立命館大学全学部理系(2/2) | 2019年大学入試数学

2019/02/06

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は立命館大学(全学方式理系：2/2)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

※入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０１９年大学入試（私大）シリーズ。

立命館大学(全学方式理系:2/2)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

立命館大学（全学方式理系:2/2）
（試験時間100分、４問、穴埋め型）

１．全体総評～ボリュームは多めの年と同じぐらい～

数学IIIの割合は4問中２問。。昨年の3問からは減りましたが、後半を中心に、ボリュームは昨年同様に多めの年といえます。出題分野としては、相変わらずIIIとAがメインで、立命館（理系）の色が強く出ています。

試験時間100分に対し、
標準回答時間は分125分【81分】（←穴埋め考慮）

2018年は125分【84分】（←穴埋め考慮）

2017年は115分【79分】（←穴埋め考慮）

2016年は107分【70分】（←穴埋め考慮）

2015年は125分【81分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン

第１問は押さえたい。計算量も、聞かれていることもそこまで難しくはない。12問中10問は取りたい。

第２問はキー問題。かなり見なれないテーマ。いろいろ試してでも、正解にこぎつけたかどうか。

第３問は後半を中心に題材が難しい(広義積分)。前半の「エ」までは押さえたい。出来れば「オ」まで。「カ」以降は厳しいか。

第４問は確率でキー問題。設定はそこまでややこしくないが、細かい計算や数え漏れに注意したい。

第１問は押さえて、第３問は半分であきらめる。第2問、第４問のうち片方はしっかり押さえる。もう片方も出来る限りは答えていきたい。65％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問・・・【複素数平面＋三角関数】極形式、複素数方程式、解と係数の関係、三角形の面積（B、25分【17分】、Lv.2）

複素数平面です。昨年は１3乗根という題材できましたが、今年はおとなしめです。１つ１つはそこまで大変な計算ではありません。「ア」~「カ」は教科書レベルです。ｗ１~ｗ４は極形式にしてｒ、θを比較して求めましょう。（Principle Piece III-102　数学III　複素数平面　p24）

「キ」はｚの部分をw^2 とするだけです。意外と気づきにくい？4次方程式ですが、「ク」「ケ」は解と係数の関係の考え方ですぐです。「コ」はz1+z2なので、元の方程式でやはり解と係数の関係。昨年も似たような考え方を出しています。

最後は面積。π／８　が絡むので半角の公式を用いましょう。S1/S2は比です。式を書いてみると、きれいに消えていくので、ほぼ計算不要ですね＾＾

※KATSUYAの解答時間は6分です。昨年よりここはラクかな。

☆第２問・・・【整数＋(数列)】割った余り、ｎ進法（B、25分【15分】、Lv.２）

第２問は整数問題です。漸化式の形をしているので、数列でできないこともないです。昨年にもｎ進法が出ているので、不意をつかれたか、深堀りしていればラッキーと思ったか。差が出そうですね。

「ア」~「カ」はただの計算です。２進法だったり10進法だったりしますので、要注意。「キ」「ク」は本格的な議論にうつります。

記述式だと非常にまとめにくい問題ですが、2進法表記で「右に０がつき、左のケタが落ちていく」感じに移っていくことに気づけば、そのまま「コ」ぐらいまでは行けると思います。「エ」「オ」「カ」あたりは10進法で聞いていますが、2進法で考えながらやっていると気づきやすいでしょう。

a1=uvwxyz →2倍すると　uvwxyz0 →　64=1000000 で割るので下6けたが余りでa2=vwxyz0 となります。（64以外、2進法表記です。）

