立命館大学全学方式理系 (2/2) | 2020年大学入試数学

2020/02/05

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は立命館大学(全学方式理系：2/2)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

※入試シーズン中はコメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０２０年大学入試（私大）シリーズ。

立命館大学(全学方式理系:2/2)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

立命館大学（全学方式理系:2/2）
（試験時間100分、４問、穴埋め型）

１．全体総評～ここ数年の中では穏やかな方か～

数学IIIの割合が３／４に戻りました。楕円、積分、複素数平面と、「新数III」からの方が多いです。残りは数Aの整数から。IIIとAがメインであるのは、立命館（理系）特徴であるのは本サイトでもお伝えしていますが、今年もその傾向です。

計算量はここ数年では穏やかな方だったという印象で、方針に迷いそうな文章でもないので時間的には余裕があったのではないかと思います。

試験時間100分に対し、
標準回答時間は105分【72分】（←穴埋め考慮）

2019年は125分【81分】（←穴埋め考慮）

2018年は125分【84分】（←穴埋め考慮）

2017年は115分【79分】（←穴埋め考慮）

2016年は107分【70分】（←穴埋め考慮）

2015年は125分【81分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン

どれも差が出る可能性のある難易度です。

まず、流れに乗れるかどうか。流れに乗れたものについて、立命館（理系）お決まりの文字計算にどこまで耐えられるかです。（物理選択者の方が得意そう＾＾；）

２完２半あたり（穴埋め４２個中２７~３０個ぐらい）がボーダーでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問・・・【２次曲線】楕円の軌跡、楕円と直線、楕円の接線が直交する条件（BC、25分【18分】、Lv.2）

誘導に乗っていろいろと聞いてきますが、メインはタイトル通り楕円外の点から楕円に引いた２接線が直交する条件です。

頻出タイプであり、かつ有名事実で、比較的レベルの高い参考書（本サイトなら仕上げレベル、入試標準演習レベル）になら書かれているものも多いと思います。事実を知っていれば、「サ」は一瞬です。

本学のアプローチの仕方だと時間はかかりますが、流れも丁寧なので、コツコツ計算するだけです。結果を知っていれば結果から修正も効きますので、出来る限りインプットは増やしておくべきでしょう。

最初は教科書によくあるパターンです。中点でない点の軌跡は、楕円になります。中点なら円です。連動系の軌跡なので、原則としては数IIのです。a,bをx,yで表し、a,bの満たす式に入れましょう。

※「ウ」でミスったら芋づるで第１問はアウトです。慎重に。ここで見直すぐらいの姿勢が必要。

次の段落は、一般的な直線がこの楕円と接する条件を求めます。一般性が高いため文字計算がまあまありますが、連立して判別式＝０の計算をするだけです。

最後の段落は、先ほどの事実を用いて、p,qを通る傾きｕ、－１／ｕの直線について（ｙ＝ｓｘ＋ｔに合わせることがポイント）、ｓとｔの部分がどう変わったかを見て、先ほどの「カ」の式にあてはめてほしいだけです。

最後の「サ」は、先ほどの２つの式が共通解をもつには、ｐ、ｑ、ｒにどんな条件があるかを求めます。共通解問題では、辺々を足し引きして、因数分解できる形を作ります。１次の項の符号違いでの指定や、「ケ」「コ」の係数入れ替えなどから、足せばいいと分かってほしいところ。

※KATSUYAの解答時間は14分です。昨年6分やった。ここはしんどくなったかな？計算をひたすらやらされる・・・このアプローチは無駄に計算量を増やすだけのようにも見えるけど＾＾；「サ」は答えだけ書いてしまってます。

第２問・・・【整数】１次不定方程式（B、25分【17分】、Lv.２）

この位置に、昨年に引き続き整数問題です。題材はただの1次方程式ですが、とにかく文字ばっかりなので、整数問題をやっている気がしない問題です。

「ア」~「オ」は文字が多いとややこしく見えますが、普段通り1組見つけて辺々を引いて、、、という普段通りの作業をやっているだけです。

「カ」と「キ」も、ただの放物線と直線の共有点条件と交点です。「カ」は、「キ」のルートの中身が０以上であることを確認しています。

「ク」以降も、問題文の流れに従ってｌx_0+bmが２つの解の間にあることを解き、それを満たすｍが２つあるようにｃの範囲を決めます。数直線を書いて、ｍに関する範囲がどのように変化するのかを調べましょう。

※KATSUYAは11分で解いています。なんじゃこりゃ？なんか文字計算ばっかりで、整数問題なのかどうかも途中から頭から飛んでいる＾＾；

☆第３問・・・【積分法III】広義積分の値（C、30分【20分】、Lv.3）

昨年に引き続き、分野は積分、そして題材も昨年と同じ広義積分です。広義積分好きですね＾＾

誘導自体は「ウ」の意図など気づきにくい部分もありますが、今年は部分積分を必要とするところがなく、お決まりのｔ＝ａtan●型の置換積分なので、いち早く流れに乗り、あとは計算を慎重に行えば「ケ」ぐらいまでは正解できるはず。

