名古屋大学 理系 | 2010年度大学入試数学
2017/01/26
※注 ヒントを見ないでこの大学の入試を解きたい人は、解き終わってから見てください。ネタバレがあります。
大学入試シリーズ第３７弾。
国公立シリーズ第１２弾。
名古屋大学 理系です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
難易度の目安です。
Ａ…教科書の練習問題、青、黄チャートの基本例題レベル
Ｂ…教科書の章末問題、黄、青チャートの重要例題、章末Ａ問題、および中堅大学入試問題レベル
Ｃ…チャートの章末Ｂ問題、難関大入試レベル
Ｄ…難関大入試でも難しい問題のレベル
Ｅ…超高校級の難問、試験場では即捨てるレベル
☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの「標準的な時間」です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい という目安にしてください。
名古屋大学（理系）数学
（試験時間１５０分）
１．全体総評～計算量は多めで質も高い～
昨年と同程度の難易度で、例年通り。４問中２問はＣレベル、残りはＢレベルだが計算が多めでめんどくさいという傾向で、旧７帝大の中でも難易度は高めです。
試験時間分１５０に対し、
目標解答合計時間は１３５分。
試験時間は一昨年から１５０分に伸びましたが、全体的に計算量が多く、これで適当でしょう。
２．合格ライン
Ｂレベルの第１、２問は計算を間違えずに抑えて、
第３問は（２）まで、第４問は（１）までは抑えたい。
残り、第３問（３）のbnが求まれば、合計３完で十分合格ラインでしょう。an、cnまで求まれば一安心。
Ｂレベルをいかに確実に抑えれるかがカギ。
３．各問の難易度
☆第１問・・・空間座標、微分（B、３０分、Lv.２）
空間ベクトルの問題で、平面と直線の交点を二つ求めたあと、その２交点を含む四面体の体積の最大、最小を求める。
旧々課程ぐらいであれば平面の方程式を使えば楽なのですが、現行課程なら素直に「ベクトル＋３元１次連立方程式」でコツコツ計算します。
空間の場合は決めるべき座標が３つですから、方程式も３つです。
①平面上にある（ベクトルを２つ使うので、条件２つ分）
②線分ＰＤ上にある
でオッケーですね。
あとは体積求めるだけ。△ＯＬＰを底面と見るのが楽。普段から体積を求めるには？と考える癖を付けておきましょう。
なお、技巧的ですが体積は（ｔの２次式）/（ｔの１次式）の形をしているので、
最小値であれば微分せずとも相加相乗で求まります。
（拙著シリーズ（白） 数学II 式と証明 p.19）
ただし今回は最大値もありますし、ｔの範囲に制限もありますから、微分の方がいいですね。
☆第２問・・・微分積分総合（Ｂ、３５分、Lv.２）
ある関数を題材に、極値や変曲点を出してグラフを書いたり、接線やそれに囲まれる部分の面積を求めたりする問題。
数Ⅲの微積がぎゅっと詰まった、良問。問題集に掲載されそうなタイプです。
接線では接点が主役。接線の本数といえば、こちらの原則ですね＾＾
（拙著シリーズ（白） 数学II 微分法 pp.8-10）
計算量は多いですが、パターン問題なので確実にとりたい。
☆第３問・・・確率、数列（ＢＣ、３０分、Lv.２）
確率と漸化式の問題。誘導もあり、（２）まではそれほど苦労しなかったと思いますが、（３）は上手く変形していかなければ迷路にはまる可能性もあり、とくにＡ、Ｃは苦労した人も多かったでしょう。
確率と漸化式は、こちらの3点セットを常に頭に入れておくといいでしょう。
（拙著シリーズ（白） 数学A 確率 pp.38-43）
（拙著シリーズ（白） 数学A 確率 pp.38-43）
（拙著シリーズ（白） 数学A 確率 pp.38-43）
こちらもいい問題です。やってみましょう。
第４問・・・整数（Ｃ、４０分、Lv.３）
放物線上の格子点の数の問題。無限個の存在を示すもの。無限個の存在の証明には、無限個を作る手順を示します。
（拙著シリーズ（白） 数学A 整数 p.75）
ある点（X、f(X)）が格子点なら、そこからＸを等間隔で動かしても格子点であることを示します。
そうすれば具体的に１個見つかればいいわけです。
数学的帰納法に近いものがありますね。数学的帰納法も言い換えれば、「条件が成り立つ自然数が無限個あることを示せ」といっているわけですから。
なお、放物線上にある格子点の数は ０個、１個、２個、もしくは無限大個 です。本問（２）からほぼ明らかですね。
４．対策
合格のためにはＢレベルの問題を確実にとる力とＣレベルの問題に手がつくための思考力が必要です。
チャートの重要例題まではパターンとして頭に入れた上で、さらに上のレベルの問題をやりましょう。仕上げ段階までやらないと、過去問には接続しにくいかもしれません。
河合塾シリーズの「ハイレベル理系数学」や、Ｚ会シリーズの「理系入試数学の核心 難関大編」
などはＣレベル系の演習にいいです。Ｂレベルなら、青チャートと数研の入試問題集（理系）でしょう。
なお、数ⅢＣの比率が割と高いので、対策を忘れずに。
演習量比率Ｂ：Ｃ＝５：５ぐらいですね。Ｂレベルには毎日触れておきたい。
以上です。
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(記事の引越し・改善中のため外部サイト(姉妹サイト)と行き来するかもしれません。すみません。)
■関連する拙著シリーズ■
★ 数学B ベクトル (第１問)
★ 数学III 微分法の応用 （第２問）
★ 数学III 積分法の応用 （第３問）
★ 数学A 確率 （第３問）
★ 数学A 整数 （第４問)
★ 計算０．９ (計算練習帳です＾＾)
