慶應大学理工学部 | 2019年大学入試数学

2019/02/18

●２０１９年大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶応大学(理工学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１９年大学入試（私大）シリーズ。

慶応大学(理工学部)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

慶応大学（理工学部）
（試験時間120分、5問、ハイブリッド型）

１．全体総評～計算量は大幅に減って手はつけやすいはず～

昨年からは易化しています。題材としてはそこまで簡単になっているわけではありませんが、計算自体は考慮されているのか、煩雑な数値にならない部分も多いので、ボリューム的には最近７年で最も穏やかです。途中で焦ったりミスしたりせずに進めば、時間内に全てに手がつきそうです。

試験時間120分に対し、
標準回答時間は154分【112分】（←穴埋め考慮）

2018年：222分【158分】（←穴埋め考慮）

2017年：200分【135分】（←穴埋め考慮）

2016年：183分【134分】（穴埋め考慮）

2015年：186分【139分】（←穴埋め考慮）

2014年：156分、2013年：180分　

２．合格ライン

第１問は記述もあるが、全て確保したい。

第２問はキー問題。計算ミスせずに出来れば５つとも確保出来る。最低でも３つ目の「カ」までは。

第３問は（１）は確保。（２）は難しめ。こちらも最低３つは欲しい。

第４問は数IIIで記述もあるが、いつもに比べると穏やか。ここは確保。

第５問も後半２つは難しめ。ここも最低３つ。

第１問、第４問を確保。第２，３，５問の15個のうち、どこかで5つ確保、残りは３つの11問ぐらいできればOKかと。普段よりはラクで、数学では60％強は欲しいです。

３．各問の難易度

第１問（１）・・・【微分法＋極限】不等式の証明、はさみうちの原理（AB、10分、Lv.2）

しょっぱなから証明問題で記述ですが、かなり穏やかです。これはおさえて波に乗りたい。

（１）は左辺の増減を調べればすぐに最小値が－２／ｅ＞－１と分かります。（２）は（１）を利用します。０に近づけるときを考えるので、０＜ｘ＜１として議論しますが、はさむ必要があることを考えれば、－１＜√ｘｌｏｇｘ＜０が思いつくでしょう。

第１問（２）・・・【複素数平面】条件式を満たす複素数（B、7分【5分】、Lv.1）

複素数平面からの出題ですが、絶対値に関する条件を式にするだけです。|z^2-1-|=|z-1||z+1|を利用すると、かなりすっきりした条件式になります。これなら、ｚ＝ｘ＋ｙｉとｘｙ平面での式に帰着させる方がいいでしょう。

第１問（３）・・・【ベクトル＋積分＋三角関数】内積、長さなど、積分値の最大値（AB、7分【5分】、Lv.1）

なんか意味のありそうな式の積分ですが、ベクトルや積分やら三角関数やらが全ておつまみ程度に出てくる感じです。積分式は複雑な分数式で積分出来なさそうに見えますが、そういう時こそ「f'(x)／f(x)」型を疑いましょう。(Principle Piece III-53-60 数学III 積分法 p.28-35)

ｌｏｇの中は三角関数があるので、合成して終わりです。無理やりいろいろくっつけてますが、計算はそこまでたいしたことはありません。

※KATSUYAは計11分で終了しています。

☆第２問・・・【２次関数】極値、接線、２接線の垂直条件（B、30分【20分】、Lv.２）

２つの２次関数が絡んだ接線の問題です。題材自体はありふれており、関数の係数や文字などで計算量は少し膨れますが、普段の理工よりはラクですし、おさえたいですね。

最初はいいでしょう。ｘ≧０の範囲では下に凸で極小値が、ｘ＜０では上に凸で極大値があります。なお、つなぎ目のｘ＝０は確認が必要。この前後で接線の傾きは変化しないので、極値になりません。

（２）は、結局曲線外から引いた接線を求める問題に帰着されます。接する問題では、先に接点を置きましょう。(Principle Piece III-53-60 数学III 積分法 p.28-35)

a>０の場合で言えば、まずｘ＜０における接点(b,－9/8 b^2－4b)における接線を出します。これが点（a,2a^2－4a）を通ることでａ，ｂの関係式を出すだけです。ａ，ｂは常に異符号になることに注意。ここで解の選択をミスすると、（３）で芋づる式に落としてしまいます。

（３）は（２）ができれば、傾きの積＝－１に入れるだけです。計算が多いだけで、そこまで難しくはない問題のはずです。

※KATSUYAは15分で解答しています。片方で解の選択ミスをし、ａの値が４つ出ず。見直して修正。これはもっと早くできましたね。

☆第３問・・・【確率】カードの数字が３つ連続するまで引く（C、40分【28分】、Lv.2）

本セット最難問だと思いますが、計算が煩雑な問題ではありません。

連続する３つの数字が出るまで引く、というルールでカードを引いていきますが、後半のように、4枚目で終了する確率を出すだけでもまあまあメンドウです。

最初は簡単。｛１，２，３｝のように連続した3つの数字の組わせと、それを順不同で引く順列で求められます。５枚目で終了する確率「コ」については、次の「サ」がありますので、最後に何を引くかを考えるのがいいかと思います。１を引く場合は、その前までは２，３，５，６で確定です。４は引けません。このように、地道に数えるしかないでしょう。なお、３までやればあとは対称なはずです。

