京都大学理系 | 2019年大学入試数学

2019/02/28

●２０１９年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０１９年　大学入試数学の評価を書いていきます。

２０１９年大学入試（国公立）シリーズ。
京都大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

京都大学（理系）
（試験時間150分、6問、記述式）

１．全体総評～手がつけやすい問題が多くやや易化～

昨年比ではやや易化です。京大らしい誘導のない問題を中心に並びますが、計算量もそこまで激しいものはなく、手を付けようと思えば付けられるセットだったと思います。第１問が2つの小問に分かれましたが、難易度が下がった分これもお得感があります。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は185分。

2018年：230分

2017年：170分

2016年：185分

2015年：195分

2014年：175分

2013年：140分

2012年：187分

2011年：135分

2010年：152分

２．合格ライン

第１問（１）は意外とキー問題。（２）はどちらもおさえる。

第２問は発想力重視の整数問題。発想はしやすいと思われるのでとりたい。

第３問はベクトルに見えるが、実際は数IIIの積分で見た目より難しい。

第４問の確率は本セット最難問と思われます。題意を読み取るのも難しいし、読み取れてもそれを計算に落としにくい。

第５問はキー問題。KO薬学部にほぼ同じ問題あり。設定力がものを言う。

第６問はそんなに難しくないので、全体の難易度を考えると取りたい。

60~65％ぐらい(医学部以外)、75％ぐらい(医学部)ですかね。

３．各問の難易度

☆第１問（１）　【三角関数＋論理】三角関数の有理数、無理数条件（B,15分、Lv.２）

三角関数に有理数、無理数条件を絡めた問題。

2倍角や３倍角はいいとは思いますが、cos３θ＝cosθ（４cos^2θー３）＝cosθ（２cos２θー１）と出来るかどうかです。あとは、「０でないとすると無理数＝有理数で矛盾」となるおなじみのパターンになります。

☆第１問（２）　【積分法(III)】定積分計算（B,15分、Lv.２）

2つとも標準的な定積分の計算で、京大受験者ならこれはおさえたいところ。

前半は傍用問題集にもありそうな、ただの部分積分です。意外と気づきにくいですかね。後半も教科書の例題に載っているはずです。１／cosθ、１／sinθの積分はお決まりの変形があり、(sinの式)×cos　などと出来れば、sinを置換して積分可能です。(Principle Piece III-51 数学III 積分法 p.14-16)

※KATSUYAの感想：解答時間９分。（１）はcos3θは３次式でcosθ×（２次式）になる。から、２次式の部分をcos２θで表せれば、、、いけたいけた＾＾　（２）はどちらもパターンの定積分。東大も最初に定積分やったけど、こっちは簡単やな。

☆第２問・・・【整数】3次式が素数となるnの値（BC、20分、Lv.２）

昨年とタイトル変えてません。となり合う整数を代入したときに３次式が素数になるものを探す問題。

京大受験者なら整数対策は万全と期待したいので、これは正解できると思っています。

まずはいくつか入れてみることで、(ULTIMATE Principle Piece) 、ｎが偶数だと確実に偶数です。３次関数なので、ｎが大きければ２より大きい偶数になりますし、ｎが小さい（絶対値の大きい負の数）なら、やはり２より大きい偶数になります。

微分などをすれば、２以上やー４以下では｜ｆ（ｘ）｜の値はどんどん大きくなるので、隣り合う整数を入れれば片方が偶数のため、２より大きい偶数が得られます。あとはそれをきちんと説明するだけです。

候補としては、ｎ、ｎ＋１に上記の数値が含まれない「ｎ＝－３，－２，－１，０」となりますが、これらは全て答えとなります。

※KATSUYAの解答時間９分。昨年よりは説明がメンドウかな。でも偶数になることには気づける。あとは、２以上やー４以下での単調性を言うのか。増減表がラクかな。

☆第３問　【図形と式＋積分法】三角形内部のＰが描く軌跡と面積（C、30分、Lv.３）

見た目よりずっと難易度の高い問題で、手をつけかけてあきらめた人も多いでしょう。

問題文的にはベクトルっぽいところに原因があります。ただ、Pの軌跡は明らかに放物線ですので、ベクトルだけで面積を出すのは厳しいです。そこで、座標を設定して積分計算をすることに気づけるかどうかが、この問題の山場です。

