東京理科大学薬学部数学講評 | 2021年大学入試数学

2022/07/02

●理科大の数学シリーズです。今回は薬学部(2021年)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。今年度は理科大シリーズを追加していこうと思います。

理科大の大学入試は入試基礎演習および入試標準演習として非常に適切ですので、取り上げてみたいと思います。

理科大シリーズ

東京理科大学(薬学部)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

知らなかった場合は、言葉を覚えるだけでなく、必ず教科書や問題集等で該当する類題を数題見つけ、演習することで定着させてください。自分で探して自分で解く。これが一番身に付きます。

★お知らせ★

・YouTube チャンネルを開設しました　最初は試運転を兼ねて共通テスト数学について少しづつUPしています。

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・Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾　原則習得のための参考書です。

東京理科大学(薬学部)
（100分、４問、穴埋め型）

１．全体傾向～全体的に計算量が多い～

大問４問構成で、すべて穴埋め形式ですが、どの大問も「しつこい」という印象を持ってしまうぐらいの計算量の多さが目立ちます。問題レベル自体は入試標準ですが、いかに100分で埋められるところを埋められるかにかかっていますね。

制限時間も100分ですべて解き切るのはかなり難しいでしょう。

解答時間は135分【92分】（←穴埋め考慮）

２．各問の難易度

本文にある緑字(この色)は、大学入試数学を解く上で必要な原則を表しています。

第１問…【空間ベクトル】立方体の平面による切り口の面積など（B、30分【20分】、Lv.２）

空間ベクトルからで、立方体と平面の共通部分の形や面積などを聞いてきます。似たような、そして計算量が多いことをたくさんやらされますので、精神的に参りそうな問題です。

（１）はとりあえずｔ＝０．２とかを代入してみればどんな切り口か分かると思いますので、それで一般化すれば分かるかと。面積はベクトルにおける三角形の面積公式を2倍するだけでOKです。体積ですが、この手の立体の場合は底面×高さの平均で出せることを知っていると早いです。

（２）も、ｔにいろいろ代入してみればわかります。分からないときは実験することが原則です。算数なんかでよく見る切り口です。切り口の面積はかなりメンドウですが、三角形と台形に分けて長さを出せば高さも出せます。３：４：５の直角三角形が見えると５角形の辺の長さは割とすぐに出せます。

（３）が一番簡単なような気がします。ベクトルの知識もほとんど不要です。２等辺なので面積も難しくないですし、体積は3辺直交型の四面体ですのでもっと簡単ですね。

時間を考えると、5角形の面積は捨て。（１）（３）を両方完答できればここは合格ラインか。

第２問…【確率＋ベクトル】反復試行(サイコロの目)（BC、35分【24分】、Lv.2）

確率からの出題です。単なる反復試行ですが、ルール設定が非常に複雑で、落ち着いて読まないと全滅する可能性のある問題です。回数に応じて何の目が出るとどのベクトルが加算されていくのかがポイント。

（１）は設定さえわかればという感じ。ｐベクトルが一度も加算されなければいいので、2回目と4回目だけの話。後半はｑベクトルが一度も加算されないので、1,3,5回目だけの話です。

（２）はｐ、ｑ、ｒが一度ずつ出ればいいので、ルールごとに反復試行です。計算かなりメンドウ＾＾；

（３）は答えのケタを見て捨てた人も多そうですが、それでいいでしょう。実際本問が一番メンドウだと思います。aｐ→＋bq→＋cr→　などと置いて内積がゼロになるような(a,b,c)の組み合わせを探します。

係数の組み合わせは3つありますが、1つ1つの計算がとにかくメンドウ。ルールの順番もなぜかｑ、ｐ、ｒの順番で、非常に間違えやすいです。

（４）はｐ、ｑ、ｒの係数が２，１，０の並び替えならOK。4通りあるのでこれも計算はかなりメンドウです。

※累乗の値を知っていることで大幅な時間短縮になる典型的な問題でした。2,3,5,6の累乗はある程度知っておいた方がいいでしょう。

（１）と（２）をまずは正確に。（３）（４）はどちらか押さえれば十分。

第３問…【三角関数＋微分法など】不等式成立条件（B、35分【24分】、Lv.２）

３つの三角関数について、不等式成立条件を満たす条件をいろいろ聞いてきます。こちらも似たようなことを少しずつ変えて何回も聞かれるので、メンドウになってくる気持ちに勝てるかどうかです。難易度自体は入試基礎ぐらいでしょう。

