名古屋大学 理系 | 2016年大学入試数学

      2017/02/24

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●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2016年大学入試(国公立)シリーズ。
名古屋大学(理系)です。

 

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。



また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





名古屋大学(理系)
(試験時間150分、4問、記述式)

 

1.全体総評~易化だが、大物論証が顔を出す~

昨年より易化。どうにも手のつけづらい問題のオンパレードだった昨年に比べると、今年は改めたのか、割と落ち着いたセットです。ただし、第4問は大物論証で捨て問確定。第1問~第3問を、満点に近い形で確保することに終始するセットになったかと思われます。数学IIIからはあまり出ださいされず、計算量が少なめ。


試験時間150分に対し、
標準回答時間は200分。時間が大幅に増えましたが、第4問を考えるなら、という意味なので、難化してはいません。

2015年:145分
2014年:140分
2013年:135分
2012年:150分
2011年:125分
2010年:135分

 

2.合格ライン

第1問~第3問で時間をかけておさえ、第4問は残った時間で触っておく。これに限ると思いますので、逆に差がつきにくいような気がしますが、第1、2問は意外と差がつくでしょう。確率はたぶん一番マシ。


点数的には出やすく、65%ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

第1問・・・【図形と式、2次関数】垂直条件、点の存在条件(B,25分、Lv2)

設定は図形ですが、数式に変換した段階で、2次関数の問題になります。2次方程式がー2<t<bの範囲にあるように定める、というものです。1解持つ場合と、2解持つ場合に分ければいけます。

ただし、解の両端であるt=ー2、t=b に解の1方が来るときは要注意。別途調査しておきましょう。

 

Principle Piece I-32

解の存在範囲の問題はグラフで考察

(拙著シリーズ(白) 数学I 2次関数 p.44(詳細は割愛))

※KATSUYAの解いた感想
名大はある意味、とき始めるときに東大より構えてしまう^^; お、今年は割と手がつけやすい問題が入っている。まずは安心、ってとこかな。解答時間14分。

☆第2問・・・【三角関数+微分法】三角形の面積の最大値(B、30分、Lv.2)

2つ円周上をそれぞれP,Qが動くときの三角形の最大値を求める問題で、誘導があるのでそれに従えばOKでしょう。

サイクロイドのときみたいに、円周上にある点はベクトルでたどるといいでしょう。まず中心まで、そこからは(Acos●、Asin●)の形です。そうすれば、●を調べることに焦点を当てればいいわけです^^

Principle Piece III-28

サイクロイド型 → 角度を設定し、ベクトルでたどる

(拙著シリーズ(白) 数学III 微分法 p.29-30)

(2)はOPと平行な接線と円Dとの接点となるときです。(1)同様に、●を調査してうまく座標を出しましょう。

(3)は、2点が動くので、1点固定です。そのために(1)と(2)があります。(2)で予選は通過していますので、最後にθを動かして最大値を出しましょう。

ULTIMATE Principle Piece 

2点が動くなら1点固定でオーディション形式

 

微分はたいしたことありませんね。角度は出ませんが、角度は不要です。欲しいのは、sinとcosです。

※KATSUYAの解いた感想
円2つと、点2つ。円Dでかいな^^; (1)は楽勝。(2)はOPと平行な接線を引引けばいいな。中心に引けば垂直やから角度は簡単に出そう。(3)はまず面積を求める、1/2|ad-bc|使っていいよな。ここがメインではないでしょ。あとは微分して終了。解答時間18分。

☆第3問・・・【数列+確率】確率と漸化式、2袋の球の入れ替え(B、25分、Lv.2)

典型的な確率と漸化式のパターンです。なんでこんなに旧7帝大はこのタイプが好きなんでしょう^^;

本問は遷移がそこまで複雑ではないので、こちらの原則で確実に溶けたと思います。3点セットの原則を知っている人には、ほぼサービス問題ですね^^

Principle Piece A-40

n回目とn+1回目を詳しく見る

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39~43)

先にAに球を入れるので、Aは3個になっています。同時に入れ替えるわけではないので、注意。

 

Principle Piece A-41

必要のない部分も文字で置く

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39~43)


本問は、そもそも全部出さないといけないので、置いてありますね。


Principle Piece A-42

対称性や、足すと1になることも忘れずに

(拙著シリーズ(白) 数学A 確率 p.39~43)

 

今回は対称性を使えば、遷移図の確率の数字が対称になることがわかります。また、足すと1になるというのは、今回の要で、Pn(1)が必ず2/3となることにつながります。これに気づくと、残りの漸化式がはただの4型ですね^^

