名古屋大学理系 | 2018年大学入試数学

2018/03/01

●２０１８年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１８年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１８年大学入試（国公立）シリーズ。
名古屋大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

名古屋大学（理系）
（試験時間150分、４問、記述式）

１．全体総評～例年に比べると全体的に手をつけやすい～

今年はおとなしくなりました。本大学は４問しかない分、１問あたりがかなり重めの問題が並びますが、今年は計算量もそこまで膨大なものはなく、例年に比べると手をつけやすいセットだったと思います。分野は数学IIIの微積で2問、整数、確率(漸化式)でやはり頻出分野。誘導もあるので、最後まで行きやすいし、途中までで点数も稼ぎやすいしで、点数は伸びやすいと思います。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は125分。過去平均を考えるとかなり短いと思います。

（過去8年間平均：148.8分、）

2017年：160分

2016年：200分(4番を捨てれば80分で済むが)
2015年：145分
2014年：140分
2013年：135分
2012年：150分
2011年：125分
2010年：135分

２．合格ライン

第１問は本学受験者なら典型問題として抜けたい。（４）が誘導なしだとちょっとツライ？

第２問は創作問題で良問。意外と（１）とかで差が出そう。（２）は以降は（１）を受け入れて解けばいけるはず。

第３問も（２）までは行けるはず。（３）も、（１）（２）まで誘導があれば取れそう。

第４問は確率と漸化式。状態が多いので少し難し目だが、本学頻出のタイプなので、最後までいけるか。

第１問（３）（４）、第２問（１）、第３問（３）、第４問（３）（４）　この６問のうち２、3問を確保。残りをミスせず確保すればボーダーに届くかと。　65％ぐらい今年は欲しいですね。

３．各問の難易度

第１問・・・【積分法(数式)】定積分と漸化式、級数、極限（B,30分、Lv.3）

級数の値と定積分を結びつけるタイプの問題です。log 2系かπ／４系が頻出ですが、本問は前者です。

本問は漸化式ですが、部分積分をする必要がないタイプです。

（１）は実はそのまま計算すると、分母の１＋x＾２が消えますので、簡単に積分可能です。

（２）はよくあるパターンで、関数の大小からそのまま積分記号をつけていけばOKでしょう。

（３）は少し難しいでしょうか。In+I_n+2≦2In≦In+I_n-2　と、ずらす方向を変えることでハサミ打ちが使えます。

（４）はチャートなどにも掲載されているタイプなのですが、ほぼノーヒントでの出題で、このレベルがノーヒントだと、名大理系受験者でも差がつくかもです。どこかのタイミングで詳しくまとめてみたいとは思いますが、体系立てて覚えておけばどのように聞かれても余裕です。

極限を取るΣの値である1/2、1/4、1/6、・・・・は数値になっていますが、これはすでに０～１まで積分されて出た数値です。これを敢えて、どんな関数を０～１で積分したものか（Σ∫：シグマインテと覚えましょう）に書き換えます。

その被積分関数が等比数列になっているパターンがほとんどですので、等比数列の公式を使うとInの形が見えてくる、という流れですね。

綺麗にまとめて、原則に追加したいですね～

（拙著シリーズ(白) 数学III 積分法 p.71にほぼ同じ題材の問題はあるのですが、原則化してないですね）

※KATSUYAの解答時間12分。典型パターンなので手が止まることなく行けました。

☆第２問・・・【微分法の応用】指数関数と対数関数の交点（BC、30分、Lv.２）

指数関数と対数関数の共有点です。共有点を求める上では決して相性のいい関数とは言い難いですが、底が同じなので逆関数の性質をうまく使って出せるようになっています。良問ですね。

（１）は、逆関数だから当たり前だろ、という感じかもしれませんが、意外と難しいです。y＝x上以外の点は、xとyに大小関係があります。これと、関数の単調性をうまく使うと議論できます。

（２）以降は（１）を利用すればOKです。「y＝log_ax」と、「y＝x」の共有点で議論すればいいことになります。f(x)=log ax-x　などと設定して増減を調べるのがいいかと思います。

（３）は（２）で、極値がちょうど０になる場合として計算をすると出ます。

※KATSUYAの解解答時間18分。（１）をどう説明するのかを一番考えました。

☆第３問・・・【整数】素数絡みの式と余り（BC、30分、Lv.２）

素数乗した式の特徴に関する問題と言えます。

（１）は名大受験者であればパターンでしょう。二項係数の端っこ以外の、pCk(k=1,2,・・・p-1)　は、全てpの素因数が残りますので、pで割り切れますね。（２）も二項展開で解決できます。ここまではすんなり行けそう

（３）は、（１）でb＝２を代入したものと（２）を利用すると、2^pを2pで割った余りを求めればいいと分かります。p=2のときと、そうでないときに場合分けしましょう。再度二項展開を利用するとうまくいきます。

発想よりの問題にはなりますが、普段より誘導が分かりやすい気がします。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間15分。

第４問・・・【確率と漸化式】正方形の頂点を動く2点（C、35分、Lv.２）

今年も確率と漸化式が登場しました。今年は状況の種類が多めなので、慎重に整理する必要がありそうです。（１）はむしろ親切心の表れと言えます。これのおかげて、どのような状況が有り得るのかが整理できます。

「P,Qが同じ点」「P,Qが違う点で同じ正方形」「P,Qが違う点で正方形も違う」　この３つですね。後半の２つを合わせてpｎ、別々にしたものがan、bnとなります。細かく分けてあるanとbnで議論をすすめる方がやりやすいでしょう。

先に（３）の遷移図を作ってしまえば、（２）も一気に解けます。

Principle Piece A-40

n回目とn+1回目を詳しく見る

（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39～43）

今年も、文字は問題文で置いてくれていますので、設定されていますので、こちらは意識しなくていいでしょう。

Principle Piece A-41

必要のない部分も文字で置く

（拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39～43）

連立漸化式の一般項を出す必要はなく、足したものであるpnの評価をすることになります。係数を見て不等式をつくるだけで、簡単に示すことができましたが、これに気づけたかどうかですね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間16分。（１）のおかげで強制的に整理できましたので、後は楽でした。今年は誘導が親切でしたね。

４．対策

頻出分野は微積、確率(漸化式と絡むことが多い)、整数の論証系です。どれも計算量もあり、かつ発想もある程度必要なものが多いです。出題分野も似ている東大レベルで練習を積んでおいてもいいぐらいでしょう。

BレベルとCレベルが５部５部ぐらいで出題されます。Bレベルを落とさないことを最優先に、さらに上のせしていきましょう。Cレベル以上を意識しすぎると、逆効果。Cレベルは、３割とれればいい、ぐらいの気持ちでいるほうがいいでしょう。それよりも、D以上を嗅ぎ分ける能力が本学では必要で、今年の第４問のようなものを、避けられることも重要。過去問で嗅ぎ分けの練習をしましょう。

最終段階では、仕上げ段階まで行っておきたいですが、ここまで行ったとしても点数につながらない問題も出るかもしれません。本学の場合、他の科目を犠牲にしてまで数学に時間を取られることのないようにしましょう。合計で合格すればいいのです。

単科長年タイプの過去問もありますので、ある程度のレベルに達したと感じたら、これに絞って研究するのもいいかもしれません。

※名大理系数学は大竹先生が書いておられます。私も高校生のときにご指導いただいた先生で、個人的には非常にオススメです。