三角形の向きによりますが、数IIの積分でも解決します。媒介変数のまま積分するなら数IIIの知識が必要です。一般性を失わないように、かつラクな座標を設定しましょう。

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間２２分。内分点いっぱいなのでとりあえずベクトルで設定。係数的に軌跡は、放物線か。ん？じゃあこれ以上進まない気がする＾＾；　どうすればいい？(結構考えました)　座標で設定しないとダメってことか。ベクトルの問題じゃないわこれ。と思って座標設定して内分点を出し直し。媒介変数でやってしまおうかな。結果が１／３倍で直感とあっていたので確信。

☆第４問・・・【確率＋数列】確率、「和の和」計算（C、40分、Lv.２）

確率＋数列で京大なので、漸化式絡みを想起しそうですが、今年は漸化式ではなく、状況も考えにくいため難易度は高めで、本セット最難問かと思われます。先に言っておきます。私は壮大に時間をかけて間違えました。

４以上をL（LOWのつもり）、５以上をH（HIGHのつもり）で置いたときに、１回目はLで、あとはどこでHが出始めるかです。さらにその後、一度でもLになったらあとはLが続かないとダメです。イメージはこんな感じ。

LLL・・・・LH・・・・HL・・・・L　（最初のLは固定）

最初のL軍団の個数＝ｉ、次のH軍団の個数＝ｊ　とし、ｉ、ｊを動かせる範囲で動かしたときの確率の和となります。2文字がうごくので、１文字を固定しましょう。(ULTIMATE Principle Piece) それで和をとり、さらにそこから和とる。ことになります。いわゆる「和の和」の計算をします。

私が間違えた原因は、「Ｘ０＝０としておく」を見落としたことです。これを見落とすと、最初がＨで始まった場合に、

Ｈ・・・ＨＬ・・・ＬＨ・・・・ＨＬ・・・・Ｌ

となる場合まで考えてしまうことになります。しかも、この計算は上記の計算よりも難しい（「和の和の和」を取る計算になり、最後に(等差×等比)の和の計算が入る）ため、時間だけをかけて答えが合わないという結果になりました。この計算をしなくていいようにＸ０＝０になっていたんだと、後で気づきました。

※ＫＡＴＳＵＹＡの感想：解答時間３５分。上記の通りで、35分は無駄になりました＾＾；　Ｘ０＝０やったらＨから始まってても全然楽勝やんけ。もし本番でやったら笑えないわこれ。

☆第５問　【微分法(II) or 微分法(III)】半径１の球に内接する四角錐の体積の最大値（ＢＣ、30分、Lv.２）

題材としてはありがちな問題ですが、誘導がまったくない状態だと、設定力など総合的な力を問われます。良問だと思います。

なお、ほぼ2週間ぐらい前に行われたＫＯ薬学部でほぼ同じ問題が出題されています（誘導あり）。早慶あたりの問題が同じ年の旧７帝大にも出題されるのは結構ある印象です。マジでやった方がいいです。

正方形を固定するところから始まるとは思いますが、正方形を固定したときのＡの位置は、正四角錐になるようにおいたときです（ＡからＢ１~Ｂ４までの距離が等しいとき）。ほぼ明らかですが、記述はしておかないと意識していないとみなされます。

次に設定をしていきますが、立体なので切断面を考えます。球の中心を通るように切りたい(Principle Piece I-53 数学I 三角比 p.40)　ので、ＡＢ1Ｂ3などがいいでしょう。すると、正方形の１辺よりも対角線を２ｘなどとおけばいいと分かります。「底面は2乗するのでルートが入ってもいい」と思っておくと、先に高さを設定する方が賢いです。

先に高さを設定すれば数IIの微分で行けます。先に対角線を設定するとルートが残るので、うまく置き換えない限りは数IIIの微分となります。が、理系なのでどちらでもOKですよね。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間１４分。は？どっかで見たけど。KO薬やったけな？半径違うだけやん＾＾；　なので解法は全く迷わずさくっと終了。