[１]はただの微分です。０≦ｔ≦１で単調増加ということですので、「イ」はf(1)を書けばOK。分子分母をｔで割って相加・相乗でも「イ」は出せます。（０のときは０）　なお、唐突感、不自然な感じも否めない「ウ」はのちのち使います。意図に気づけるかどうか。

[２]も、後々に使う三角関数の値の準備です。こちらも唐突感が＾＾；　そういうときはだいたい後で使います。

[3]から本番。[１]の関数でsinθを置き換えるときれいになります。その際、「ウ」の式はcosθになることに気づかないと、ここでお手上げになります。

パターン的には、tanθ／２＝ｔ　とおくもの（こうするとsinθ、cosθが本文のようになる）です。レベルの高い置換積分ですが、青チャートなどにもきちんと紹介されています。

無事に気づけると、Iの式をさらにtan型で置き換えるパターンになります。（Jも同様にやります）こちらはお決まりの積分ですね。このときに積分区間に[２]のアルファや「エ」の値が出てくるわけです。

[４]でようやく最初の式に戻ってきます。最後の変形は誘導あまりないですが、I、Jをじっと見比べると、次のように思いつけばいいと思います。

①置換する前に、まずは偶関数であることから積分区間をーｒ~ｒ→０~ｒにして２倍。これで置換すれば、I,Jと積分区間が一致する。

②ルートの部分はcosθになるので、ｄｘを置き換えれば約分できる。ジャマなcosも消えた。

③２－sinθと、I,Jの分母を見比べて、部分分数分解を思いつく。これでめでたくI＋Jと分かる。

区間をじっと見比べて思いつくタイプは、昨年も出ています。過去問演習は大事！！

※KATSUYAは12分で解きました。題材自体は難しい積分やけど、部分積分ないこともあり、誘導に気づければ比較的ラクかな。

第４問・・・【数列＋複素数平面＋極限】回転点列、等比級数の和（BC、25分【17分】、Lv.3）

複素数平面の回転点列の問題です。こちらも前半は文字ばっかりなので（そろそろ？）イライラしそうですが、こちらも湯誘導にうまく乗って最後まで解き切りたいところです。

最初の「ア」は教科書の公式をそのまま書くレベルです。意外とここからダメな人もいるのでは？「ｚにαを掛ける」という操作は、「原点からの距離を|α|倍し、原点を中心にarg(α)だけ回転する」ということです。αを掛けるだけで両方の操作（回転＋拡大）が完了します。あとは平行移動だけなので、「ア」はαｚ＋β　です。意外とダメな人もいるのでは？

ただ、ここで詰まると第４問はそのまま詰みます。。。。

「イ」は図形的にも明らかに公比｜α｜と分かります。式でやるなら、１つずらした漸化式を書いて辺々を引くと、βが消えます。「ウ」は無限等比級数です。

「エ」は、原点でないところ中心に回転します。これも教科書にありますね。「平行、回転、また平行」のイメージがあればその場でも導けます。「オ」と「カ」は、ｚについての恒等式とみて係数を比較ということでしょう。

※「γ、δをそれぞれα、βで表すと」という文章には個人的には違和感があります。「γはαで、δはβで表せ」という意味に捉えかねないような気がします。「それぞれ」は要らないのではないでしょうか。

[４]は、[２]の操作を[３]に変換して、１を中心にした回転・拡大移動を行う、ということです。「キ」はいいでしょう。「ク」ですが、ベクトルP0P1とP0P2を出して面積公式でもいいし、Bを含む三角形P0BP1＋P0BP2から「キ」を引く方法もあります。こっちの方がはやいですかね。

最後は、[２]の事実から等比的に変化することは目に見えてます。公比は面積比なので、1/3です。気を付けて。最後の「コ」はひっかけでしょうか。項が1つ飛びなので、公比がさらに2乗されて１／９となります。

※KATSUYAは17分で解きました。「イ」「ウ」で変な式でたので、見直して修正。例の[３]の文章を見て「δはβだけで表すん？いや無理やろ。αも使う。自信があればいいけど、文章的にはマズイような気はするな＾＾；」「ク」が一番メンドウな気がする。

４．対策～数学IIIと数学Aを中心に～

「普段は数IIIと数A」とという傾向は継続です。昨年書いた通り、整数がまた出ましたので、数Aは確率、整数両方とも怠れません。

ただし数学IIIの極限などでは、数列や三角関数などと融合されることも多いです。「IIIに取り組みつつ、IIBの公式などで不安が見つかったら、その時点でIIBの学習もやっておく」というスタイルがよさそうです。チャート（青色がいいでしょう）と、同レベルの入試問題集をたくさん練習しましょう。あまり数IIの勉強を怠ると、今年のようなセットに対応できませんので、ご注意を。

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでよさそうです。

以上です＾＾

※受験方式の多い大学です。過去問がご自身の受験する方式と合致しているかどうか、再度ご確認の上で購入しましょう。