同志社大学 全学部理系 | 2017年大学入試数学

   

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●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は同志社大学(全学部理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2017年大学入試(私大)シリーズ。

同志社大学(全学部理系)です。




問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。



同志社大学(全学部理系)

(試験時間100分、4問、ハイブリッド型)

※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。

1.全体総評~どれも同等に質が高く、難易度が維持される~

2014年から2年連続難化し、2016年はかなり難しかったですが、今年はほぼ同程度で、難しいセット。昨年は難しいものと取れるものがはっきりしたセットでしたが、今年は第1問を除いて同等に質が高く時間もかかるため、点数を稼ぎにくいセットです。



試験時間100分に対し、
標準回答時間は166分【152分】(←穴埋め考慮)

2016年は157分【133分】(穴埋め考慮)

2015年は120分【108分】(←穴埋め考慮)

 

2.合格ライン

第1問は今年は確率も比較的ラクです。10個ありますが、この後の大問を考えると8個以上欲しい。
第2問はキー問題。(3)の体積の計算を合わせられればまずまず。時間をかけてでも正解したい。
第3問は(2)止まりと思われます。(3)は捨ててもいいでしょう。
第4問は、キー問題。(2)までは取りたいが、(3)は気づかないとアウトなので。



第2問、第4問の(3)を両方落とすと厳しいです。時間も厳しいですが、早々にどちらかだけに見切りをつけて、時間をかけて正解できれば合格でしょう65%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

第1問(1)・・・【微分法】、指数関数・三角関数、最大・最小、媒介変数表示(AB、20分【12分】、Lv1)

数学IIIの微分を題材とした総合問題です。いろいろやらされますが、1つ1つは傍用問題集のAレベルに近いでしょう最初は微分するだけです。本セットではここは落とせません。

それ以降は、最初がヒントになっています。log x=cot、log y=sint とおくと x=e^cost、y=e^sint となります。これで、a,a^2+b^2 はともに微分して増減を調べればOKです。なお、aだけならー1≦log x≦1をとしても行けます。

増減表はまともに書くとかなり時間がかかります。最小値だけを穴埋めで聞いているので、必要なところだけ書いていきましょう。

最後も媒介変数表示の微分を用いるだけです。

☆第1問(2)・・・【確率】カード、反復試行の確率(B、16分【10分】、Lv.2)

今年の確率まともになりました。昨年はポリアの壺という有名な題材で厳しすぎましたが、今年はちょっと骨がない気もします。

最初のa<b<cは基本パターン、積が偶数は「少なくとも1つが偶数」と言えるので余事象です。

Principle Piece A-31

 積が●の倍数 → 余事象で考える

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.14-15)

 

和が奇数は、「3つとも奇数」「2回偶数、1回奇数」で反復試行の式で計算です。だいたい半分ぐらいのはずです。最後は和が7以下になる確率を、Σ計算を経由してだそうというものです。k=2~6 なので、たしたほうが早いですね。

なお、こんなことしなくても、重複組み合わせで出せます。普段はこっちでやると思いますので、意図が見抜きにくかったかも?

(a,b,cが1以上でa+b+c≦7 の組み数)

=(A,B,C0以上でA+B+C≦4 の組数)

=(A,B,C,D0以上でA+B+C+D=4 の組み数)

と考えてあとはこちらの原則ですね^^

 

Principle Piece A-19

 重複組み合わせは○と仕切りで考える

(拙著シリーズ(白) 数学A 集合と場合の数 p.44)

 

※KATSUYAの解いた感想
(1)はIIIからか。ここにあってもまあまあメンドイしな。「ウ」まではさくっと終了。「エ」はまともに微分か。増減表長いな。→だけ書いて、5/4πで最小と判断してそこだけ計算。(2)の確率、今年は普通の題材か。昨年のポリアの壺しか記憶ないわ。ただの反復試行?いろいろ聞いてるけど、これは基本。最後は、、、Σでやるかこれ。まいっか。重複組み合わせで検算して終了。解答時間6+4=10分。

 

