神戸大学理系 | 2019年大学入試数学

2019/03/06

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は神戸大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１９年大学入試シリーズ（国公立）。
神戸大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

神戸大学(理系)
（試験時間120分、５問、記述式）

１．全体総評～質・量ともにバランスのとれた良問セット～

難易度は昨年並みで、質・量ともに安定しており、演習するとしてもぜひやってほしいと思えるセットだと思います。試験としても適切だと思います。

数IIIは２問で、ともに微分が入っています。あとは数列、ベクトル、確率で、分野も昨年と変化ありません。

試験時間120分に対し、
標準回答時間は115分。適量です。

2018年：120分

2017年：145分

2016年：110分

2015年：150分

2014年：130分

２．合格ライン

第１問は(3)がキー問題。有名なので演習経験があれば（１）につなげられる。
第２問は文理共通ですがこれもキー問題。（１）が出来ないと（２）（３）は苦しい。
第３問も(3)がキー問題。積を表にしてコツコツ数えられたかどうか。
第４問は整数＋数列の融合ですが、非常に分かりやすい数列なのでここは合わせたい。
第５問は落ち着いて計算するだけ。（２）を書くには、（１）に加えて変化表が必要。

後半の２問は合わせたいが、第５問が出来なかった場合にはキー問題を出来る限り押さえていきたいですね。

65％～70％ぐらいでしょうか。

３．各問の難易度

☆第１問　【微分法の応用】最大値、共通の接線、大小比較（Ｂ,20分、Lv.２）

最初は微分からの問題です。いろいろ聞いてきますが、試験としては妥当なボリュームです。

（１）は微分増減で終わりです。ｅ以降で減少すると分かれば、∞の様子も特に必要ありません。

（２）は２曲線が「接する」タイプの問題。接するの定義は問題文にある通りで、これをそのままあてはめます。ｆ（ｔ）＝ｇ（ｔ）かつｆ’（ｔ）＝ｇ’（ｔ）で連立しましょう。(ULTIMATE Principle Piece)

（３）は結構有名なので出来れば欲しいですね。元の数字から攻めるならｌｏｇをとって、ｘｅで割れば（１）の利用が見えます。（１）から攻めるなら、ｘ≠ｅならｌｏｇｅ／ｅ＞ｌｏｇｘ＞ｘ　となりますので、ｘｅを掛けて係数を押し込んでｌｏｇを取ればＯＫ。

※KATSUYAの感想：解答時間６分。（３）もあるし、（１）を考えると（２）はａ＝ｅだろうな。知っていれば全然簡単な問題ですが、試験としては適切な印象。

☆第２問　【ベクトル】条件式を満たすＰの軌跡となす角の最大値（B、25分、Lv.２）

共通問題のベクトルですが、条件が少なく、始点を合わせ以外の変形が必要で、意外と難しいと思います。

（１）が実は一番ポイントです。ＰＭ→＝ＰＡ→＋ＰＢ→／２ですが、これの２乗をするとＡＢやＡＣの長さの２乗が出ます。係数が同じことで、ＡＢ→＝ＰＡ→ーＰＢ→との差で、キレイに内積だけが残ります。なお、中点でないとこの条件だけでは出せません。

（２）は（１）ＧＡ→・ＧＢ→＝０で始点を合わせてもいいですが、図形的にアプローチするとラク。ＡＢを直径とする円周上にＧがありますので、ＭＧ＝１として、ＰＭ＝３となります。

（３）は逆に、先に与えられていますので（１）を使えば、ＧＭ＝１／２まで持ってこれます。∠ＡＢＧの最大値なのでcosで攻める方法が思いつくかと思いますが、円周上の点なら接点に着目するのが最もラクです。角度が出るということからも、３０°や４５°あたりなのでしょう。

※KATSUYAの解答時間14分。条件少ないけど・・・（１）出せる？中点なら出せるんか。（２）（３）は図形的にアプローチしたほうがいいな。円が絡むとベクトルだけで攻めるよりも、、、って感じかな。

☆第３問　【確率】サイコロ２個の目の積をｎで割って１余る確率（BC、25分、Lv.２）

サイコロを２個なげて、その目の積をいろいろな数字で割って余りが１になる確率を求めます。（３）の調査は差がつきそうですね。昨年もサイコロ系で調査することで見えてくる問題を出しています。味をしめた？？

（１）を見た時にも、やはり全調査だと思いたいところです。サイコロ2個ぐらいなら、調べた方が早いでしょう。(Principle Piece A-7 数学A 集合と場合の数 p.20)

（２）は、積が36以下であることから、当然１以外出てこないわけですが、そのことは軽く述べた方がいいでしょう。

（３）は１とそれ以外にもう一個ないとダメです。表を書いていると分かりますが、対角成分（2つの目が等しいときの積）以外に当てはまるものがあると、対称性からあと2個は存在します。このことを利用すると絞りやすいと思います。

例：１と16が入る場合→ｎの候補は差の15の約数（1以外）で３，５，１５　実際に調べて１と１６だけになるのは１５だけ

こんな感じですね＾＾

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間13分。（１）~（３）を見て、これは全通り書くことが確定だな。（３）は最初全部調べようとする。さすがにメンドイな＾＾；　まてよ、あと1個やろ？じゃあ対角成分ってことか。大分絞れるわ。

第４問　【数列＋整数】群数列の和、剰余類、平方数になるか（B、20分、Lv.２）

群数列の和を求め、それが2019にならないことや、平方数が現われることを示す問題。こちらも共通問題ですが、2番のベクトルより簡単です。

（１）群数列は超単純な形をしていますので、ｎを３で割った余りで分類することは目に見えますね。

（２）は（１）の形から、（いやそもそも数列から(笑)）８が剰余類になることは見え見えです。2019を8で割った余りを求め、そうはならないことを言えばOK。

（３）も平方数を8で割った余りを求めます。８で分類してもいいですが、2乗したものが8で割れればいいので、4の剰余類でOKでしょう。なお、｛Sn｝には８で割った余りが０，１，４となる自然数が「全て」入っていることは述べた方がいいです。(Principle Piece A-55 数学A 整数 p.21)

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間８分。この数列簡単やな＾＾；（１）は3で割った余りで分ける。（２）（３）を見て何をさせたいか理解。そのために数列持ってきたのね。8で割った余りを吟味してほいいのね。これが一番簡単かな。(まだ5番見てないですが)

☆第５問　【微積分総合】媒介変数表示と凹凸、グラフ、面積（B、25分、Lv.２）

最後は微積分総合で、微分は2問目です。計算は1番に比べるとメンドウですが、方針は1番より単純なので難易度的にはそこまで変わらないかな、と。神戸大は媒介変数好きですね。

（１）の最初はいいでしょう。後半はもう一回分子分母を微分、とかやってないですよね。私も原則にしてあるぐらいですが(Principle Piece III-29 数学III 微分法 p.31-32)　、非常に間違えやすいので、「え？違うの？」と思った人は、すぐに問題集なり確認してください。

（２）は（１）だけでは書けません。ｔの増加によってｘが減る場合もありますので、変化表を書きます。凹凸は（１）の後半から分かります。

（３）は積分するだけですが、媒介変数表における面積問題は練習をある程度積んでいないと難しいと思います。ｙ、ｄｘの符号を変えて計算をするテクニックを身につけておくとラクに出来ます。(Principle Piece III-71 数学III 積分法の応用 p.12)

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間１６分。コツコツ計算するだけですね。