九州大学理系 | 2020年度大学入試数学

2020/03/04

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は九州大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０２０年大学入試（国公立）シリーズ。
九州大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

九州大学（理系）
（試験時間150分、5問、記述式）

１．全体総評～どれも手はつけやすいが計算量は多め～

難易度は昨年並みです。今年はどの問題も方針は立ちやすく途中までは進められると思いますが、最後までたどり着くにはそれなりに時間がかかるセットでした。分野としては数IIIが２問と確率、ベクトル、整数の融合問題です。数IIIは微分は本格的ですが、積分計算自体はほとんど数IIIらしいものは出ていません。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は130分。

2019年：140分

2018年：155分

2017年：145分

2016年：130分

2015年：140分

2014年：150分

2013年：135分

2012年：160分

2011年：130分

2010年：125分

２．合格ライン

第１問は接線の存在なので、方針には迷わないハズ。しっかり合わせたいところ。

第２問もやることは明白なはず。こちらも計算に負けずに合わせたい。

第３問はキー問題。（１）はなんとか合わせたい。（２）はあることに気づけば一瞬だが、、、

第４問の確率もキー問題。（１）（２）はよくある問題なので取りたい。（３）は意外とメンドウ。

第５問もキー問題。よくある円柱の切断だが、九大では珍しいので差がでそう。

前半２つは確保したい。後半３つはどれも取れないことはないはず。得意なものに手をつけるか、つまみ食いして、合わせて１完(５０点分)以上をめざしたいところです。ボーダーは３完半(６５％)ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問　【微分法】接線の存在条件（B,25分、Lv.２）

定点を通る接線の存在条件で、題材としてはよくあるパターンです。

（a,0）は通る点であって接点とは限らないので、先に接点（t,f(t)）を置いて接線の方程式を作るのが原則ですね＾＾「通る」という条件はｘ、ｙにしか代入できませんので、ｘ、ｙの式がまず作れないと使えません。

代入した式はａ，ｔの式ですが、ａ＝・・・に直して定数分離して視覚化することも、本学受験者なら出来るでしょう。あとはグラフを書くだけですね。漸近線などもあるのでちょっとメンドウな計算になりますが、ここは合わせたい。

※KATSUYAの感想：解答時間12分。やることはパターン。上記のとおり接点を設定し、ｔの存在条件に帰着。ａ＝・・・になおしてグラフを書く。漸近線あるパターンなので、極限を4つ調べるのがちょっとメンドウ。

第２問　【複素数と方程式＋整数】4次式の決定、1次不定方程式（B、25分、Lv.2）

１つの虚数解から、4次方程式の係数をある程度決め、後半の整数問題で残りの係数を決める問題。うまく融合されていますが、計算は結構多めです。文系との共通ですが、理系では合わせたい。

（１）は出来るでしょう。共役複素数も解になることを利用すれば、x^2-x+1で割りきれますので、割り算して余り０を条件にします。あるいは、単純に代入して、●＋■ｉの形にし、実部も虚部も０になることで求めることも可能。こちらの計算の際には、解^3=－１になることを利用すると計算はラクになります。極形式にすればすぐですね。

（２）（１）でａ，ｂだけの式になりましたので、f(1)、f(-1)がどんな数字であるかを条件式から見ぬきます。

７で割ると１余り、11で割ると10余る数字については、書き出して探すのがはやいと思います。11で割ると10余る数字を順に書き出して、10、21、32、43、54、・・・です。43は前者の条件も満たしますので、最小の整数は43です。あとは最小公倍数77おきになります。この書き方でも減点はされないでしょう。

同じことをf(-1)についてもやります。あとは、a,bが-40~40であることを利用して絞ります。１つ１つやることは単純ですが、同じことを2回もさせられるし、計算は多いですね。

※KATSUYAの感想：解答時間16分。（１）3次方程式なら共役利用して解と係数でいくけど、4次なので3乗＝－１を利用して実部＝虚部＝０でいくことに。（２）文章を読んで「なんか無理やり整数にしてきたな＾＾；」と感じるが、書き出してコツコツさがす。「11で割ると10余る」が共通なのでこちらを書き出す。a=6か。小さいな。実際に因数分解してx^2-x+1で割れるからあってると踏んで終了。整数との融合問題なんやろうけど、うまい、、、とは言えないかなぁ。

☆第３問　【空間ベクトル】なす角、外接球の半径（BC、25分、Lv.３）

四面体に関する条件から、なす角と外接球の半径を出す問題。条件が普段と違って、少し方針に迷ったかもしれません。

四面体問題では、まず基本ベクトルを３つ設定します。本問OA、OB、OCでしょう。また、長さや角度が絡むのような問題は、内積も絡むはずです。その際には、３つのベクトルの長さ＋３つの内積の計６種を準備することが目標です。

問題文には、垂直条件と長さ条件を合わせると６つありますので、６つとも出るはずです。ここまで考えれば、普段通りにやればいいと分かります。

最初の垂直条件３つの組み合わせから、OA＝BC、OB=AC、OC=ABが出ます。これで、OABは3辺が分かったので、内積OA・OBは余弦定理の式AB^2=・・・そのもので出せますね。

（１）上記の流れで6種類が出れば、なす角はcosθ・・・の式で出せます。

（２）はまともに当たると方針につまるかもしれませんが、この四面体は４つの三角形が合同である等面四面体です。等面四面体は直方体に埋め込めますので、これを利用すれば外接球の半径は直方体の体対角線の半分です。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間12分。条件ややこいな。なんか等面四面体っぽいな。・・・６つあるから、普段通りやれば全部でるやろ。垂直条件はうまく残りの辺が出るようになってるのね。なかなかうまい条件。立体は予想通り等面四面体。じゃあ（２）は出来る。（１）は残りの内積計算して終了。

☆第４問　【確率】４個サイコロの目の積（BC、25分、Lv.2）

４個サイコロの目の積の問題でありきたりですが、どちらも平方数なので、（３）の100の倍数は過不足が発生しやすい。

4個という個数は微妙なラインのときもありますが、目の積については余事象によって求めるのが原則です。

（１）は楽勝でしょう。５の目が「少なくとも」2個でればいいので、　５の目が1個、0個のときを引けばOK。

（２）は２，４，６が絡むので注意。でもこの程度なら青チャートの例題にありそうな典型問題ですね。２の因数がない場合（全部１，３，５）か２の因数が1つの場合（１つが２か６、３つが１，３，５）を引けばOK。

（３）は数字が大きいので数えてもいいとは思いますが、（１）（２）で余事象も出ているので、余事象利用でもいいでしょう。

「100で割り切れる」＝「４かつ25で割り切れる」です。その否定は「４で割り切れない」または「２５で割り切れない」になりますので、ダブった部分「４でも２５でも割り切れない」を計算する必要があります。２の因数が０か１、５の因数が０か１で4つに分けて計算することになると思いますが、これでも場合分けは多め。

いずれにしても（３）は時間かかりそうで、過不足もでやすいので差は出るでしょう。

※KATSUYAの解答時間13分。目の積は余事象やな。（１）（２）はパターンなのでさくっと。（３）もそれまでに余事象出してるし、余事象でやるか。たぶった部分は、、、意外と多いな。４も２５も平方数やし仕方ないか。100の倍数、今後ｎ個のさいころにして出題されそうやな。