかったのでしょうか。

 

第5問の平面幾何は今年はラクか。途中まで中学入試レベルの知識でもいけます。後半も方べきのみなので選択問題としては有利です。

 

 

 

※あくまで、「KATSUYA個人の見解」です。各予備校の見解にひっぱられないよう、各予備校の分析は(この時点では)拝見しておりません。



■目標解答時間・・・・54分 【40分】←穴埋め解答時間 
(■昨年の時間・・・・58~59分 【41~42分】←穴埋め解答時間)

※幅があるのは、選択問題で時間が異なるためです。データは記述式を想定しにくいので、穴埋めと時間を同じにしています。


KATSUYAは、37分(昨年31分)で終了しています。(第4問までなら30分(昨年27分))昨年よりかかりましたが、確率で途中勘違いしたせいです^^;全体的には昨年並みか微易化かと。

 

2.各大問の難易度

※緑色の表記は、数学を解き進める上でかかせない原則を表しています。

※青色の表記は、数学における超基本的な心構えを表しています。

第1問 [1](数と式+2次関数:2次不等式、1次不等式(分母に文字あり)、根号計算、AB、例年比やや難、6分【4分】)

分母に文字式を含むタイプの問題で、方程式と違って、不等号の向きが変わるため、分母を簡単に払えないところがポイントになります。

b=-a/(a+2)(a-4) となり、これが正となる範囲を聞いています。 今回は場合分けは分子でやっています。(なんでわざわざそこを変えてくる^^;)

a>0のとき⇒ 分子の-a<0 b>0となるには→分母(a+2)(a-4)<0 

a≦0のとき⇒ 分子の-a≦0 b>0となるには→分母(a+2)(a-4)>0(0入りません)

とやってほしいのでしょう。

あるいは、設定が直線なので、グラフ的に考えてほしいのかもです。(y切片正でx切片も正⇒傾きは負 のような流れ)

 

なお、分母に文字式がある場合には、分母の2乗をかければ符号が変わることなく分母を払えます。因数分解もしたままなので、3次関数y=-a(a+2)(a-4)とx軸との上下関係で一気に解決ですね。

 

KATSUYAの感想

1次関数で係数が2次。x切片?分母に文字ありのタイプね。この場合分けなに?まあいいや、分母の2乗ではらって答えを書く。最後はルート計算ね。解答時間2分。

 

第1問[2] (論理と集合:要素の包含判定、命題の反例、A、昨年比易、4分【3分】)

最初に書いた通り、今年は必要・十分が出ませんでしたので、かなり楽かと思われます。サクサクいけたのではないでしょうか。

32は4の倍数ですが6の倍数ではありません、24の倍数でもありません。次は4と6の最小公倍数答えるだけで、もちろん12ですし、24の倍数にはなりません。

最後は、(2)をそのまま命題の話にするだけで答えになります。(2)と(3)は実質ほとんど聞いていることは同じです。

 

 

 

KATSUYAの感想

最初は楽勝。次も楽勝。そして最後も、、、いやこれは楽勝すぎんか^^; 必要十分もないし。ネタ切れ?解答時間1分半。

 

第1問[3] (2次関数:決定、共有点条件、平行移動、AB、例年比やや難、8分【5分】)

2次関数からの出題。軸わけや存在範囲からの出題ではないので、重くはないですが途中の線分との共有条件は考えるかもです。

最初は2次関数の決定。2次関数は頂点や軸条件があれば標準形、通る点のみなら一般形、x軸との交点なら因数分解形でおきます。

なお、条件から交点の幅が4で固定なので、頂点のy座標はcによらず一定(4の半分の2の2乗⇒-4)であることに気づかないと、この次が苦しいかも。cを動かすと2次関数が横にだけ動く(縦には動きません)ので、これに気づけば、軸から±1以内に線分があると共有点がないことが分かります。

よくわからなくなったら、慌てず平方完成してちゃんとグラフを書くことですね。平方完成すれば頂点出ますので。

最後は通る点の条件からcが決まります。その前が出てないと本当はダメですが、穴埋め的にc=1+√3の方が答えになるのは明らかです。平行移動量はこれに2足すので注意。y方向は計算するまでもなく-4です。

最後はy切片c(c+4)を計算するだけです。

 

KATSUYAの感想

今年の2次関数も軸分けや存在範囲なしか。最近はこーゆーテクニカルなものは減ったか。共有点条件なんかは、テクニカルに頼りすぎているとダメなんやろうな。グラフを書いて、動かしてみて判断せよってことかな。後半はただの計算問題。解答時間4分。

