京都大学 文系 | 2020年大学入試数学

   

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。


２０２０年大学入試（国公立）シリーズ。
京都大学(文系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。




また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





京都大学（文系）
（試験時間120分、5問、記述式）

１．全体総評～理系以上に取りにくいセットで最難レベルか～

理系同様に昨年で比難化ですが、文系の方が厳しくなっています。

文理共通の問題は理系でも差がつくもので、整数問題は理系より簡単に見えてあまり変わらないし、文系専用の2番も厳しめ。1番がマシですが、計算次第ではここも怪しい。完答を１つも出来なくてもおかしくないセットです。

時間的には、2018年と余り変わらないですが、取りにくい問題しか並んでいないので、苦しいながらもどれかには手をつけないとどうにもなりません。かなり苦しい120分だったかもしれません。


試験時間120分に対し、
標準回答時間は170分。

2019年：125分。

2018年：175分（ただし第４問で80分）

2017年：150分

2016年：115分

2015年：175分

2014年：110分

2013年：110分

2012年：127分

2011年：105分

2010年：145分

２．合格ライン

第１問で面積計算まで絶対に合わせたい。この後完答できるところはない可能性も。
第２問は完全解答は厳しい。部分点狙いがいいところ。
第３問の整数も発想次第だが、理系とあまり変わらない。まだ答案は書きやすそうだが、3割ねらい。
第４問、第５問の共通問題は理系でも解けるかどうか怪しいので、こちらも厳しい。

第１問を死守。残りで手がつくものから出来るところまで書くしかないです。どれも完答にはいたらないかもですが、手がつかなければ時間は余るので、第５問などを書き出す気合いも必要だったでしょう。

半分取るのも厳しい。40％ぐらいでも数学は大丈夫だと思います。

３．各問の難易度

第１問　【微積分】放物線と接する直線とで囲まれる部分の面積（Ｂ,25分、Lv.２）

絶対値のついた放物線がｙ＝ｘ+aと接するときのａの値と、そのときに囲まれる部分の面積です。

 

絶対値はさくっと中身で場合分けして外し、グラフはすぐにかけるかと。接するときも傾き１と分かっているので、微分すれば出るでしょう。

面積は意外とメンドウです。ｘ＜０における直線との交点が汚いので、どこかに「６分の公式」が使えないかと探したくなりますが、使えません。ある程度テクニカルな式変形で計算をラクには出来ますが、まともに計算したとしても、この後の問題を考えると絶対に合わせたいところです。

式変形ですが、ｘ＜０の部分はーx^2－４ｘ＋４の積分です。区間に交点の片方－２－２√２が入っているので、

－(ｘ＋２＋２√２)(ｘ＋２ー２√２)＝－(ｘ＋２＋２√２)(ｘ＋２ー２√２)＝－－(ｘ＋２＋２√２)(ｘ＋２＋２√２ー４√２)

のようにし、（ｘ＋２＋2√２）について展開すると、定積分の代入時に０が増えますので、少しラクになります。


※KATSUYAの感想：解答時間12分。ａの値はさくっと。面積は、、、交点汚いけど6分の公式も使えないんか。でも交点の片方はあるから、6分の公式を導く変形を利用して計算を少しサボる。ー２ー2√２の3乗は嫌なので＾＾；

☆第２問　【2次関数】２つの放物線の直交条件（C、45分、Lv.２）

問題文はシンプルで、y=x^2という最も単純な放物線に直交する放物線を求める問題。全てとありますが、無限にあります。シンプルすぎて何をしたらいいのか、という感じですが、素直に文字を置いていくしかないと思います。

f(x)=x^2求める放物線をy＝px^2+qx+r（＝g(x)）とおき、交点をα、βとおきます。条件は以下の４つです。

f(α)＝g(α)、f(β)＝g(β)、f’(α)・g(α)＝１、f’(β)・g(β)＝－１

未知数はｐ、ｑ、ｒ、α、βの５つで式４つですから、１文字残ります。前半２つや後半２つで引き算することは思いつくかとは思います。α、βは和と積主役にしていくとよかったと思います。

１文字は残ることを意識しつつ4文字を消すという、方程式の根本的な原則（方程式１つにつき文字は１つ消せる）に従って解答していくしかありません。５文字で式４つとなると、文系には厳しい気がします（いや理系でも厳しいか）。

途中で割る式が０になったりすることもあり、場合分けも出ますので、完答は厳しいでしょう。

※KATSUYAの感想：解答時間22分。ずいぶんシンプル。全て？２，３個ぐらいあるってこと？なんか違和感を感じる。まあいいや、とりあえずｐ、ｑ、ｒで置くし。交点もおかんとな。条件を式していく。文字の方が1個多いから、無限にあるってことね。無限ならなんとなくわかる。とりあえず１文字残るまで消去し続けるだけの作業ってことか。α≠βでも、α＋β＝０になる場合は場合分けが必要だと分かる。思ったより道のりが長いな。手を付け始めて後悔しそうな問題。

第３問　【整数】16の倍数になることがある条件（C、35分、Lv.３）

ｍ，ｎ、ａに関する式が16の倍数となるｍ、ｎが存在するためのａ条件を求める問題。理系と題材が似ていますが、式も条件も違います。ａも入っている分、こっちの方がとっつきにくい印象もあります。

ａは奇数ということですが、奇数の中でもどんな数字だったら良いか、ということなので、例えば４ｋ＋１のとき、４ｋ＋３のときに分けてみる、という発想になるかどうかです。実際、これに思いが至れば解答は可能です。

ａ＝４ｋ＋３のときは、ｍ＝ｎ＝２を代入すれば１６の倍数になります。「存在する」＝「１つでもあればいい」のでこれでＯＫです。

あとは４ｋ＋１のときがどうかを調べるだけですが、ｍ、ｎの奇偶で分けましょう。いずれも、１６の倍数になることはないと分かります。

※KATSUYAの感想：解答時間25分。理系と似てるようで似てない。よくこんな「似てるようで似てない」問題に出来るな＾＾；　奇数をさらに分けるなら、まずは４ｋ＋１，４＋３か、後者は満たすことはすぐに分かったので、ので前者がダメなことを示せばいいと判断。私はｍ、ｎを４で割った余りで分類しましたが、おそらく奇偶でもいけたかな。

第４問　【空間ベクトル】球面上の４点と内積の値（C、35分、Lv.2）

理系と同じですので、理系のエントリーをご覧ください。理系でもキツイです。

 

☆第５問　【場合の数】4×4方陣に数字を入れる方法（C、30分、Lv.２）

理系と同じですので、理系のエントリーをご覧ください。ラテン方陣とか呼ばれるもので有名ですが、初見で正答を得るのはまあまあキツイですね。

４．対策

いつもは微積、整数、確率(２０２０年は場合の数)あたりが頻出です。確率は文系の場合は穏やかなのものが多いですが、n絡みも油断はできません。今年のように、理系の複素数平面に乗っかって、「類似問題」で複素数を出してくる可能性もあります。

パターン問題として習得しておけばすぐに解けるものも割と出題されますので、頻出分野のパターン問題は100％習得するつもりで演習しましょう。微積は取りやすいです。青チャートなどで習得したのちは、入試演習で類題を繰り返しつつ実力を上げていきましょいう。あまり一つの問題集を繰り返すよりも、いろんな問題に触れたほうがいいと思います。

量をこなす演習：じっくり演習＝７：３ぐらいでしょう。

以上です＾＾


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