神戸大学 理系 | 2017年大学入試数学

      2017/06/26

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●2017年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は神戸大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2017年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。未返信コメントの把握のため、未変身のものは一時的に未承認としております。返信とともに承認いたします。

 

2017年大学入試シリーズ(国公立)。
神戸大学(理系)です。

問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。





また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





神戸大学(理系)
(試験時間120分、5問、記述式)

1.全体総評~数IIIの割合・質・量が全て上がり難化~

昨年より難化です。5問中4問は何らかの形で数IIIが関わっており、計算量も多めです。また、確率+ベクトルの第4問を筆頭に、融合されている問題が多いです。チャートにあるような典型的なものもありますが、パターンのレベルとしてはどれも高めで差がつきそうです。良問揃いではあるのですが、試験場で出会うのは1、2問程度でいいという感じですね。



試験時間120分に対し、
標準回答時間は145分で、2015年に近い時間です。

2016年:110分

2015年:150分

2014年:130分

 

 

2.合格ライン

第1問は決して簡単ではないが、全体のセットを考えるとおさえたい。(2)までは絶対欲しい。
第2問はもレベル高めのパターンだが、全体の中ではマシな方。誘導も丁寧なのでなんとか欲しい。
第3問は図形と極限。立体なので差がつきそうでキー問題。
第4問は本セット最難と思われます。立体ランダムウォークで答案も書きづらい。
第5問も似たような問題をたくさん演習して、形が予想できればいけそうだが、これもキー問題。



第1問の(2)、第2問は抑えて2完弱。第4問は分かるところだけ触っておいて、第3問か第5問のどちらかは欲しい。どちらも取れれば御の字です。片方完答、片方部分点で3完半ぐらいできれば十分でしょう。

65%弱ぐらいでしょうか。

3.各問の難易度

☆第1問・・・【微分法+極限】方程式の解の範囲とその極限(B,25分、Lv.3)

自然数「n」を含む、整式と三角の混じった方程式の解に関する問題で、このタイプは差が付きますが、誘導もあるのでなんとか抑えたい。全体のセットからもマシな方です。

(1)は微分するだけなのでいいでしょう。(2)は、f’’(x)の情報からf’(x)の単調性と符号の変化を、そこからさらにf(x)の増減という流れでいけます。誘導通りではありますが、微分しただけで分からない場合はもう一度微分しましょう。

 

Principle Piece III-38

 微分しても分からなければもう一度微分する

(拙著りシーズ(白) 数学III 微分法の応用 p.41-42)

(3)は、まずxnが0に近づくことを示しますので、x=・・・の式にするしかないですが、単純に方程式を解くわけではないところが、このタイプの難しいところです。本問の場合は、例えばnを分母に持ってこれるような式変形を意識するといいでしょう。

xn→0が出れば、今度はnxですが、sinxがあることを考慮すると、sinx/xn が出てくるように式変形することがコツですね。

Principle Piece III-18

 「sinxとx」、「1-cosxとx^2」をペアにする

(拙著りシーズ(白) 数学III 極限 p.40-41)

 


※KATSUYAの解いた感想
解の配置か。(1)は誘導くさいな。単調性を利用すれば(2)まではいける。(3)はいつも考えさせられるタイプ。xnは0にすればいいから、nを分母に持ってくる。nxは0出ない有限値に収束するかな。sinxと合わせると見た。よし、うまくいった。解答時間17分。

 

☆第2問・・・【積分法+数列+極限】定積分と不等式、数列の和と極限(B、25分、Lv.2)

定積分部分を不等式で評価し、数列の和の極限を求める問題。極限がπ/4になるタイプなど、有名なものは演習経験済みかと思われますので、それを活かしてなんとか正解にこぎつけたい。

(1)は左辺第1項が等比数列の和になりますので、その公式を用いればOKです。(ー1)のn乗は、指数を1つずらしたければ符号を変えればOKです。この類の式変形はさくっと出来るように。

(2)は)(1)の式全体を0~1まで積分すればいいでしょう。k=1からなので、(1)でのk=0のときを忘れないように注意。なお、「インテグラル」と「シグマ」の交換可能性には議論の余地がありますが、有限和であれば断りなしに入れ替えてOKでしょう。

(3)の定積分の評価は、1+e^-x 部分を思い切って1にできるかどうか。積分しやすい式で評価することを意識しておきましょう。

Principle Piece III-68

 定積分絡みの不等式 積分可能な関数で評価する

(拙著りシーズ(白) 数学III 積分法 p.66-68)

 

この評価により、極限値が(2)で求めたSそのものであることが分かりますね。

※KATSUYAの解いた感想
定積分絡みとシグマの極限ならパターンかな。誘導もかなり丁寧。誘導+原則に従って進めて終了。解答時間14分。

 

☆第3問・・・【三角比+数列+極限】立体図形と極限(B、30分、Lv.2)

正四面体に次々に点をとっていくタイプの問題です。文章がかなり長いですが、点のつくり方が図でイメージできれば読み取るのにそこまで時間はかかりません。なお、側面が正方形であることを見落とすと全く解けませんので注意。

(1)はまた丁寧に誘導してきています。OA_0Hという三角形を詳しく見てくれ、ということです。なお、Oが外心となることの証明はあってもなくても大丈夫かと思います。(2)は(1)の流れを引き継いで、OA1=A1A1’ を解けばOK。

