立命館大学全学方式文系(2/2) | 2019年大学入試数学

2019/02/09

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は立命館大学(全学方式文系:2/2)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

※入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０１９年大学入試(私大)シリーズ。

立命館大学(全学方式文系:2/2)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

立命館大学（全学部方式文系:2/2）
（試験時間80分、３問、ハイブリッド型）

※ハイブリッド型・・・記述式と穴埋め式が混合しているもの。

１．全体総評～2番の難易度が上がり続けている～

2013年あたりから易、難を交互に繰り返していましたが、難が2年連続です。名物の第２問も、自分で式を立てたりしないとたどり着かない空欄が多く、普段より難易度が格段にＵＰしました。第３問も確率と漸化式です。理系や薬学系では見かけますが、文系ではあまり出題がなく、対策していないと難しめ。

試験時間８０分に対し、

標準回答時間は102分【77分】（←穴埋め考慮）

2018年は100分【74分】

2017年は71分【53分】（←穴埋め考慮）

2016年は98分【66分】（←穴埋め考慮）

2015年は68分【46分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン～6割あれば十分か～

第１問を何としてもとらないと点数が稼げない。今年は14個。出来れば全部欲しい。
第２問は確信を持って出来るのは「ア」「イ」「オ」ぐらい。変に悩まない方がよかったかも。
第３問はキー問題。誘導もある程度あるので、対策を取っていればここで救われるかと思われます。

時間がないので、第１問を全て＋第2問はかじる＋第３問でとれるかどうか。第3問がとれないと60％にはとどかないので、今年はそれでも悲観することはないのかもしれません。

３．各問の難易度

第１問（１）・・・【データ分析】（AB、10分【7分】、Lv.２）

データ分析です。分散の出し方は2通り（①偏差の2乗の平均、②2乗の平均ー平均の2乗）とも必須です。

同じように、共分散にも出し方は2通りあります（①偏差の積の平均　②積の平均ー平均の積）。後者をしっているとかなり計算はラクになります。　分散の式で「2乗」の部分を「積」にかえただけです。

☆第１問（2）・・・【2次関数、複素数と方程式、三角関数】実数解条件、解と係数の関係、三角方程式と最大・最小（AB、10分【7分】、Lv.１）

題材はそんなに難しくないですが、めっちゃ融合されてます。よくこれだけ盛り込んだな、と＾＾；

最初は実数解条件です。式は三角方程式になります。種類（sinかcos）や角度（θか2θか）をそろえましょう。（Principle　Piece II-71 数学II 三角関数 p.46）

後半は解と係数の関係を使って三角関数の式を出し、その最大、最小です。こちらも同じ原則でsinの2次式にすればOK。範囲は１／２~１なので注意。

☆第１問（3）・・・【微分II】３次関数の極値、接線絡みの面積（AB、12分【8分】、Lv.2）

超典型パターンの微分の問題。原則理解の確認のためのような問題です。

「コサ」はいいでしょう。微分してからｘ＝－４，２を代入です。接線の方程式もいいですね。

最後の「セ」はなるべく時短したいところ。まず、元の３次関数と接線との交点が必要ですが、ｘ＝１で接することと、連立しても２次の係数は３で変わらないことから、解と係数の関係でさぼれますね。（Principle　Piece II-96 数学II 微分 p.18）

面積は穴埋めなら、6^4/12　で一瞬で出せますね＾＾　（12分の公式）。

※KATSUYAは計８分で解いています。

第２問・・・【確率＋図形と式など】投票数と当選条件（CD、45分【30分】、Lv.３）

立命館文系の第２問は名物、身近な数学問題です。今年も「難」で、2年連続で「難」です。

[1]はいいと思います。どの二人になるかは６C2通りありますので、「AとB」はそのうちの１つです。

[2]以降から比較的難しいです。まず、「ウ」は、票がAを含む特定の３人にかなり偏っている状況を考えます。全員の票数が異なることに注意しましょう。例えば、Aが10票とっていても、B,Cが10票より多くすることはできます。

(10,11,12,0,1,8)

などです。このようにしていくと、Aは45÷３＝15票付近であると予想出来ます。Aが15票の場合に、B,Cがそれより多いとそれだけで合計が45票を超えます。従って15票は当選確定です。

