名古屋工業大学| 2019年度大学入試数学

2019/03/10

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は名古屋工業大学です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾　　２０１９年大学入試数学の評価も、無事に（？）終わりを迎えつつあります。

２０１９年大学入試（国公立）シリーズ。
名古屋工業大学です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

名古屋工業大学
（全４問、記述式、120分）

１．全体総評～全問数IIIセットで計算量は変わらず～

難易度は昨年並みです。今年は全部数IIIが関わる問題でしたが、計算量はそこまで膨大なわけではなく、慎重に計算していっても試験時間内に取り組める量だと思います。

制限時間120分に対し、目標解答時間は110分。

2018年：105分

2017年：105分

2016年：110分

2015年：135分

２．合格ライン

1番はひたすら計算するだけですが、最後は計算力が問われますのでキー問題。

2番は計算もそこまで多くないので合わせたいところです。

3番はQの位置が分からないと手がつかないので、キー問題か。

4番は１つ１つが独立しているので、出来るところを押さえたい。落ち着いてやれば最後以外は行けるかと思われます。

1番最後以外、2番は全部、4番も最後以外は押さえたい。残り時間で1番の最後と３番に手を付けれられればいいかと。65％~70％あればいいと思います。

３．各問の難易度

☆第１問【微積分総合】接点の座標、面積、回転体の体積（B,30分、Lv.２）

微積分総合で、いろいろやらされますが、計算力勝負の問題と言えます。

最初は接点を求める問題。点（－１，１）は曲線外の点ですから、まず接点を置いて接線を作り、それが（－１，１）を通ることから求めましょう。(ULTIMATE Principle Piece)

（２）は（１）が出来れば出ます。刻んでくれますね。

（３）からはグラフが必要。ｋ＞１／２に注意ですが、単純なグラフの組み合わせです。面積も体積もそこまで難しくはないでしょうが、体積はｙ＝１／２での回転なので、１／２を引く必要があり、計算は煩雑になっています。

※KATSUYAの感想：解答時間18分。（４）の計算は結構メンドクサイし、数値もそんなにきれいにならない。ｋが入っているせいで正か負かも明白ではないので、この手の問題は計算プロセスを見直すしかないか。さくっと見直して終了。

第２問　【積分法＋極限】不等式の証明、定積分の極限（B、20分、Lv.２）

定積分を求め、その極限を求める問題ですが、頻出の不等式ですし、誘導もかなり丁寧なので、これは流れにっておさえたいですね。

（１）不等式の基本は差を取って微分です。分からなければもう一度微分しましょう。(Principle Piece III-38,39 数学III　微分法の応用　p.41-47) 今回は、正→微分前の関数が単調増加→微分前の関数も正→さらに前の関数も単調増加・・・の繰り返しで出来るパターンです。指数や三角関数ではこの流れが多いですね＾＾

（２）も（１）を利用して証明できる式で、教科書にも載っている式です。

（３）は√ｘ＝ｔとでも置換しましょう。（４）は（２）（３）を利用するだけです。

かなり芋づる式ですが、名工大受験者なら数IIIの演習量は多いはずなので、このレベルなら解いてくるでしょう。

※KATSUYAの感想：解答時間８分。こちらも典型パターンでざっと見渡して詰まることなく終了。

☆第３問　【図形＋積分法】Qの軌跡、弧長（B、30分、Lv.２）

図形上に条件を満たす点Qを取り、その軌跡が絡む面積や弧長を求める問題。

（１）はAPが円と接するときがギリギリだと分かれば、そのときのθを出せばOK。OAPが１：２：√３の直角三角形になりますので、すぐに分かります。

（２）はAとQがOPに関して対称、というかOPQ≡OPAに気づけば、OQ＝２、∠AOQ=２θと分かるので一瞬ですが、気づかないと意外と求めるのに苦戦するかもです。

（３）の面積は積分は必要なく、ただ扇形から三角形引くだけです。

（４）は弧長です。Rの座標自体はすぐ出ますが、2乗したりする前に、ルートの前に係数をうまく出しておき、なるべく計算が煩雑にならないようにしたいですね。サイクロイドなどの弧長を計算するときにも出てきますが、１＋cosθ＝２cos^2 θ/2の変形が必要な胡蝶計算です。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間20分。（２）で上記の事実に気づかず、AからOPに下した垂線Hとして、AHベクトルを出し、OQ(→)＝OA→＋２AH→として出しています。気づけばもっと早く解けたなぁ。（４）は座標の形からみて、例の変形が入ってくるパターンと予想して変形しているので、さくっと終了。

☆第４問　【複素数平面】３点A,B,Cの条件（BC、30分、Lv.２）

複素数平面の問題で、３点が異なる、一直線上、正三角形、垂直など、いろいろ聞いてきますが、独立しているので解けるものを解きましょう。

（１）は同じだとしたときのｚの値を出せばOK。これは簡単なので押さえられるでしょう。

（２）もベクトル的に考えれば、ｚ＾５－ｚ／ｚ＾３－ｚ＝実数が思い浮かぶかと思います。(Principle Piece III-106 数学III　複素数平面　p.40)　z^2=ｋ（実数）と出ますので、±１、±ｉ以外の実数か純虚数（ｚ＝√ｋまたは √ｋｉ）などと書けばＯＫ。

（３）は正三角形です。正三角形は回転に強いです。(Principle Piece III-111 数学III　複素数平面　p.48-49) ほぼ（２）の式が使え、実数の部分を±６０°の回転を表す複素数に変えるだけです。

（４）も実は殆ど同じ考え方で式を立てられます。（１）と同じで、垂直のときは純虚数なので、ｗ＋wバー＝０にあてはめるのがいいでしょう。(Principle Piece III-106 数学III　複素数平面　p.40)　z^2の軌跡をそこから出すことが出来ます。唯一絶対値が１となるときのｚは±ｉとなり不適なので、そこから導けます。最後はちょっと難しめです。

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間17分。全部独立してる？てか、立てる式が殆ど同じなんですけど＾＾；最後はどうやって持っていくか悩む。z^2の軌跡がこれなら出そう。１になるときがあるけど、、、ｚの値が不適になるから除かれると。OK。