同志社大学全学部理系 | 2019年大学入試数学

2019/02/11

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(全学部理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１９年大学入試（私大）シリーズ。

同志社大学(全学部理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

同志社大学（全学部理系）

（試験時間100分、4問、ハイブリッド型）

※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。

１．全体総評~誘導はあるものの計算量は再び増加~

2018年に引き続き、誘導が比較的親切な問題構成になってますが、計算量が再び増加しましたので、難化です。しょっぱなから比較的メンドウな計算は入りつつ、後半の第３問、第４問は難易度も計算量もあります。制限時間内に解き切るのはまず無理でしょう。

試験時間100分に対し、
標準回答時間は152分【137分】（←穴埋め考慮）

2018年は142分【126分】（穴埋め考慮）

2017年は166分【152分】（穴埋め考慮）

2016年は157分【133分】（穴埋め考慮）

2015年は120分【108分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン～昨年で対策していれば高得点も狙える～

第１問（１）数年前にも出たネタが、穴埋めに。時間はかかるが「エ」までは必須。（２）は聞かれていることが多いが、落ち着いて取りたい。10問中8問目標。
第２問はキー問題。原則に従えば方針は立ちやすい。計算を最後まで合わせられるか。
第３問のベクトルは相変わらず計算量が多い。（３）（４）あたりは意図が読み取れないと厳しいか。（２）まではなんとか欲しい。
第４問は残り時間でどこまで解けるか。（１）（２）（４）はただの計算なので、ここを押さえておく。

第１問、第２問は出来る限り押さえる。第３問は（２）までで止めて、第４問で時間の許す限り解けるところからつぶす。それで時間があれば（なさそうですが）、後半の空欄を放置してでも第1問、第２問の見直しにかけた方がいいでしょう。65％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問（１）・・・【複素数平面＋極限など】極形式、絶対値と和の極限（B、25分【17分】、Lv.2）

三角形の形状決定です。数年前に、第２問で出た記憶があります（理工だったかも＾＾；）が、今年は穴埋め。大問になりうるレベルです。相変わらず同志社の穴埋めは、他大学とは一線を画します。全く油断できません。

∠Aを出すには、γーα／βーαを計算します。従って、αは両辺にうまく分散させます。(Principle Piece III-110 数学III　複素数平面 p45)

左辺に（１－ｉ）（γーα）が残るように無理やり右辺に出しましょう。これを極形式にすると、「ア」「ウ」は出ます。いわゆる２辺の比と夾角です。「イ」も同様。βをうまく分けましょう。

「エ」は簡単に出せます。「オ」も回転と拡大で出せますが、比較的丁寧に図を書かないとミスります。図を書いて、ｘｙ平面上でAC：ｙ＝ｘに気づけば、実部と虚部を入れ替えるだけで計算不要です。

※KATSUYAは12分で解いています。最初の数IIIがいつもまあまあメンドウ。

第１問（２）・・・【確率】コインの裏表、条件付き確率（B、15分【10分】、Lv.２）

条件付き確率です。設定は少し複雑ですが、本学受験者なら正解したい。

「白白」「黒黒」「白黒」のコインをどうとるか→投げてどうなるか

の2段階に分ければOK。例えばAの場合は、

・「白白」と「黒黒」を取る確率→どう投げても色が違う（確率１）

・「白白」と「白黒」を取る確率→投げると１／２で色が違う

・「白黒」と「白黒」を取る確率→投げると１／２で色が違う

こんな感じで、３パターンに分けて計算して足せばOK。

「ク」「ケ」は条件付き確率。分母はBの事象、分子はBかつDの事象です。(Principle Piece A-39 数学A　確率 p32)

BかつCとは、「白黒」と「白黒」を取って、「白白」が出ている場合で、BかつDとは、「白白」と「白黒」を取って、「白白」が出ている場合です。Bを出しているときに計算しています。どちらも、P（B）を計算する際に出しているはずですので、うまく計算をサボりましょう。

