同志社大学 全学部理系 | 2017年大学入試数学
2017/06/05
●２０１７年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(全学部理系)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１７年 大学入試数学の評価を書いていきます。
２０１７年大学入試（私大）シリーズ。
同志社大学(全学部理系)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。
したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
同志社大学（全学部理系）
（試験時間100分、4問、ハイブリッド型）
※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。
１．全体総評~どれも同等に質が高く、難易度が維持される~
2014年から2年連続難化し、2016年はかなり難しかったですが、今年はほぼ同程度で、難しいセット。昨年は難しいものと取れるものがはっきりしたセットでしたが、今年は第１問を除いて同等に質が高く時間もかかるため、点数を稼ぎにくいセットです。
試験時間100分に対し、
標準回答時間は166分【152分】（←穴埋め考慮）
2016年は157分【133分】（穴埋め考慮）
2015年は120分【108分】（←穴埋め考慮）
２．合格ライン
第１問は今年は確率も比較的ラクです。１０個ありますが、この後の大問を考えると８個以上欲しい。
第２問はキー問題。（３）の体積の計算を合わせられればまずまず。時間をかけてでも正解したい。
第３問は（２）止まりと思われます。（３）は捨ててもいいでしょう。
第４問は、キー問題。（２）までは取りたいが、（３）は気づかないとアウトなので。
第２問、第４問の（３）を両方落とすと厳しいです。時間も厳しいですが、早々にどちらかだけに見切りをつけて、時間をかけて正解できれば合格でしょう６５％ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
第１問（１）・・・【微分法】、指数関数・三角関数、最大・最小、媒介変数表示（AB、20分【12分】、Lv1）
数学IIIの微分を題材とした総合問題です。いろいろやらされますが、１つ１つは傍用問題集のAレベルに近いでしょう最初は微分するだけです。本セットではここは落とせません。
それ以降は、最初がヒントになっています。log x＝cot、log y=sint とおくと x＝e^cost、y＝e^sint となります。これで、ａ，a^2+b^2 はともに微分して増減を調べればOKです。なお、ａだけならー１≦log x≦１をとしても行けます。
増減表はまともに書くとかなり時間がかかります。最小値だけを穴埋めで聞いているので、必要なところだけ書いていきましょう。
最後も媒介変数表示の微分を用いるだけです。
☆第１問（２）・・・【確率】カード、反復試行の確率（B、16分【10分】、Lv.２）
今年の確率まともになりました。昨年はポリアの壺という有名な題材で厳しすぎましたが、今年はちょっと骨がない気もします。
最初のａ＜ｂ＜ｃは基本パターン、積が偶数は「少なくとも１つが偶数」と言えるので余事象です。
（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.14-15）
和が奇数は、「３つとも奇数」「２回偶数、１回奇数」で反復試行の式で計算です。だいたい半分ぐらいのはずです。最後は和が７以下になる確率を、Σ計算を経由してだそうというものです。k＝２～６ なので、たしたほうが早いですね。
なお、こんなことしなくても、重複組み合わせで出せます。普段はこっちでやると思いますので、意図が見抜きにくかったかも？
（ａ，ｂ，ｃが１以上でａ＋b＋c≦７ の組み数）
＝（A,B,C０以上でA+B+C≦４ の組数）
＝（A,B,C,D０以上でA+B+C+D=４ の組み数）
と考えてあとはこちらの原則ですね＾＾
（拙著シリーズ(白) 数学A 集合と場合の数 p.44）
※KATSUYAの解いた感想
（１）はIIIからか。ここにあってもまあまあメンドイしな。「ウ」まではさくっと終了。「エ」はまともに微分か。増減表長いな。→だけ書いて、５／４πで最小と判断してそこだけ計算。（２）の確率、今年は普通の題材か。昨年のポリアの壺しか記憶ないわ。ただの反復試行？いろいろ聞いてるけど、これは基本。最後は、、、Σでやるかこれ。まいっか。重複組み合わせで検算して終了。解答時間６＋４＝１０分。
第２問・・・【微積総合】斜回転体の体積（B、40分、Lv.２）
斜め回転体の問題です。パターン問題ではありあますがもともと手順や計算量が多いタイプで、本問は係数が比較的ややこしいので計算にかなり時間がかかると思われます。
斜め回転の基本は、こちらの原則です。
（拙著シリーズ(白) 数学III 積分法の応用 p.43）
本問では、軸の「t」を「x」で表すのではなく、「x」を「t」で表せ、ということなので、変数変換せずに「t」で統一して積分しなさい、ということです。
半径PQは、x座標の差を√２倍すればOKです。どうせ２乗するので、距離公式を使ってもいいです。展開式は項が多く、計算量はかなり多めです。t√４－２t の積分は、√４－２t を置き換えましょう。
（拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.10-13）
なお、t＝ー（４－２t）／２＋２と変えれば、（４－２t）^3/2 と （４－２t）^1/2 だけの積分にでき、置換せずとも計算可能ですが、いずれにしろかなり大変です。
※KATSUYAの解いた感想
斜回転ってことかな。（１）は積分区間の回り込みを避けたいから、そうでない部分まで積分するってことね。（２）は「t」と「x」の関係を出す流れ。普段と逆やな。（３）（２）でxをtにしたから、置換せずに t のまま進めってことやな。PQ^2をtで表す。x座標の差を√２倍した方がいいな。項が多い。これ積分すんの結構メンドくさいな(- -;) 検算のしようもないので、落ち着いてゆっくりやって終了。解答時間26分。
☆第３問・・・【平面ベクトル】２円上の点、ベクトルで表された式の最大値条件（C、50分、Lv.3）