 

Principle Piece B-11

4型漸化式 → 特性方程式で等比型に

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.33)

 

※KATSUYAの解いた感想
きた、典型パターン。ルールを見て、あ、この遷移はラクそうだなと判断。(1)は初項のための準備かな。(2)は遷移図を書いて漸化式をつくるPn(1)が2/3になることに気づき、おお、これはかなりラク^^、残りの漸化式はさくっと終了。解答時間15分。

 

第4問・・・【整数+複素数と方程式+数列】解と係数の関係、2次方程式の整数解、連立方程式の整数解(DE、120分、Lv.MAX)

最後の大物論証です。(1)はまだ何とかなると思いますが、(2)はとっかかりも非常につかみにくく、何から初めていいかもよくわからないため、非常に難しい問題です。てか名大、2次方程式の整数解で論証させるの、好きですね^^;専門の先生でもいらっしゃるのでしょうか。

(1)は、積の方に着目すると、ぐるっと回ってくるはずなので、a~fはそんなに大きくなれないことがわかります。それを元に、全調査しましょう。結構ありますが、ここまでそんなに時間を消費していないはずなので、時間をかけてでも全調査です。


(2)は非常に難しいです。(i)は、{b_n}が広義短調減少(等しいものがあっても減少に含める)である旨を述べればいいと気づけば、ちょっと点を稼げますが、bn=0が入ったときは別途調べないとダメで、こちらの方が時間がかかります。

(ii)はそれを元に再び方程式にもどっていきますが、裏技的なものはなく、地道に2次方程式の解と係数の関係を使い続けなければいけません。発想力、計算量ともに厳しく、これは捨て問でしょう。

※KATSUYAの解いた感想
なんじゃこりゃ?大物論証の予感しかしないんですけど^^;(1)はぐるっと回ってくるんやから、そんなに大きくはないはず。積を使ってace=1かd=0、全調査して終了。(2)の(i)は、b_nが0にならないときは広義単調減少を言えばいい。約数やねんから、当たり前やわな。bm=0のときはどうしよう。bm+1=0かもしれんけど、-amかもしれんし、可能性が広すぎる。(20分以上考える)bm+1が0でないとして、すすめてみるか。bm+2,am+2が±●型になる。すると次に整数解を持つには、0、0しかないな。ようやく矛盾した。ここまでいかないとダメなの?(3)は(2)と同様の分けを行う。今度は0のときは全部0が言える^^ そうでない方が難しいな。(10分ほど思考)でも、m以上はbmの絶対値同じやから、am=1かー1ってことか。これに気づいて、再び解と係数の関係で全調査する。これ難すぎ。解答時間75分。開始から2時間も経ってるやん。半分以上これにつかってるわ^^;

 

4.対策

頻出分野は微積、確率(漸化式と絡むことが多い)、整数の論証系です。どれも計算量もあり、かつ発想もある程度必要なものが多いです。出題分野も似ている東大レベルで練習を積んでおいてもいいぐらいでしょう。

BレベルとCレベルが5部5部ぐらいで出題されます。Bレベルを落とさないことを最優先に、さらに上のせしていきましょう。Cレベル以上を意識しすぎると、逆効果。Cレベルは、3割とれればいい、ぐらいの気持ちでいるほうがいいでしょう。それよりも、D以上を嗅ぎ分ける能力が本学では必要で、今年の第4問のようなものを、避けられることも重要。過去問で嗅ぎ分けの練習をしましょう。

最終段階では、仕上げ段階まで行っておきたいですが、ここまで行ったとしても点数につながらない問題も出るかもしれません。本学の場合、他の科目を犠牲にしてまで数学に時間を取られることのないようにしましょう。合計で合格すればいいのです。

単科長年タイプの過去問もありますので、ある程度のレベルに達したと感じたら、これに絞って研究するのもいいかもしれません。

名大理系数学は大竹先生が書いておられます。私も高校生のときにご指導いただいた先生で、個人的には非常にオススメです。

 


量をこなす演習:じっくり演習=6:4ぐらいでしょう。

 

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学Ⅰ 2次関数 (第1問)

★ 数学A 確率 (第3問)

★ 数学A 整数 (第4問)

★ 数学II 複素数と方程式 (第4問)

★ 数学II 図形と式 (第1問)

★ 数学II 三角関数 (第2問)

★ 数学B 数列 (第3問)

★ 数学III 微分法の応用 (第2問)

数学III、ほとんど出ませんでしたね^^;

 

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