※KATSUYAは7分で解いています。条件付き確率は落ち着いてやれば簡単なはず。

☆第２問・・・【微積総合】曲線同士が接する条件、面積など（B、25分、Lv.２）

今年は昨年よりもさらにラクになった気がします。回転体もなく、題材としては典型的です。

２曲線接すると言われたら、f(p)=g(p)、f'p)=g'(p) の連立になります。（ULTIMATE Pinciple Piece）

接点も問題文に与えられています。ａ，ｂ，ｐ，ｑの4文字ですが、上の式が２セットできるので、これで全て出せます。（１）はそのための誘導で、丁寧です。ｐ、ｑのどちらが３／４π、７／４πかですが、sinの符号が違うことから、その後のa、bの符号に影響するので、ここで決まります。

最後の面積も普段に比べればラクな積分ですので、今年は満点で通過したいですね~。

※KATSUYAは18分で解いています。p,qの解をどうやって決めるかで少し迷いました。

☆第３問・・・【空間ベクトル】円と直線との交点、直線と平面との交点など（C、45分、Lv.３）

今年も第３問はベクトルで、３年連続円絡み。やはり円が絡むと数値も複雑で、かつ文字も入っているので、途中でいやになりそうです。

（１）は直線上ですから、１－ｔ、ｔの係数設定ですぐできます。

（２）から計算は複雑になってきます。P（ｐ、√1-p^2）と分かるので、直線EPの式を求め、円と連立するしかないでしょう。あるいは、Eを通るので、ｙ＝ｋ（ｘ＋２）とおいて円と連立し、解がｐであることからｋを、残りの解は解と係数の関係で出すという方法でもいいです。私はこっちでやっています。

（３）も計算が少しメンドウ。F,Gのｘ座標も設定し、条件式の「ｔ」も合わせて、３成分の連立となります。うまく計算しないとかなり煩雑になります。

なお、「ABとFGの交点がEになる」ことに気づき、さらに△EBG∽△EAFに気づけば、（２）の結果も使えます。（２）でEP:EQ=EB:EAとなるようなP,QがF,Gとなります。

（４）では、まず意味から考える必要があります。２直線がUで交わるなら、A,B,P,Rが同一平面上にあることから、ABとPRの交点はEです。したがって、Rは（２）のQと一致します。

あとは係数的には気が滅入りますが、AP上にあることと、BR上にあることを、１－ｓ、ｓなどの係数設定で行い、連立することになります。(Principle Piece A-39 数学A　確率 p32) かなりつらい文字計算の連立ですね＾＾：

※KATSUYAの解答時間は27分。（３）は相似利用でなんとかサボりましたが、計算ツライ・・・。検算としては、ｐ＝－１／２のときは図形的に接すると分かったので、Ｐと（２）Ｑのｘ座標が一致することで確認しています。ここでミスると後がないですので。

☆第４問・・・【微積分総合＋極限】極値、凹凸、不等式の証明、積分、面積、極限（C、40分、Lv.２）

第４問は、いつもの数式系の微積分総合、と思いきや、最後に面積があります。第２問、第４問ともに今回は微分の方がメインになっている印象がありますね。第３問までで時間を取られていると手がつかないかもですが、第３問よりは点数になりやすいのではないでしょうか。

（１）（２）は微分するだけですので、ここは合わせましょう。ここが正確にできれば、(3)は素直に差を取るだけです。

（４）の不定積分は、1/x＝（log x)' ですので、第２置換積分ですね。

（５）も、面積の計算自体はそこまで難しくありません。偶奇で上下関係が変わるなど、細かい部分に気をつけつつ、最後の極限に入ります。eの定義を利用した極限のパターンですので、（１＋１／●）^●　の形を無理やり作ることになります。昨年もこの極限でした。同志社は指数関係の極限が好きなようですね。(Principle Piece III-26 数学III　極限 p22-23)

※KATSUYAは20分で解いています。3番よりは考えなくてすむかな。