(3)では、(2)での議論と同様に、で一般化してもいいと思います。本当にかなり似ているときは、証明過程が長い時でも「同様に」として問題ないでしょう。体積比(長さの比の3乗)が公比になりますので、最初の正三角柱が分かればVk、級数も出せます。 計算は割と煩雑です。

※KATSUYAの解いた感想
また極限?これで5問中3問も極限。今度は立体図形で点作るパターンか。級数の和なら公比やな。図形のつくり方がわかれば手が止まることなく行ける。最後は3乗でおいといちゃダメ・・・やろなぁ^^;計算するか。結構綺麗になったので、余計ダメだろうな。解答時間16分。

第4問・・・【ベクトル+確率】空間座標内の移動、垂直、同一平面上にある確率(C、35分、Lv.3)

ベクトルと確率で融合してくるという、かなり無理矢理な感じですが、設定はすっきりしています。ただ本セット最難問で、試験としては(1)止まりなのではないでしょうか。なお、これが文理共通なので文系ももちろん最難問です。

(1)はすぐわかると思います。、y、z座標の符号が真逆の2つを選ぶしかありません。

(2)は難易度が高いです。全て調べあげるぐらいのつもりでいくしかないでしょうが。P0P2もP2P4も、最初にあるv1~v4のどれか2つの和ですから、その和の成分を全て書き並べて、内積が0になる組み合わせを探すしかないでしょう。それでもかなり調べるのは時間がかかります。

(3)では、今度は発想力が必要です。P0P1、P1P2、P2P3が全て異なるとき以外は同一平面上にあることに気づけばいけます。これは難しいですが、最悪でも64通りなので、いざとなったら書き出し、ぐらいの気持ちで行きたいです。16個ぐらい書いていると気づくかもしれませんしね。

(4)は理系だけの問題ですが、実は(2)(3)は関係なく、しかもこれはまあまあとっつきやすい。4回以外はありえないことはすぐに分かりますが、さすがにそれは証明しないと多少は引かれるでしょう。そうでないと、一瞬で終わってしまいますので。

 

※KATSUYAの解いた感想
ややこい設定やな。立方体のど真ん中から、互い違いの頂点に移動するような4方向って感じかな。あまり関係はなさそう。(1)はすぐわかる。(2)は数えあげか。256通りは厳しいな。考えよう。P0P2=P0P1+P1P2などと分けて内積の展開をする。全部違ったら内積ー1ばっかりやからアカンな。前半と後半で1つだけ同じやとー1が3つ、1が1つ。前半と後半が同じなら0か。これだけ数えればOKかな。(3)は、3つとも違ったらダメ。それ以外はOKか。これは気づかないと厳しいかな。(4)は比較的ラク。回数設定して4回しかないと証明して終了。解
答時間24分。

☆第5問・・・【微分法の応用】媒介変数表示の概形、曲線が自己交差しない条件(C、30分、Lv.3)

媒介変数表示の微分で、昨年に続いて媒介変数で、「~oid」系統です。今年は明記はされていませんが、トロコイドが背景になっているものを思われます。なお、昨年はカージオイドでした。

「~oid系統」については、座標はベクトルでたどりましょう。

Principle Piece III-28

 サイクロイド型 角度を設定し、ベクトルでたどる

(拙著りシーズ(白) 数学III 微分法の応用 p.29-30)

(2)では、自己交差しない条件ですが、結局は「x座標が増加し続けるかどうか」だけで済むことに気づくかどうかです。トロコイド概形の種類を知っている人は、多分気づけたと思いますが、経験がないと気づくのは厳しいかもしれません。

気づいた場合も、増減が変わる場合の概形は増減表(変化表)できちんと書かないといけませんので、ある程度時間もかかります。

 

※KATSUYAの解いた感想
(1)は原則通りベクトルで。最初、Qは原点中心のままやっていて、(2)の意味が全く分からず。てかPは?もう一度読み直して、中心がPで動くことに気づく。なるほど、トロコイド系の動きをしそう。(2)は交差するかしないかやから、やっぱトロコイドが背景やな。x座標がぐるぐる回らなければいいはず。場合分けして終了。解答時間19分。

4.対策

神戸大は非常に良問が多いです。過去問の演習で実力UPを図れます。超難関大を受験する人は、高2ぐらいか、あるいは高3の初期に演習してもいいでしょう。

レベル的には入試標準問題レベルまででいいと思います。適度に融合されている過去問を多めにやり、誘導にうまく乗る練習をしましょう。

こちらは50年分が記載されているものです。早めに買って、習った分野(自信のある分野)からちょっとずつやってみてもいいでしょう。

 

 

 

量をこなす演習:じっくり演習=7:3でOK。

以上です^^

■他年度の、本大学の入試数学■

>> 2014年度

>> 2015年度

>> 2016年度



■関連する拙著シリーズ■


★ 数学A 確率 (第4問)

★ 数学II 図形と式 (第2問)

★ 数学II 微分(第2問)

★ 数学B ベクトル (第4問)

★ 数学B 数列 (第2問、第3問、第4問)

★ 数学III 極限 (第1問、第2問、第3問)

★ 数学III 微分法の応用 (第1問、第5問)

★ 数学III 積分法 (第2問)

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