 

第2問[1]  (三角比:正弦定理・余弦定理、外接円の半径、角の二等分線、AB、例年比並、7分【5分】)

今年の三角比は角の二等分線です。そこまで面倒ではないですが、うまく設定されていて差はつくかもしれません。

最初は2辺とその間の角が分かっている場合は余弦定理を用いましょう。これにより3辺が分かりますので、変形余弦で∠CDBのcosを出し、sinに変えます。∠ADCと∠CDBはsinは等しいですね。

次の比は、角の二等分線の利用です。普段使っているのは、CB:CA=DB:DAでしょうが、真ん中2つ(外2つ)入れ替えてもOKです。これで出ます。

比が分かれば、k、√2kとかおいて余弦です。余弦定理は、cosの分かっている部分が含まれるように式を作りましょう。今回はAD^2=・・・です。

 

これでABCも3辺が分かりましたので、最後は変形余弦でcosを出し(どこでもOK)、sinに変えて正弦定理です。

 

 

 

KATSUYAの感想

上記の通り原則に従う。変形余弦の計算が2回、やってsinに変換する操作も2回。計算は多め?最初に長さの場所間違えてロス^^; 解答時間5分。

 

 

第2問 [2]  (データ分析:ヒストグラム、箱ひげ図、A、例年比やや易、9分【9分】)

今年のデータは内容的には箱ひげ図までです。分散や標準偏差など、いわゆる後半の単元はまったく出題されませんでした。もちろん、変量変換も。

最初の6択は、気の短い人ほどミスりやすそうな問題です。こういう問題こそ、落ち着いて考えること。必要・十分のときぐらい疑ってかかったほうがいいです。

2番や4番あたりはひっかけ。別に99個が全部同じ値のデータでもいいですよね。なので全然アウトです。ただし5番は要注意。同じ値でも影響はない記述内容です。全体的に明らかにひっかけに来ている文章です。テクニカルなものは排除するのに、こーゆーのは出すのね^^; じっくり見ろってことなのでしょうね。

次の(2)も見た目はごついですが、よく見れば余裕で正解できます。1.5の判定の精密さは微妙な気もしますが^^;

(3)も余裕です。箱ひげ図からは、たいしたことは分からないと考えておきましょう。中央値やQ1,Q3ぐらいしか分かりませんので、この位置の違いで正解を判断できます。

(4)は補助線の意味を読み取れれば終わりです。切片の値がそのまま女性と男性の平均寿命の差になると捉えられます。5.5~6の間が9個であることだけで選べます。

KATSUYAの感想

最初は2番、4番にひっかかりかけたが、この時点で正解が多すぎて見直し。2番、4番あかんやん。となると足りないから5番。OK^^ 次は、、、目が悪い人には「1.5以上」かどうか分かるのか、これ^^; 後半2つは楽勝。最後は判断が簡単すぎたので、他の部分も一応調べておく。大丈夫だろう。解答時間計8分。なんじゃかんじゃ最初に時間取られたかな。

 

 

第3問 (確率:総合、反復試行、条件付き確率、AB、例年比並、10分【7分】)

今年は最初に4択があり、基本的なものを総合的に聞いてきます。後半は反復試行がベースの確率。設定も単純なので慎重に行きたい。

最初の4択はデータほどではなく、すべて普段通りに計算すれば(一部はしなくても)正しいかどうかわかります。0番は少なくとも・・・があるので、余事象です。1/32が0.05(=1/20)未満と分かれば正解と判断できます。

1番は反復試行と1回の試行の意味の違いからくる誤りです。そもそもこれだと赤玉は4.8個入っていることになります。(割れている?(笑))

 

2番は普通に計算すれば正しいと分かります。教科書にありそうな設定。

3番は結果的にはやる必要はないですが、意外とメンドウ。

表が出ていて、表と発言する確率:0.9×0.9=0.81

裏が出ていて、表と発言する確率:0.1×0.1=0.01

求める確率は条件付き確率で、こ分母は「とき」の手前、分子が「とき」の前後なので、分母は表と発言する確率で0.81+0.01=0.82、分子は表が出ていて表と発言する確率で0.81なので明らかに90%より大きいです。

後半はよくある数直線上の問題。途中で0になると止まってしまうので、そこだけ注意。

(1)は反復試行やるまでもないですね。「おお、おう、うお、うう」 の4通りで判断。

(2)も、書き出しでも反復試行でもどっちでもOK。

(3)も、反復試行でもそうでなくてもよさそうです。数直線上移動の反復試行では、回数をrとして方程式を立てます。これで表3回、裏2回が出ればOK(10通り)であることを確認しましょう。この中で、3回までに裏が2回出るもの(3通り)を除きます。7通りしかありませんので、書き出してもいいのではないかと。書き出せばそのまま(4)も答えられますしね。