（２）は難しめです。４枚の連続については、｛１，２，３，４｝、｛２，３，４，５｝のように組み合わせを考えますが、注意点があります。｛１，２，３，４｝のときでも、最後が１か４だと、その前に終了してしまいます。従って、可能な並べ替えは半分の12通りしかないです。（最後が２か３）

「ス」はさらに難しいでしょう。4枚の数字が全て連続しているときは出したので、そうでないときをあとは数えることになります。｛１，２，３｝だった場合は、あと１枚は｛５，６、・・・ｎ｝のｎ－４枚です。この場合も、４！とはならず、５以降の数字が最後に出ないようにするので、１８通りとなります。

｛２，３，４｝も同様に・・・とはいきません。実は、１８（ｎ－４）で済むのは端っこの｛１，２，３｝｛ｎ－２，ｎ－２，ｎ｝の場合です。あとは、残りの１枚はｎー５枚から選びます。（前後１枚ずつ除く）

これに気づければ最後までたどり着けたと思いますが、ここは出来なくても仕方がないかと。

※KATSUYAは１８分で終了しています。原則が使いにくくて、しかも結構数えにくい。端っこだけが特殊になることには早めに気づいたものの、答えに自信が持てずに、n=4,5を代入しつつ、実際に当てはまるものを数えて検算。

☆第４問・・・【微分法の応用＋数列＋極限】グラフ上の面積の最大値、漸化式、級数の和（C、25分【20分】、Lv.３）

タイトルだけ見るとごつく、問題文もまあまあ長いですが、やることはそこまで複雑ではありません。

（１）はただの微分→増減の流れです。そのまま、ａ１の値につながります。

（２）は答案が少し書きにくいでしょうか。結局はＲｎまで書き終わったあとの状態から、Ｒｎ＋１を書く作業について、pnより右にｘ座標を設定し、面積（ｘの関数）を微分することになります、これが最大となるｘ＝p_n+1なので、漸化式が作れます。ただの等差数列ですね。最初からRn+1を前面に出す答案にしないことがポイントです。

（３）は（２）が出来ればいけるでしょう。面積は等比級数の和になります。「ツ」はおまけ。

KATSUYAは9分で終了しています。今のところ、確率以外はマシなのが多い気がするかな。KO理工にしてはかなりラク。

第５問・・・【三角比＋微分＋平面図形？】正四角錐の体積の最大値、回転体の体積（BC、35分【24分】、Lv.２）

今年は全体的にマシなのが多いですが、最後は立体もからんで、比較的難しめでした。といっても、昨年の第４問や第５問に比べれば全然です。

最初はいいでしょう。OACを切断面に見ればわかります。正方形は対角線×対角線÷２で出せます。これで（２）の最大値も出せます。sin^2θがあるので、１－cos^2θとすればcosの３次式になります。

（３）は「OAを軸にしてこの正四角錐回転させる」、といっているだけです。（２）までの数値を与えれば、（３）は中学生でも解けますが、高校生の方がこういう問題はやらない・・・＾＾；

OACをOA軸で回転させるので三角錐が上下に2つできるだけです。体積を求めるには、OAを底辺を見たときの高さ（これが2つの円錐の半径）が必要です。体積が最大となるときのcosθやsinθは分かりますので、それも代入すれば出るでしょう。

最後の共通部分は、OABとOACのどちらかをOA軸を回転させることで同一平面上に置いて共通部分を出します。OAを底辺と見たときの高さが一致するので、砂時計型の相似なども使えて、いろいろな求積がかなりラクになっています。

※KATSUYAは15分で解答しています。最後の共通部分は、高さが一致していることに気づかず。OAをx軸に見立てたｘｙ平面に座標をおいて交点を出しました。

４．対策～質の高い演習に加え、計算力の強化を～

標準問題を素早く解くには、入試の頻出パターンをなるべく早い段階で習得する必要があります。青チャートIAIIBは高２までに出来ればマスターしてしまいたいところ。分野的には、「微積分」に加え、「確率と漸化式」が頻出。確率については、今年のようにシグマ計算をさせて出すものも、KO理工ではよく見ます。

また、IIIの方も高３の夏までには一通り全分野が終了していないと、このレベルに対応できません。受験者層を考えると、高２までにIIIを終えている高校も多くあります。学校の進度が遅いような場合は、自分でやりましょう。教科書ガイドと青チャートがあれば進められます。

また、青チャートのようなものが終わったら、早めに入試演習に入りましょう。本学部の数学で点数をしっかり取るには、最終段階としては仕上げレベルまで必要です。こちらを解く際にも、本番の穴埋めのようにスピードを上げて解きましょう。

計算量が多い問題もよく出ます。多少拙いやり方で計算量が増えても、ゴリ押しする能力も必要です。

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいですね。

以上です＾＾