九州大学文系 | 2020年度大学入試数学

2020/03/05

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０２０年大学入試（国公立）シリーズ。
九州大学(文系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

九州大学（文系）
（試験時間120分、4問、記述式）

１．全体総評～量はそこそこだが差はつきやすいか～

難易度は昨年並みです。量的には、3年連続で100分かからずに済みそうなセットです。

ただし、第３問や第４問は計算量が少ないわけではなく、方針に迷ってしまうと時間を持って行かれます。文系専用の第２問も決して簡単ではないので、そこまで考えると今年も、質量ともに適量かと思われます。

試験時間120分に対し、
標準回答時間は95分

2019年：88分。

2018年：75分

2017年：85分

2016年：115分

2015年：85分

2014年：110分

2013年：100分

2012年：130分

2011年：105分

2010年：120分

２．合格ライン

第１問は文系専用。ここは典型手法で解けるので落とせない。

第２問の文系専用問題は（２）が難しいか。文系だと経験が少ないかもなので、（１）どまりが多数か。

第３問の類似共通問題、第４問の共通問題がキー問題。第３問は計算量が多いので最後までたどり着けるか、第４問の確率は（３）で過不足なく数えられるか。合わせて１完以上取れればなんとか。

第１問は完答し、第２問は（１）止まり。第３問、第４問のどちらかを完答出来ればぐっと合格に近付きそう。６５％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

第１問　【微積分＋複素数と方程式】２つの放物線で囲まれる部分の面積の最大値（B,20分、Lv.２）

２つの放物線の共有点条件を求め、そのときの囲まれる面積の最大値を求める問題。面積の式に３次式が絡みます。

（１）は判別式Dでいいでしょう。3次不等式になりますので、因数定理などで因数分解してください。2次式の方は平方完成をるすなり、この式の判別式＜０などで、０にならないことをいいましょう。

（２）はその範囲内での面積ですが、放物線同士なので「６分の公式」が使えます。放物線同士の時は特に、2次の係数に気をつけましょう。βーαは（１）で出した判別式（解の公式のルートの中身）がもろに絡みますので、３次式です。この３次式の最大値を０≦a＜４で求めますので、微分して増減表ですね。

※KATSUYAの解答時間８分。放物線同士やから６分の公式の流れのパターンなので止まることはなさそう。Dが３次式になるってことは、面積の最大値に微分を絡ませてる感じか。と思いながら（２）も解いて終了。

☆第２問　【空間ベクトル】四面体をなす4点、切り口の最大値（B、25分、Lv.2）

四面体をなすような４点を求めつつ、四面体を切ったときの切り口について吟味する問題です。

（１）は４点が正四面体なので、まずOA^2=OB^2=2ですぐにｐ＝１は出ます。あとはｑ、ｒ、ｓに関する式を３つ立てればOK。OC^2、AC^2、BC^2が全て２になる式を立てます。とりあえず辺々を引けば2乗の項は消えますので、1文字に減らしてから再度2乗の式に代入すればいいでしょう。４点が四面体になる問題は、教科書にもあるレベルです。（たぶん教科書の方が計算しんどい）

（２）は四面体の切り口。この方向に切ると長方形になることは有名ですが、文系だと演習経験があるかどうか。切断に絡む辺はOB,OB,AB,ACなので、これら4点について線分上の点の式を１－ｓ、ｓなどの係数で置き、ｚ座標がｔになるようにｓを決めると、４点が出ます。斜めの長方形が表れますので、形が特定できれば、面積の式や最大値は簡単に出ます。

理系だと、体積を求める手前として切り口の面積を求める問題は良く出ますが、4辺ともやることになるのでドラクエでいうMP（やる気）も持ってかれるかもです。文系だと難しいかもですね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間１３分。（１）は４点正四面体パターンか。計算多そう。いやでもｐ＝１やろ？Cは(０，１，１)やな。とりあえず答えがすぐに見つかったので、そんなに計算はめんどくないと判断し、答えを見据えて真面目に連立する。なったなった＾＾　（２）は切り口。四面体のこの方向の切り口が斜めの長方形になるのは有名。理系だとよくあるパターンなので、迷わず４辺上の点を表して終了。

第３問　【複素数と方程式＋整数】3次式の決定、1次不定方程式（B、25分、Lv.2）

理系の第２問と類似共通です。3次方程式について、解の条件から係数を絞り、さらに整数条件で絞っていく問題です。

（１）は出来るでしょう。共役複素数も解になることを利用すれば、x^2-x+1で割りきれますので、割り算して余り０を条件にします。あるいは、単純に代入して、●＋■ｉの形にし、実部も虚部も０になることで求めることも可能。

（２）は（１）でｃだけの式になりましたので、f(1)、f(-1)がどんな数字であるかを条件式から見ぬきます。ｃ＋１が７であると４余るので、ｃ＝７ｋ＋３です。－４０~４０を考えると、ｋ＝－６~５のたった１２個なので、この中で３ｃ－３が11で割って２余る（３ｃが11で割って5余る）ものを探すのが、地味ですが最も早いと思います。あてはまるｃ＝３１のみです。

最後の因数分解ですが、（１）で共役の知識を使っていれば（使っていなくても）、ｘ^2-x+1で割れることを利用するといいでしょう。残りの因数は定数項などから、ｘ＋３１と分かります。

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間１２分。理系と似て非なる感じ。あんまり難易度かわらんけど。ｃを特定するのはこっちの方がメンドウな気がする。