【後期】北海道大学 理系| 2019年度大学入試数学

   

●2019年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は北海道大学(理系)【後期】です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^今回は、後期の大学についての評価をUPします。

※合格された読者の皆様へ

合格おめでとうございます!どのような参考書に取り組んで合格を勝ち取ったかをコメントにて教えていただけると、これから受験する後輩の皆さんにとって非常に貴重な情報になります。合格した大学のエントリーのコメント欄から書いていただけると嬉しいです。

 

2019年大学入試(国公立)シリーズ。
北海道大学(理系)【後期】です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





北海道大学(理系)【後期】
(試験時間100分、4問、記述式)

1.全体総評~前期より易しめだが質量ともにバランスの取れたセット~

後期としては昨年比でやや易化したと思われます。また、今年は前期の難易度が例年に比べてかなり高く、後期の方が易しいと思われます。

1番~4番までオーソドックスな題材でありながらもひとひねりいれてきており、計算力も3番、4番では問われます。としてはどれも差が付きやすく、非常にバランスの取れた良問セットと言えると思います。2番、3番がともに軌跡と若干偏ってはいますが、やることはまったく異なりますので、まあOKでしょう(笑)


試験時間100分に対し、
標準回答時間は105分。昨年より短いですが、昨年は捨て問が1つあるので、実質変わらないかと。

2018年:125分

2017年:100分

2016年:115分

2015年:105分

2014年:100分

2.合格ライン

どれも差が付きやすいタイプだと思います。もっともパターンにあてはめやすい1番、2番を確保し、後半は時間が許す限り得意不得意に合わせて3番か4番をコツコツ進めていければいいかと。65%ぐらいでしょうか。

 

3.各問の難易度

☆第1問 【確率+極限】確率、極限の最大値(B,25分、Lv.2)

単純な反復試行について、極限を取ってその最大値を求める問題。うまく組み合わせてきたと思います。(2)でつまづくかもしれませんので、やはり差の出る問題でしょう。

 

(1)はただの反復試行です。当たりk回、はずれn-k回が出ればOK。(2)はヒントがある分難易度がかなり下がっていますが、ヒント以外の部分をきれいに整理しないと気づきにくいかと。

整理すると分子はn(n-1)(n-2)(n-3)・・・(n-k+1)、分母は(nー2)が分子と同じ数だけ並びます。残りはkの式なので定数です。この部分が1に収束することに気づけば勝ちです。

 

(3)は(2)が出来れば、比を取って1との大小比較をすることには気づけますね。(Principle Piece A-38  数学A 確率 p.27)

 

※KATSUYAの解答時間14分。(2)はヒントのおかげで難易度下がってる気がするけど、分けた式もけっこういじくって気づけたので、うまく難易度調整してきた感じかな。ヒントないと式を分けることすら気づかなさそうやし、(2)がかなり難しくなるな。

 

☆第2問 【図形と式】重心の軌跡、通過範囲(B、25分、Lv.2)

こちらも設定は単純です。a,tを含む重心の座標の動く範囲を求める問題。文字を2つあり、うまく軌跡と領域の問題にしています。領域の方は通過範囲なのでやはり得意不得意で差がでるでしょう。

(1)は重心の公式にあてはめるだけです。

(2)はa=1を入れますので、tだけが媒介変数になります。tを消去しましてx、yだけの式にしましょう。(Principle Piece II-52  数学II  図形と式 p.47)

(3)も、とりえあずtを消した式を用意することになります。(aを消去でもいいですが、t消去の方がラク)定数aを含む放物線が、a≧1で通過する領域を聞いています。通過領域は解の存在範囲に帰着させるのがいいでしょう。aについての2次方程式をみなし、少なくとも1つがa≧1にある条件となりますね。(Principle Piece II-60  数学II  図形と式 p.62-63)

※KATSUYAの解答時間14分。軌跡と領域を両方聞いてくるのね。パターンに帰着できるので、原則通りにさくっと終了。(3)の境界の一部は(2)の軌跡やし、aだけ制限かけてくるあたりが、通過領域の問題として差がつくようになってる。

☆第3問 【複素数平面】軌跡(反転)(B、25分、Lv.3)