14票で当選させないためには、(14、15、16)　とすることですが、これで45票となり、残り3人も得票数が異なることに矛盾します。従って、14票でも当選確定です。

13票はどうでしょう？　(13、14、15，２，１，０)　という、超ギリギリで当選しない組み合わせが存在するので、これはアウトです。このようにして、14票であると答えられます。

「エ」は逆のパターンです。なるべく少ない得票数で当選するには、6人ともなるべく均等に得票されている方がいいです。45÷６＝７，５ですので、これが真ん中（真ん中の2人は７，８）になるように、１０，９、８，７，６，５とすればOK。

偏っている状況を考えるのか、均等な状況を考えるのかの判断が出来れば、なんとかたどり着けたかと思います。

[3]は比例代表制を念頭に置いた問題だと思われますが、ｄが実数であることなどから、本格的に条件を式にしないと答えにはたどり着きにくく、難しいです。

「オ」は１／２と答えたくなりますが、そんなことはありません。最初の当選者がY党でも、次にX党から当選すればOK。得票率はｘ、１－ｘですから、ｘ≧１－ｘ／ｄ　であれば、２人目はＸ党からになります。

「カ」は、ｘの方が大きいのはもちろん、x/dでも１－ｘより大きくないとダメです。

「キ」「ク」は、「オ」「カ」から予想がつかないこともないですが、３党になると難しいです。ｘ、ｙ、ｚ（合計１）と設定するぐらいはできそうですが、ｘが一番大きい場合、そうでない場合ときちんと分けて、先ほどの議論をしましょう。ただし、ｙ＋ｚ＝１－ｘ　も用いる必要があるところに注意。

※KATSUYAの解答時間は19分です。[1][2]はよかったですが、[3]はちょっと時間かかりましたね。

☆第３問・・・【確率＋数列】確率と漸化式（数字の和）（B、25分、Lv.2）

最後は確率と漸化式からの出題。理系や薬学方式では出題されやすい印象ですが、文系からの出題です。対策していたかどうか・・・・本セットだとここがキーになりそうです。

確率と漸化式では、細かい誘導は状況や大学のレベルによってもことなりますが、根本的な原則(3点セット)を常に強く意識しておくことが大事です。

まずは、ｎ回目からn+1回目に至る遷移を詳しく見ることです。（Principle Piece A-40 数学A 確率 p.39-43）

例えば、３ｎ個の数字の和が3の倍数なら、次のｎ＋１回目に選ぶ３個のボールも、和が３の倍数でないとダメです。しかし、それだけではありません。３ｎ個の数字の和が３で割って１余る場合でも、次のｎ＋１回目に選ぶ３個のボールで、和が３で割って２余ればＯＫです。従って、Ｐｎだけを設定してあっても、式にはしにくいことが分かります。

そこで、Ｐｎ以外の確率（３ｎ個の和が３の倍数以外の確率）も文字Ｑｎ、Ｒｎなどで設定します。（Principle Piece A-41 数学A 確率 p.39-43）

そしてそのさい、確率は足すと１になることだけは強調しておきましょう。（Principle Piece A-42 数学A 確率 p.39-43）

問題文を読んだ時にここまで考えることができると、[1]や[2]が非常に親切な誘導になっていることがわかります。[2]の確率はＰｎに関する漸化式を作るのに必要な数字です。

和が３の倍数になる場合は、数字自体を３で割った余りでグループ分けしておくと求めやすいです。（Principle Piece A-32 数学A 確率 p.14-15）

結局、3の倍数→3の倍数　は、確率５／１４、３の倍数以外→３の倍数は確率９／２８であると分かります。これで漸化式を作り、Ｑｎ＋Ｒｎ＝１－Ｐｎ　も利用すると、きれいにＰｎだけの漸化式になります。

できた漸化式は４型ですから、特性方程式を解いて等比型に帰着させましょう。（Principle Piece Ｂ-12 数学B 数列 p.33）

[4]を解いてから[3]のＰ２は出したほうがすっきりします。Ｐ２を求める際の記述内容は、Ｐｎ＋１の式を作る際の記述内容とほとんどかぶっています。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間は１２分。文系にしては確率を出すのが難しいタイプの印象。理系でも十分試験になると思いました。