こんな感じですね＾＾　ケタを落としてずらす、という考え方は、昨年も整数で使っていますし、かなり偏っているような・・・＾＾；

従って、６つずらせばかならず余りは０となります。また、5つ目以降で０となるには、最後の「ｚ＝０」であればあとは難でもOKなので、半分の32個あります。

このやり方でなくても、試してみて「奇数だとダメ、偶数だとOK」ぐらいの規則には気づきたいところです。

整数問題、自然数絡みの問題は、とにかく小さい数字でどんどん試しましょう。

「ケ」「コ」はほぼ同じやり方で出来ます。2進法表記で０が二つずつ付きますので、２つずつ桁が落ちます。

「サシ」は、波に乗っていれば（？）、3進法表記で行けると判断できるでしょう。

c1=qrst → 3c1=qrst0 → 3c1+1=qrst1 → 81=10000で割った余りなので下４ケタを取って rst1

4回ずらせば、「1111」で固定となります。27+9+3＋1=40　です。40の方はいくつか試せばわかるはず。

記述式だと難易度が高いですが、穴埋めなので「試しゴリ押し」で正解できるところを増やしたい。

※KATSUYAは９分で解いています。整数問題は答案にしにくい。あとでK塾の解答を見ましたが、鮮やかで分かりやすかったですね~

☆第３問・・・【積分法III】広義積分の値（C、40分【25分】、Lv.3）

広義積分の値を、誘導付きで求めていこうという題材です。

部分積分法や置換積分法など、誘導がしっかりついているので方針にまようことはないですが、答えの形に合うようにさまざまに式変形をしていく必要があります。

「エ」が最初の関門。1-cos2x・２=2sin^2x　の倍角利用が入り、　logがついているので、log２＋２log sinx と変換すると解答の形になります。結局、log2という定数の積分だけを聞いています。

「オ」は、sinとcosであること、置換方法やｙ＝π/2－ｘ　であること、このあたりから、sinにしてもcosにしても一緒になるパターンだと予想できるでしょう。sinのｎ乗の有名積分でやりますね。

「カ」は最難関でしょう。log sinx +log cosx=log(sinx cosx) と掛け算にし、さらにlog (sin 2x/2)=log sin2x－log2　まで変形してから置換します。積分区間が２ｂ~πー２ｂ　になって解答と合わないですが、ｙ＝log (sin x)という関数が、ｘ＝π/2　に関して対称なため、２ｂ~π/2　と、π/2~πー2b　の区間は（符号付き）面積が同じです。従って、２ｂ~π/2　の区間を2倍する、という考え方によって解答の形になっています。

sinしか入ってない関数は全て、区間[０、π]の範囲だけ見れば、π/2に関して対称であることは知っておいて損はないでしょう。ｙ＝sin x+ log(sin x)+e^(sinx)＋４　などでもあてはまります。

「キ」に関しては、流れからすると、ここでは「Ｊ」を使って欲しいのでしょう。「ク」を求めるときに、lim K（ｂ）=J　を利用してＪの値を出せばいいと解釈できます。前のページで「Ｊを求める」って書いてあるのに、「Ｊ」の値を書くところがないので、ちょっと分かりにくいかな、と＾＾；

※KATSUYAは19分で解きました。「カ」は結構考えた。区間をじっと見比べて、意味を考えると対称性に気づけましたね。

第４問・・・【確率】総当たりとトーナメント（B、35分【24分】、Lv.２）

数Aが第４問なのはいつも通り、今年は例年通りの確率。４チームの総当たり戦なので、書き出してもそこまでしんどくはないと思います。

「ア」「イ」はいいでしょう。「ウ」は、ＡＢ，ＡＣ，ＡＤの試合結果は判明しています。あとは、ＢＣ，ＢＤ，ＣＤで、Ｃが２勝さえしなければいいと考えればＯＫ。

「エ」は、Ａが３勝で優勝するか２勝で優勝するかです。反復試行の日本シリーズパターンと同じで、勝利数で場合分けです。ＡがＣに負ける場合の他に、Ｂに負ける場合、Ｄに負ける場合も「ウ」と同じように考えればＯＫでしたね。

トーナメント戦では、まず、トーナメント表がどうなるかを考えます。「ＡＢ－ＣＤ」、「ＡＣ－ＢＤ」、「ＡＤ－ＢＣ」かで分かれます。逆は考えないので、４Ｃ２÷２＝３通りです。（当然、１／３ずつの確率です。）

その上で確率を掛け算していきましょう。「カ」は、全トーナメント表についてやります。

「キ」は１問だけなので、コスパ的には捨ててもＯＫなものです。先ほどのように体系的に考えることができていれば、ｐ、ｑに関する式をきちんと立てることができますが、比較的時間は取られます。ｐ＋ｑ、ｐｑが多く出ますので、これについて連立した後、最後は解と係数の関係になります。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は１９分。最後で途中ミスをしてｐの値が汚く、「エ」と合わないので一度見直して訂正。

４．対策～数学IIIと数学Aを中心に～

「普段は数IIIと数A」とという傾向は継続ですが、今年はＡの割合が増えました。整数を今後は出してくる傾向がありますね。

ただし数学IIIの極限などでは、数列や三角関数などと融合されることも多いです。「IIIに取り組みつつ、IIBの公式などで不安が見つかったら、その時点でIIBの学習もやっておく」というスタイルがよさそうです。チャート（青色がいいでしょう）と、同レベルの入試問題集をたくさん練習しましょう。あまり数IIの勉強を怠ると、今年のようなセットに対応できませんので、ご注意を。

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでよさそうです。

以上です＾＾