原点を通らない円を描く点zに対し、w=1/zの描く軌跡を求める問題。

一般に、原点を通る円(の原点以外の点)は反転操作で原点を通らない直線に、原点を通らない円は原点を通らない円(一般的には円は一致しない)になります。(知っていても本問の役には立ちません(苦笑))

これが一致するなら、中心がどこにあるかを議論するのが本問の趣旨です。

 

(1)はwの軌跡が欲しいので、w=・・・ではなくz=・・・にしてあてはめます。(Principle Piece III-114  数学III  複素数平面 p.55-56) |1/w-α|=r を変形していくので、かなりの文字計算を強いられます。今年の傾向を総括するかのような抽象的計算ですね。

軌跡はアポロニウス型の式なので、2乗して準平方完成をしていくことになります。(Principle Piece III-113  数学III  複素数平面 p.53-55) が、文字も多めで正か負かも不明なので絶対値を忘れたりと、落とし穴は随所にあります。

(2)は(1)が出来れば、という感じです。中心、半径ともに一致しないといけませんので、それを式にするだけです。||α|^2-r^2|=1となります。絶対値がないと実軸だけになってしまいますので、(1)でミスってもここで気づきたいですね。

 

 

※KATSUYAの解答時間19分。文字計算はもうしょうがない。コツコツやるしかないかな。(2)は中心と半径一致なのでそれを式にして終了。なんかめっちゃ似たような計算、出てなかったっけ?それも北大後期やったような気がするけど(違ったっけか。最近こんなん多いし、どこか忘れた)。今年は最後まで複素数平面はこんな感じか。数値を具体的に入れた記憶がない。個人的には三角関数が絡んだ数値系の方が好きなんやけどな^^;

☆第4問 【微積分総合(グラフ)】積分計算、面積(BC、30分、Lv.2)

双曲線の一部と接線で囲まれた部分の面積を求める問題。面積の積分計算に、g(t)の置き換えが必要となります。置き換えること自体は北大理系受験者なら知っているでしょうが、聞き方にひとひねりありますので、うまく対応させて最後までいきたいところ。なお、 昨年もカテナリー曲線の式(g(t)のこと)出してたみたいですね。

(1)は式の形を見ても、相加相乗がはやいし思いつきやすいでしょう。(Principle Piece II-83  数学II  指数関数・対数関数 p.11) 

(2)は聞き方が意味深ですが、とりあえず計算するだけなら素直にあてはめるだけです。ルートははずれます。実は、x=g(t)とおいたときの置換の仕方をそのまま式に書いただけです。そんなことに気づかなくても出来ますが、(3)を解く際には気づかないと(2)が使えません。普通に置換してみれば「あ、同じ形だ」となるかとは思います。x:1→pとt:0→aの対応だけ説明しておきましょう。「x=pとなるt=aとおく」とか書いておけばそのまま(2)が使えます。

面積の式を書き終わってから、aを出せばOKです。e^a=p±√p^2-1 となると思いますが、逆数e^-aよりも大きいことを説明しないと、p+√p^2-1(プラスの方)と断定できませんので注意。 

※教科書には、置換積分のところで「∫f(g(t))g'(t)dt」という式が公式で載っているはずです。これ自体を覚えても使えませんので、誰も覚えてないと思いますけど^^; その式を書いてくるあたりが、ちょっと意地悪。


※KATSUYAの解答時間17分。お決まりの置換のパターンと判断し、計算含めて止まることなく終了。よくやる計算。(2)の聞き方が^^; (3)やってりゃ気づくとは思うけど。。。

4.対策

前期とほぼ同様の傾向なので、前期のエントリーをご覧ください。今年は前期が難しかった関係で後期がかすんで見えますが、例年は後期の方が難易度が高いです。

分野はここ最近は数IIIの複素数平面、微積分が継続です。数Bが出ていませんが、数AB全般と数IIの領域は頻出。

範囲にとらわれずベクトルや微分などの手法を駆使して求めていくようにしておきたいですね。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

 

 

ちょっと古いですが、北大は良問ですので、東大京大受験生にも、本格的に過去問に入る前の演習にはいいと思います。

 

■他年度の、本大学の入試数学■

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>> 2018年度



■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 確率 (第1問)

★ 数学II 図形と式 (第2問)

★ 数学III 複素数平面 (第3問)

★ 数学III 極限 (第1問)

★ 数学III 微分法の応用 (第4問)

★ 数学III 積分法の応用 (第4問)

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