第2問・・・【微積総合】斜回転体の体積(B、40分、Lv.2)

斜め回転体の問題です。パターン問題ではありあますがもともと手順や計算量が多いタイプで、本問は係数が比較的ややこしいので計算にかなり時間がかかると思われます。

斜め回転の基本は、こちらの原則です。

Principle Piece III-80

 斜め回転体の求め方

 [1] 基本形は ∫π(半径)^2 d(軸)

   [2] 軸、半径をともにx座標にかえて置換積分

(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法の応用 p.43)

 

本問では、軸の「t」を「x」で表すのではなく、「x」を「t」で表せ、ということなので、変数変換せずに「t」で統一して積分しなさい、ということです。

半径PQは、x座標の差を√2倍すればOKです。どうせ2乗するので、距離公式を使ってもいいです。展開式は項が多く、計算量はかなり多めです。t√4-2t の積分は、√4-2t を置き換えましょう。

Principle Piece III-47

 √ax+b を含む積分 → 中身、または√ ごと置換する

 

(拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.10-13)

なお、t=ー(4-2t)/2+2と変えれば、(4-2t)^3/2 と (4-2t)^1/2 だけの積分にでき、置換せずとも計算可能ですが、いずれにしろかなり大変です。

 

※KATSUYAの解いた感想
斜回転ってことかな。(1)は積分区間の回り込みを避けたいから、そうでない部分まで積分するってことね。(2)は「t」と「x」の関係を出す流れ。普段と逆やな。(3)(2)でxをtにしたから、置換せずに t のまま進めってことやな。PQ^2をtで表す。x座標の差を√2倍した方がいいな。項が多い。これ積分すんの結構メンドくさいな(- -;)   検算のしようもないので、落ち着いてゆっくりやって終了。解答時間26分。

 

☆第3問・・・【平面ベクトル】2円上の点、ベクトルで表された式の最大値条件(C、50分、Lv.3)

円と題材にした、平面ベクトルです。定点Aおよび2つの円周上の動点P,Qについて、「f」の値(内積の2倍)の最大値を考えるというものです。同志社理系はベクトルをよく出すので対策をしているかとは思いますが、みかけよりもずっと難しく、(3)は歯が立たない人も多かったと思われます。

(1)はいいでしょう。C2上の点Qは(2cosθー1、2sinθ+1)とおけます。円周上の点なのでここは気づけますね。「f」の式は内積の2倍で、sin、cosの1次式になりますので、合成です。

 

Principle Piece II-70

合成の3条件 角度が一致 種類が違う 1次である

(拙著シリーズ(白) 数学II 三角関数 p.44-45)


(2)はいまいち関わりがなさそうな設問ですが、出すことはできるでしょう。C2に接する、傾きー2の直線との接点を出せ、という問題です。dとrの関係では接点は出せないので、y=ー2x+k との連立方程式でD=0とした方が賢明でしょう。

なお、重解を持つなら解はx=ー(1次の係数)/2×(2次の係数)です。(公式ですよ!!)まともにkを代入して因数分解しようとするのは、本問ではかなりキツイと思われます。

(3)は、まず(2)の答えの1つが、(1)のときと一致していることに気づくことが第一段階です。これを一般化するとどうなるか(なぜそのようなときが最大なのか)を説明する必要があります。内積の定義やその図形的意味に戻ることで説明ができますが、正射影の考え方なども入るので、かなり難しいと思われます。(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル のp21-22にて、説明があります^^)

細かい説明は省略しますが、最大となる点というのは、その点のC2にける接線がAPに垂直となるときです。それが0となるというのは、その垂線の足がAに一致するときと解釈すればOKですね。

求めるときは逆にたどればいいでしょう。Aを通るC2の接線(2本ある)を出します。それぞれの接線に垂直でAを通る直線とC1の交点が、求めるPです。片方はC1と共有点がないです。もう片方(y=ー2)との共有点が答えですね。

 


なお、一般的にP,Qを両方sin、cosでおいて(角度は2つ変数があります)、「f」を2変数三角関数とみなして、その最大値として計算しても出来ることはできます。(1)のように、先に
Pの方を固定しましょう。