円と題材にした、平面ベクトルです。定点Aおよび２つの円周上の動点P,Qについて、「f」の値（内積の2倍）の最大値を考えるというものです。同志社理系はベクトルをよく出すので対策をしているかとは思いますが、みかけよりもずっと難しく、（３）は歯が立たない人も多かったと思われます。
（１）はいいでしょう。C2上の点Qは（２cosθー１、２sinθ＋１）とおけます。円周上の点なのでここは気づけますね。「f」の式は内積の2倍で、sin、cosの１次式になりますので、合成です。
（拙著シリーズ(白) 数学II 三角関数 p.44-45）
（２）はいまいち関わりがなさそうな設問ですが、出すことはできるでしょう。C2に接する、傾きー２の直線との接点を出せ、という問題です。dとrの関係では接点は出せないので、y＝ー２x＋k との連立方程式でD=0とした方が賢明でしょう。
なお、重解を持つなら解はx＝ー（１次の係数）／２×（2次の係数）です。（公式ですよ！！）まともにkを代入して因数分解しようとするのは、本問ではかなりキツイと思われます。
（３）は、まず（２）の答えの１つが、（１）のときと一致していることに気づくことが第一段階です。これを一般化するとどうなるか（なぜそのようなときが最大なのか）を説明する必要があります。内積の定義やその図形的意味に戻ることで説明ができますが、正射影の考え方なども入るので、かなり難しいと思われます。（拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル のp21-22にて、説明があります＾＾）
細かい説明は省略しますが、最大となる点というのは、その点のC2にける接線がAPに垂直となるときです。それが０となるというのは、その垂線の足がAに一致するときと解釈すればOKですね。
求めるときは逆にたどればいいでしょう。Aを通るC2の接線（２本ある）を出します。それぞれの接線に垂直でAを通る直線とC1の交点が、求めるPです。片方はC１と共有点がないです。もう片方（y＝ー２）との共有点が答えですね。
なお、一般的にP,Ｑを両方sin、cosでおいて（角度は２つ変数があります）、「f」を2変数三角関数とみなして、その最大値として計算しても出来ることはできます。（１）のように、先にPの方を固定しましょう。
Pを固定したときの式の最大値を、（１）と同様に合成で表し、今度はその式の最大値が０になるようにPの位置を決めればいいわけですね＾＾
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
円絡みのベクトルは難しい予感がする。式は内積の２倍ってことやな。Qを媒介変数で表示すれば合成できるか。（２）は何のためにある？とりあえず出すだけならただの図形の問題。座標は図形的に解決。（１）と同じ点入ってるな。これが（３）につながるってことか。最大値が０、、、そもそも最大になるのが、なんで（２）のようなときなのか。正射影で図形的に意味を考え、納得したので一般化して説明。上記の通りに計算して終了。説明もいるし、接線の計算も割と長いな。しんどかった。解答時間35分。
☆第４問・・・【数列】漸化式、数学的帰納法（BC、40分、Lv.３）
最後は数列です。全部で３つの数列がありますが、（１）と（２）はan、bnだけが題材です。（１）は出すだけなのでOKでしょう。（２）は（１）とは特に関係がなく、かつ問題の指定通り帰納法で解決できます。指定がなくても、帰納法であると気づきたいですね＾＾
（拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.50-57）
（３）は、cnに関する証明です。こちらもnに関する証明なので帰納法ですが、整数であることを直接証明するとすぐ手詰まりになります。（２）で（１）を使っていないことから、（３）で（１）が関係あると判断出来ると、cnをいくつか求めみよう、となると思います。よくわからないときは小さい数字で試す、というのは数学の基本ですね＾＾
実際に求めてみると、c１、c２、c３、・・・がa1b1、a2b1、a2b2、・・・が一致すると分かりますので、これで結果が推測できましたので、帰納法でいけそうです。k→k＋１にするときに、（２）が使えます。
偶数の時、奇数の時を同時に証明しましょう。n＝kからn＝k＋１にするときに、奇数のときは仮定だけで証明できますが、偶数のときは、その奇数の結果を使います。同時に証明した方がいいでしょう。
※ＫＡＴＳＵＹＡの解いた感想
最後は数列か。（１）は計算するだけ。（２）は帰納法。3項間やからオトトイ法？いや、普通に１つだけ仮定すればk＋２の項が出るからいけるな。（３）は（２）と結びつかないな。an,bnとの関わりもよくわからず、しばらく思考。（１）使ってないな。これに関係あるかな。とりあえず出してみて気づき、推測して帰納法で終了。もっと早く試せばよかったか・・・。面白い数列やな。 解答時間26分。
４．対策~数IIIの微積分は質の高い演習を~
昔は４題中３題は数学IIIでしたが、ここ２年はIIIの割合が少し下がりました。それでも微積分は必ず１題以上（１題＋小問、ｏｒ２題）の割合で出題されます。残りは確率、ベクトル、数列のようです。数学A、数学B、数学III という感じですね。
とにかく全体的に計算量が多いので、解答する途中で多少ややこしい計算が入ったとしても、折れずに答案を書きながら計算をしていく訓練をする必要があります。最近は質の高い問題が多く、入試標準演習の段階、高得点を狙うなら仕上げ段階にも手をつけたいです。
青チャートの例題は全て頭に入っていることは前提で、入試問題集にはやくからあたりましょう。IIIの例題は、計算過程がメンドくさいもの（今年なら斜回転体の計算など）でもサクサク手が動くように、同じ問題を繰り返し演習しましょう。
以上です。
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■関連する拙著シリーズ■
★ 数学A 確率 (第１問（２）)
★ 数学III 微分法の応用 (第１問（１）)
★ 数学B ベクトル (第３問)
★ 数学B 数列 (第４問)
★ 数学III 積分法 (第２問)
★ 数学III 積分法の応用 (第２問)
★ 計算０．９【IAIIB】 (計算練習帳です)