全体的に聞かれているのは、「どのような」「ある」の違いです。2次関数のところで見るパターンですね。落ち着いて意味を考えて、条件を言い換えましょう。

(1)の(a)はf(x)の最大値≦g(x)の最小値です。先にｋがあるので、ｋの下にf(x)が、上にg(x)がないとダメ。

(b)はだいぶ違います。同じｘに対し、g(x)がf(x)に勝つタイミングが一瞬でもあればOKということです。同じｘなので引き算してg(x)-f(x)の最大値が0以上ならOK。

(c)も同じｘですが、今度は常にg(x)が勝っていないとダメです。したがって、g(x)-f(x)の最小値が0以上ならOK。

(2)も似たような感じの問題ですが、こちらは式変形次第では微分も必要ありません。h(x)は半角でcosxの式にできます。次数と角度の大きさはトレードオフだと常に思っておきましょう。

(a)は（１）の(a)と実はほとんど同じ。x,yを好き勝手にとれるので、fの方は最大値、gの方で最小値をとったとしてもfが勝てない条件ということです。

(b),(c)は(1)の(b)(c)と似ています。同じｘなので、差を考えます。半角で変形していればh(x)－f(x)は合成で様子が簡単につかめます。「1次」で「sinとcosがあって」、「角度が同じ」なら合成と思っておきましょう。(b)は差の最小値が０以上、(c)は差の最大値が0以上です。

これは原則さえ押さえていれば、本セットの中では比較的ラク。だるくなりそうですが、出来れば全部正解したい。

※「すべてのｘ」「あるｘ」について：拙著シリーズ2次関数をお持ちの人は、p.63およびp.111で原則とともに復習しておきましょう＾＾　これをおさえておけば、本問はただの典型問題です。

☆第４問…【微積分総合(II)】4次関数と放物線で囲まれる部分の面積、接線など（B、35、【24分】Lv.2）

4次関数と放物線が接する条件や接線、面積などを題材にした微分総合問題です。最初に放物線を特定できないと全滅なので、かなり差のつきそうな問題です。

（１）ですが、4次関数と放物線が2点で接するということです。2次関数の原則ですが、接する＝重解を思い出したいところ。2点で接するので、2重解が2つになります。すなわち、f(x)と放物線の差が、(x-●)^2(x-■)^2となっており、その接点が2点与えられているので、そこから放物線の式を特定します。

（２）は面積ですが、これは4次関数に2点で接する直線との面積である「30分の5乗」公式にあてはめます。相手は放物線ですが、関係ありません。被積分関数が(x-●)^2(x-■)^2、積分区間が●~■なら、4次関数と直線であろうが4次関数と2次関数であろうが同じです。今回は穴埋めなので、これに気づけるとかなり時短できます。

（３）ここがまだラクかと。接点のｘ座標は繁雑ですが、落ち着いて接線の公式にあてはめるだけ。S2の面積は放物線と2接線なので、こちらも半裏ワザである12分の3乗公式を使えば早いですね。

（４）は捨て問でしょう。面積なのでグラフが欲しいところですが、4次関数の極大値と頂点が一致する(ｘ＝１で接する)ような2つのグラフになることがまず見抜けないとキツイ。

次に、2つのグラフの差は－x(x-2)(x-1)^2ですが、これをまともに積分すると地獄です。x(x-2)=(x-1)^2-1と、ｘ－１を主役にした積分計算が出来たかどうかです。この式変形により、かなり計算量が減ります。(それでもまあまあミスりそうですけど＾＾；)

数II(多項式)関連の面積、積分計算をかなり演習していないとキツイ問題でしたが、いい問題だと思います。

（１）が出れば（３）はとりたい。（２）は気づけばいける。（４）は捨ててもいいかと。

※拙著シリーズ2次関数をお持ちの人は、p.51で原則とともに復習しておきましょう＾＾　

３．対策～過去問を早めに～

理科大薬学部は独特の面倒さがありますので、まず1年分でいいので早めにやっておいた方がいいでしょう。チャート式(青)のような網羅的問題集はやり方が即出てくるように訓練した上で、入試標準レベル演習までやっていろんなパターンに触れておき、さらに解説をしっかり読んで、「穴埋め形式なら使えそう」と思ったテクニックは積極的に自分のものにしていきましょう。

理科大は過去問が良問で非常に優秀ですので、古いものも含めて出来る限りしておきましょう。

量をこなす演習：じっくり演習＝９：１ぐらいでOKです。ある程度パターンが身についたと思ったら、早めに過去問演習に移行してもいいでしょう。

以上です＾＾