 ULTIMATE Principle Piece

2つが動く 1つを固定する

Pを固定したときの式の最大値を、(1)と同様に合成で表し、今度はその式の最大値が0になるようにPの位置を決めればいいわけですね^^

 

※KATSUYAの解いた感想
円絡みのベクトルは難しい予感がする。式は内積の2倍ってことやな。Qを媒介変数で表示すれば合成できるか。(2)は何のためにある?とりあえず出すだけならただの図形の問題。座標は図形的に解決。(1)と同じ点入ってるな。これが(3)につながるってことか。最大値が0、、、そもそも最大になるのが、なんで(2)のようなときなのか。正射影で図形的に意味を考え、納得したので一般化して説明。上記の通りに計算して終了。説明もいるし、接線の計算も割と長いな。しんどかった。解答時間35分。

 

☆第4問・・・【数列】漸化式、数学的帰納法(BC、40分、Lv.3)

最後は数列です。全部で3つの数列がありますが、(1)と(2)はan、bnだけが題材です。(1)は出すだけなのでOKでしょう。(2)は(1)とは特に関係がなく、かつ問題の指定通り帰納法で解決できます。指定がなくても、帰納法であると気づきたいですね^^

 

Principle Piece B-23

 帰納法は [1]nに関する証明 [2] 結果が分かる(推測できる) 場合に有効

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.50-57)

(3)は、cnに関する証明です。こちらもnに関する証明なので帰納法ですが、整数であることを直接証明するとすぐ手詰まりになります。(2)で(1)を使っていないことから、(3)で(1)が関係あると判断出来ると、cnをいくつか求めみよう、となると思います。よくわからないときは小さい数字で試す、というのは数学の基本ですね^^

実際に求めてみると、c1、c2、c3、・・・がa1b1、a2b1、a2b2、・・・が一致すると分かりますので、これで結果が推測できましたので、帰納法でいけそうです。k→k+1にするときに、(2)が使えます。

偶数の時、奇数の時を同時に証明しましょう。n=kからn=k+1にするときに、奇数のときは仮定だけで証明できますが、偶数のときは、その奇数の結果を使います。同時に証明した方がいいでしょう。

 

※KATSUYAの解いた感想
最後は数列か。(1)は計算するだけ。(2)は帰納法。3項間やからオトトイ法?いや、普通に1つだけ仮定すればk+2の項が出るからいけるな。(3)は(2)と結びつかないな。an,bnとの関わりもよくわからず、しばらく思考。(1)使ってないな。これに関係あるかな。とりあえず出してみて気づき、推測して帰納法で終了。もっと早く試せばよかったか・・・。面白い数列やな。 解答時間26分。

 

4.対策~数IIIの微積分は質の高い演習を~

昔は4題中3題は数学IIIでしたが、ここ2年はIIIの割合が少し下がりました。それでも微積分は必ず1題以上(1題+小問、or2題)の割合で出題されます。残りは確率、ベクトル、数列のようです。数学A、数学B、数学III という感じですね。

とにかく全体的に計算量が多いので、解答する途中で多少ややこしい計算が入ったとしても、折れずに答案を書きながら計算をしていく訓練をする必要があります。最近は質の高い問題が多く、入試標準演習の段階、高得点を狙うなら仕上げ段階にも手をつけたいです。

青チャートの例題は全て頭に入っていることは前提で、入試問題集にはやくからあたりましょう。IIIの例題は、計算過程がメンドくさいもの(今年なら斜回転体の計算など)でもサクサク手が動くように、同じ問題を繰り返し演習しましょう。

以上です。

 

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■関連する拙著シリーズ■


★ 数学A 確率 (第1問(2))

★ 数学III 微分法の応用 (第1問(1))

★ 数学B ベクトル (第3問)

★ 数学B 数列 (第4問)

★ 数学III 積分法 (第2問)

★ 数学III 積分法の応用 (第2問)

★ 計算0.9【IAIIB】 (計算練習帳です)

 

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