早稲田大学 教育学部 | 2017年大学入試数学

   

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●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回早稲田大学(教育学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。


2017年大学入試(私大)シリーズ。
早稲田大学(教育学部:理系)です。





問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





早稲田大学(教育学部:理系)
(試験時間120分、4問、記述式、一部答えのみ)

1.全体総評~難化。小問もボリュームがあり、前半が難し目~

難化です。より第1問はいつもどおり小問が4つですが、通過領域の面積など「記述式にしてもいいのでは」と思うようなボリュームのある問題が並びました。第2問も本格的な難易度の複素数平面で難しい。第3問は典型レベルで、第4問は意図がつかめれば出来ます。論証系が今年はほぼ出ずですが、前半で得点しにくい。なお、数学IIIの積分からは出題がありまんでした。



試験時間120分に対し、
標準回答時間は152分【131分】(←答えのみを考慮) 第1問の小問で時間を取られそうです。

2016年:128分【117分】
2015年:127分【107分】(答えのみを考慮)
2014年:165分

 

2.合格ライン

第1問はキー問題。(1)はパターンなので欲しい。(4)も答えだけなら出せるはず。(2)、(3)はおそらく差がつく。
第2問の複素数平面はキツイです。適当にいじってるだけでも部分点が期待しづらく、難。
第3問は超典型で、計算は煩雑だが本セットでは取りたい。
第4問も、これまでの出来が悪いなら頑張るしかありません。なんとか意図を見抜いて正解したい。


後半2問をなんとかとって、残り第1問の小問で60%強ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

☆第1問(1)・・・【図形と式】垂直二等分線の通過領域(B,20分【13分】、Lv.1)

通過領域で、パターン問題ではありますが、小問に持ってくるには、重いです。通過領域については、こちらの原則に従います。

Principle Piece II-60

 グラフの通過領域は存在範囲に帰着させる

(拙著シリーズ 数学II 図形と式 p.64-65)

垂直二等分線の式を「t」についての2次方程式とみなし、0≦t≦1で少なくとも1つの実数解を持つ条件として求めればOKです。

なお、答えだけであれば包絡線の考え方を用いれば、x=y^2-1/2 に接することが分かります。

 

☆第1問(2)・・・【場合の数+数列】条件を満たす順列の総数の漸化式(B,15分【10分】、Lv.2)

条件を満たす順列の総数に関する漸化式です。こちらも答だけとなると誘導なしでかなり難しいと思います。問題文からさらに1つ大きい、n=4ぐらいで試してみると分かったかもしれません。1~nですでに条件を満たしている場合は、n+1の入る余地は2つしかありませんが、1、2、3、4・・・nの順に並んでいる場合は、最後でなければどこでもOKですね。後者を見落としがちです。これも、n=4の例を書いておけばミスは減ります。

 

ULTIMATE Principle Piece 

 よく分からないときは小さい数字で実験してみる

第1問(3)・・・【三角関数】cosπ/7 を解に持つ3次方程式(B,15分【10分】、Lv.2)

cosπ/7を解に持つような3次方程式を決めよ、という問題です。π/5のときにどのようにやったかを思い出せば、それを応用出来ますが、このような聞き方で来ることはあまりなく、発想できたかどうかが分かれ目です。

本問の場合は、π/7=θとおけば、7θ=180°となりますので、cos3θ=ーcos4θ となりますので、これをcosθの式にすればOK。これだと4次式になりますが、因数分解をすれば3次式に出来ます。

 

Principle Piece II-68

 18°、36°の三角関数は5θ=90°、180°を利用して方程式を立てる

(拙著シリーズ 数学II 三角関数 p.39)


こちらも、答えだけにするには少し難し目の問題ですが、7θでは解を出せませんので、このような聞き方にならざるを得ませんね。

 

第1問(4)・・・【関数】関数方程式(B,12分【8分】、Lv.2)

関数方程式の問題です。こちらは穴埋め問題であることが多少助かっています。f(x)は多項式関数ということなのでしょうが、本当はそうとは限らないので、考え出すと答案としてはかなり難しいです。答えとしてあっていればOKなので、2次式と決め打ちで解いた人が勝ちです。

※KATSUYAの解いた感想
(1)から通過領域か。これ答えだけって結構キツイな。逆に答えだけなので、包絡線で解決。(2)も結構難しそう。n=4でやってみる。n=3のときとじっと見比べて比較し、上記場合分けを発見。(3)も、小問にするには重いな。7倍=180°やから3倍と4倍に分けるか。(4)・・・ん?多項式とは限らん・・・よな。でも答えだけなので、多項式で決め打ちしてしまう。小問が全体的に昨年より重いな。解答時間計4+4+3+4=15分。

 

☆第2問・・・【複素数平面】条件を満たす複素数の集合(C、40分、Lv.2)

条件式を満たす複素数zの集合を複素数平面に図示せよ、というものですが、あまりにも具体的な数値が少なく、とっかかりのつかみにくい問題です。極形式でいくのか、x+yiとおくほうがいいのかも、問題文だけでは決めづらいです。

α/βが実数なので、これを「k」とおいて、α=kβとして消去し、k、β、zに関する連立方程式の解として、zをkの式で表せば集合は出せそうです。私はx=x+yi実部と虚部に分けました。途中で分母を0にしないような場合分けが細かく発生する上に、xやyに (k+1)^2/k といった式が入りますので、これが取りうる範囲(微分して増減)にも意識をしておかないと正解にはたどり着けませんので、かなり難しいタイプです。

