早稲田大学教育学部 | 2018年大学入試数学

2018/02/22 2018/07/01

●２０１８年度大学入試数学評価を書いていきます。今回早稲田大学(教育学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１８年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１８年大学入試（私大）シリーズ。
早稲田大学(教育学部：理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

早稲田大学（教育学部：理系）
（試験時間120分、4問、記述式、一部答えのみ）

１．全体総評～２年連続で難化。点数に結びつきにくい～

２連続で難化です。第１問は例年通り油断できない難易度で、今年はさらにここが難化した印象。第３問も複素数平面と極限絡み、ノーヒントのため方針がたちにくく、第４問も最後は発想か計算力が必要。第２問が最もマシですが、抽象的論証で差はつきそうで、全体的に点数が非常にとりづらいです。４割切る可能性が全然あるセット。

試験時間120分に対し、
標準回答時間は174分【142分】（←答えのみを考慮）　第１問の小問で時間を取られそうです。

2016年：152分【131分】

2016年：128分【117分】

2015年：127分【107分】（答えのみを考慮）

2014年：165分

２．合格ライン

第１問（１）（２）は押さえたい。（３）は難しい。（４）はキー問題。答えだけなら答えられるか。
第２問は決して簡単ではないが、全体のセットを考えると抑えないと厳しい。
第３問は（１）だけで止まる可能性が高いか。（２）は方針が立ちづらい。
第４問は（２）までは計算なので押さえる。（３）は発想が必要。

５５％ぐらいでも十分かと思われます。

３．各問の難易度

第１問（１）・・・【複素数と方程式】３次関数の決定（A,9分【6分】、Lv.１）

最初は穏やかです。３次関数なので係数おいて、条件式を入れます。複素数を代入するなら、実部、虚部ともに等しいので、４つの等式が出来ますから、係数は全て決まります。

f(1+2i)＝４で実数なので、f(1-2i)＝４も用いて、f(x)＝(ax+b)(1+2i)(1-2i)+4　とすると文字が減ります。共役解の利用ですね＾＾

Principle Piece II-27

高次方程式の解の情報に関する問題　共役解の利用も

（拙著シリーズ数学II 複素数と方程式 p.34）

第１問（２）・・・【図形と式】放物線との距離（AB,10分【６分】、Lv.２）

放物線上の点との距離で、点を（t,t^2）とおけばすぐにt^2の2次式とわかります。０で最小値ということは、軸が０以下ならOKということです。

なお、これは円と放物線が「原点のみで接する」か「放物線上の２点で接する」かの境目にもなります。距離＝半径と考えればわかりますね。

☆第１問（３）・・・【確率＋数列】ランダムウォーク（CD,35分【25分】、Lv.3）

ランダムウォークの問題ですが、漸化式を用いて解きます。破産の確率などとも言われる場合にもなります。（Aが１万円、Bが４万円持っていて、１／３でA→Bに１万円、2／3でB→Aに１万円、Bが破産する確率は？　と同じ）

この手のタイプは漸化式で解くことになりますが、以下の２点を知っていないとまず無理です。

始まる点を「n」としてnに関する漸化式をつくること。（3項間漸化式）
p0とp1の値ではなく、本問であればp0=0とp5=1　を用いること。

まず、点１から始めると書いているのに、点「n」から始めるという発想はかなりきついですね。また、３項間は普通最初の２項が与えられると出来ますが、そもそもp１がすぐ出せるなら答えになってしまいます。両端条件で漸化式と特定することになります。こちらも経験が必要です。

漸化式はn、n-1の他にn+1も必要なことは分かるかと思います。

Principle Piece A-41

n回目とn+1回目を詳しく見る

（拙著シリーズ数学A 確率 p.39-43）

演習経験の可能性が低いことを考えると、これは出来なくても仕方ないかと思います。

☆第１問（４）・・・【極限、面積】円と指数関数で囲まれる部分の面積の極限（B,25分【10分】、Lv.2）

面積と極限の問題です。円と指数関数では交点を正確に求めるのは難しいですので、評価をすることになります。答えだけなので、これは１／４円（左上の部分）と分かったとは思います。

記述としては、１／４からはみ出た部分や足りない部分が、ａ→∞で０になることを示せばOK。いい練習問題になると思いますので、記述としてもやってみましょう。

第２問・・・【ベクトル】円に内接する四角形、長方形の条件（B、25分、Lv.2）

円に内接する四角形が特定の条件を満たすときに、長方形になることを示す問題です。（１）があるおかげで穏やかにはなっていると思いますが、抽象的な論証なので差はつきそうです。

（１）は大きさの話なので、絶対値をつけて2乗すればOK。移項して整理すれば因数分解出来ます。内積＝０なので、垂直になる場合と、ベクトル自体が０ベクトルになる場合があります。

（２）は（１）を用いるだけです。（１）は「または」なので、有り得る場合を丁寧に場合分けして、どの場合も長方形になることを確認しましょう。

☆第３問・・・【複素数平面＋極限】複素数のn乗の極限値（D、４０分、Lv.MAX）

複素数平面からの出題ですが、情報が少なすぎて何をすればいいのかよく分からかった人も多いと思います。使う極限はヒントに与えられていますが、それでも両方得点するのは難しいです。

（１）は絶対値の極限です。e絡みの極限になるように形を合わせましょう。

Principle Piece III-26

指数・対数の極限は基本形４パターンの形にムリヤリ持っていく

（拙著シリーズ数学III 微分法 p.22-23　※式は割愛）

すると、n乗根の形になりますので、「＜３」の不等式でハサミ打ちにしましょう。

（２）は発想力が必要。（１）で絶対値が１に収束するとわかったので、偏角の極限さえ分かればいいです。tanθ＝1/n　となり、n乗の偏角nθがn→∞で１になることが分かればOK。三角関数の極限の形が使えます。

Principle Piece III-18

三角関数の極限は２つの基本パターンの式にムリヤリ持っていく

（拙著シリーズ数学III 極限 p.40-41）

なお、高校の範囲を超えますが、実数と同じように考えれば極限がe^i　（指数に複素数ｉが入っている）となります。また、オイラーの公式を使えばe^i=cos1＋i sin1　となりますので、答だけなら予想が付きます。このような知識も持っておくに越したことはないですね。

第４問・・・【積分法の応用】接線、弧長など（C、30分、Lv.２）

２つの曲線の弧長を比べる問題です。（２）まではただの計算ですが、（３）は気づいたかどうかが勝負の分かれ目です。

（１）は接線出して交点出して終了、（２）も弧長の公式で積分するだけです。（３）は（１）と（２）を利用したいところで、おそらくC2の弧長＞●＞C1の弧長となるような間のものが（１）の線分なのでしょうが、これだけでは短すぎます。（１）の線分に、原点までの線分も加えたものが間に入ることになります。

なお、もしこのことに気づかなくても、C2の弧長は√１＋x^2　型の積分で、ノーヒントでは厳しいものがありますが、出そうと思えば出せます。

４．対策

第１問の基本を落とさないために、青チャートレベルをしっかり定着させておきましょう。スピードも必要です。

癖が特別強いわけではないので、第１志望でない人は、他の２次の対策をしておけばOKでしょう。理工学部と難易度は似ています。数学IIIまで早めに１ラウンド終わらせて、夏までには入試演習に入り、入試標準演習レベルまでは最低やってから過去問に入りたいところです。数学で得点したいなら、仕上げ段階までやってもいいでしょう。

なお、分野として複素数平面は２年連続で出題なので、要注意分野と思っておいたほうがいいでしょう。

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでしょう。

以上です＾＾