 

 

 

 

 

KATSUYAの感想

またこの形式か。慎重にやってOK。3番はやらずに判断。これで9割以下ならロボット複数いる意味ないやろ(笑) 後半は私は計算でやりましたが、(3)や(4)を見ると、書き出したほうが良かったかもです。この程度の数でのぞく分を計算で出すのはちょっと無駄でしたね。解答時間3分。

 

第4問 (整数:循環小数、n進法と循環小数、AB、例年比並、10分【7分】)

今年の整数問題は、1次不定方程式が出ず。前半、後半ともに循環小数です。

 

前半はいいでしょう。中学生も知ってそうな計算です。後半も題材的には7進法の循環小数と難しめですが、誘導に従えば大したことはありません。10進法のときと同じで、7進法では49倍すれば2ケタずれるので、それから引いているだけですね。「オカ」は98ではなく、96です。ここ間違えるとほぼ全滅。

 

 

分子が奇数で分母が4⇒12で約分しているので、分子が12×奇数となっているということです。2≦y≦3なので、約分後の奇数は9か11しかありません。あとはa,bともに0~6までしか入らないことに注意すればOK。

y-2とは、単純に96の部分をとっぱらっただけです。分子が1になる⇒7a+bが48の約数であるということに気づけばいけます。なお、a,bが異なることに注意。8,16,24がアウトです。意外とアウトが多い。(8の倍数ですね)

 

 

 

KATSUYAの感想

今年は1次不定方程式なし。いろいろ外してくるな。意図的?まあいいや。最初は瞬殺。後半も読み替えができれば大したことはない。最後は48の約数ね。1以外で9個・・・・(最後にしてはえらい簡単やな・・・)いや、違うわ!a,bが同じ値のものだめだわ。気づき方はともかく、結果オーライ。解答時間5分。

 

第5問 (平面図形:チェバ、メネラウス、面積比、方べき、例年比やや易、AB、10分【7分】)

今年の平面図形は数Aの中では昨年よりも易化しています。聞かれている内容から考えても、どの定理を用いるのかの判断もしやすいです。

最初の3つは線分比なので、チェバかメネラウスです。今回は、ABとDEが平行なので、難関中学受験生ぐらいなら相似とかで解いてきそうですけどね^^;

Gは真ん中、AB:DE=8:1とピラミッド型で次も出ます。最後はちょっと説明しにくいですが、AE:EC=7:1⇒63:9とします。63の方を8:1に分けて56:7とし、56:7+9=7:2 となります。

 

面積比は、全体から辺の比を使ってちょっとずつ縮めていきましょう。

 

後半の「ケコ」は意外と難しい?Aから始まる方べきの定理が思い浮かべば勝ちです。同一円周上にあることや、長さ条件が多いことなどから、どこかで方べきを使えると判断。DF上にある点は、あとAしかないので、A始まりかな?といった発想です。

「さらに」の後は、方べきの値は72となり、これがAE・ACにもなるので、GBCEやFDCE(←使わない)も同一円周上です。で、最後の対角の外角を探せばOK。

 

KATSUYAの感想

最初は、お^^ABとDE平行やから相似で押し通せそうなので、押し通す。面積比の計算で若干ミスる。1/2するの忘れて、デカいほうが112と3ケタになる。後半は方べき。詰まることなく終了。面積比でロスし、時間7分。

 

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3.対策

※新テストになりますので、形式や傾向等、常に最新の動向をチェックするようにしてください。(文科省や予備校のページの情報など)

レベル的には、教科書の章末問題レベルですが、発展的な内容も見受けられます。そのレベルの問題を、いかに素早く解くかがカギになってきます。また、公式は単なる暗記にとどまらず、適用しながらでもいいので、普段からなぜその式で出せるのか、どういう仕組みなのかを理解しましょう。

 

2次で数学がいる人は、特に意識する必要はありません。2次の対策がそのままセンターの勉強になってます。過去問や模試などで、形式になれることだけしておくといいでしょう。

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データ分析については、教科書のレベルと少し乖離があります。公式だけを丸暗記するのではなく、一部のデータから「どこまで確実に言えるか」を常に考えましょう。データの変量変換は今後も要注意分野です。数Bの確率分布も、可能ならチェックしておきたいところです。

 

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