極形式で行えばもう少し計算量は減らせるようですが、やはり絶対値として取りうる範囲に注意が必要で、同じぐらい気づきにくいとお漏れます。


※KATSUYAの解いた感想
何これ。全然具体的な式がないな。方針がまったく立たない。とりえあず実数やから=kにしてしまおう。これでα消去。β、z、kの連立やからkだけにしてしまえばいいのか。共役があるので、z=x+yiでおいてx、yをkで表して軌跡の問題にするしかないか。分母が0になるかもしれないので、場合分けをする。結構場合分けが多い。どちらも0出ない場合は、y=±1/√3 xと出る。割とキレイやから合ってそうやけど、どこでも取れるのか。いや、ダメそうなので改めて関数でおいて微分して増減を調べ、取れる部分だけを図示。発想もしづらくて難しい。解答時間25分。

 

第3問・・・【空間ベクトル】四面体、垂線ベクトル、体積(B、25分、Lv.2)

四面体を題材とした空間ベクトルの問題で、こちらは超典型パターンです。計算量は多めですが、これを落とす訳にはいきません。本問では、3辺の長さとなす角が分かっているので、こちらの原則で6種類を準備しておけばなんでも出せます。

Principle Piece II-51

 四面体問題の方針 → 内積があるなら、3つの長さ+内積3種の計6種の値を準備

(拙著シリーズ 数学B ベクトル p.63)

(1)は垂線ベクトルです。これも原則ですね^^ 平面上にあるときは1-s-t、s、tの係数設定が多いですが、今回は平面OABなので、s、tのみで表せます。

 

Principle Piece B-56

 垂線ベクトルの求め方

 [1] 平面上にある → s、tの係数設定

 [2] 平面をなす2ベクトルと垂直 → 内積0の式を2つ

(拙著シリーズ 数学B ベクトル p.75)

√が多いので、ちょっと計算はややこしいです。(2)は体積で、高さとしてCDベクトルを出すことになりますが、2重根号になります。計算が煩雑な上に外せなくて、ミスしてるのではないかと不安になったかもしれません(私もなりました)が、今回は外れませんので、このまま答えましょう。

※KATSUYAの解いた感想
これは超典型パターンやから、これまでの問題を見てると落とせないな。原則に従い、6種の数値をまず用意。(1)は垂線を求める原則で連立。√が入るけど、角度的にはしょうがないな。(2)はCDを出すところがポイントか。煩雑な予感しかしないので、慎重に行うも2重根号はずれず。間違えたかな。外せるとは限らないけど、一応見直すか。特にミスは見当たらない。大きさ的にも妥当なはずなので大丈夫と判断。解答時間19分。

 

第4問・・・【数列の極限】数列の極限(文章題)(B、25分、Lv.3)

文章題から数列の一般項を出す問題です。とってつけたような設定でややこしく見えますが、いざやってみるとたいしたことはありません。(1)は、正方形の一番外側の部分(中空方陣)の個数を出せばOK。1辺の長さだけ気をつければ出せるでしょう。

(2)は気づくかとは思いますが、3で割った余りで場合分けする必要があり、anに関する和をひたすら計算させられます。an=8n-8ですが、a_1=1だけは例外なので、シグマ計算する際は、最後に1をたさないとずれます。

(3)は(2)が出せれば出せます。場合分けしているので、すべての場合で同じ極限になることを確認しないと、減点されます。(同じになることはほぼ明らかですが)

 

Principle Piece III-10

 場合分けが必要な部分和は全て求め、収束値を確認する

(拙著シリーズ 数学III 極限 p.23-24)

 

※KATSUYAの解いた感想
あまり見たことのない設定やけど、去年の4番よりは全然わかりやすい。(1)は外側の中空方陣ってことね。(2)は3秒おきに消える部分が同じやから、場合分けか。3回もこの計算やるのは骨が折れるが、第2問とかよりは確実に得点出来るし、やるべき。anはn=1のときだけ1になることに注意し、n=1が入っているシグマ計算には1をたしつつ、出た答えをn=1,2,3で当てはめて検算。OK。極限は明らか。ほぼ手が止まることなく、はやくできた^^ 解答時間14分。

4.対策

第1問の基本を落とさないために、青チャートレベルをしっかり定着させておきましょう。スピードも必要です。

癖が特別強いわけではないので、第1志望でない人は、他の2次の対策をしておけばOKでしょう。理工学部と難易度は似ています。数学IIIまで早めに1ラウンド終わらせて、夏までには入試演習に入り、入試標準演習レベルまでは最低やってから過去問に入りたいところです。数学で得点したいなら、仕上げ段階までやってもいいでしょう。

なお、分野として複素数平面は2年連続で出題なので、要注意分野と思っておいたほうがいいでしょう。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■

★ 数学A 集合と場合の数 (第1問(2))

★ 数学II 式と証明 (第1問(4))

★ 数学II 図形と式 (第1問(1))

★ 数学II 三角関数 (第1問(3))

★ 数学II 積分 (第2問)

★ 数学B 数列 (第1問(2)、第4問)

★ 数学B ベクトル (第3問)

★ 数学III 極限 (第4問)

★ 
数学III 微分法の応用 (第2問、解法による)

★ 数学III 複素数平面 (第2問)

★ 計算0.9【IAIIB】 (計算練習帳です)

 

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