京都大学 文系 | 2016年大学入試数学

      2017/02/23

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●2016年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は京都大学(文系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです^^いよいよ、2次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
2016年 大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

 

2016年大学入試(国公立)シリーズ。
京都大学(文系)です。


問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。


また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。


同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。





京都大学(文系)
(試験時間120分、5問、記述式)

 

1.全体総評~やや易化。手が付けやすい問題が多い~

難易度は、昨年よりやや易化。昨年は大物論証のせいで難しく感じる部分もありますが、それを考慮してもやや易化、という印象。小問がまったくないが、全体的に手がつけやすく、部分点を取れそうです。



試験時間120分に対し、
標準回答時間は115分。
2015年:175分
2014年:110分
2013年:110分
2012年:127分
2011年:105分
2010年:145分

2015年、2010年は1つ大物が入っているので、基本的には100分強ぐらいで落ち着いているようです。

2.合格ライン

第1問は欲しい。3次関数のx軸との交点に惑わされないように。
第2問は絶対欲しい。これが最も楽。
第3問は、キー問題と踏んでいます。12もn進法であることを忘れると0点確定。
第4問は理系と類似しているが、文系の方が難しい。文字も乱立し、キー問題か。
第5問もキー問題。というより、どこまで出来て、どこまで厳密に方程式を解ききったかで差がでそう。




後半3つ(第3問はミスなく)でどこまで稼いだかで、決まりそうです。60%だと厳しいかも。65%~70%ぐらい取れてしまいそうです。

 

3.各問の難易度

第1問・・・【積分】3次関数、円の内部の面積(B,20分、Lv2)

円、直線および3次曲線で囲まれた部分の面積です。3次曲線は円と直線の交点を通るので、それに気づけば楽ですが、どこを積分するかで計算過程、および計算量が分かれます。

y=1でちぎってしまえば、x軸との交点は実は必要ありませんが、x軸基準で積分を行うと、x=-1+√5/2 という、積分する気が失せる数字が登場します。しかし、上側、下側に注意して面積の足し引きの式をかくと、結局ー1~1まで積分すればいいとわかります。x軸基準て積分し、これに気づかないと計算だけで10分以上とられます。


※KATSUYAの解いた感想
3次関数に円はいるのか。あ、でも交点が(1、1)とかやから楽^^ 積分は半円ばかりに目が行き、x軸基準で積分。しょっぱなから入れたくない数字を見るが、式を見ると積分がつながることが分かり、一安心。なるほどね。解答時間10分。

第2問・・・【確率+対数】余事象、常用対数(B、20分、Lv.2)

今年の確率はここ、ということでしょうか。余事象使うだけで、あとはただの常用対数の問題ですので、いたって普通の問題です。KO大あたりなら穴埋めにでもしてきそうなレベルで、これは落とせません。

1回以上は、「少なくとも1回」と読みかえられます^^

Principle Piece A-9

「少なくとも・・・」と言えるなら補集合で考える

(拙著シリーズ(白) 数学A 集合と場合の数 p.21-22)

常用対数タイプは、「log10つけて、指数を前に出す」という、何てことのない作業をするだけですね。だからあんまり出ないはずなんですけど、京大はここ数年で2回出してます。

※KATSUYAの解いた感想
確率?対数?どっちでもいいか。pの確率が遠まわしやけど、やること一緒。無理矢理感あり。解答時間9分。

☆第3問・・・【整数+数列】n進法表記、数学的帰納法(B、20分、Lv.2)

n進法の問題ですが、指数の12が10進法に見えてしまいそうで、ちょっと意地悪な問題。これが12に見えると、答えが一瞬で出るような設定もまた意地悪。一瞬で0点になります(苦笑)

12=n+2としなければなりません。2^{n+2}=(n+1)^3 ということです。

ここからは少し理系的センスが問われます。指数関数は整式より一気に大きくなりますので、nがある程度大きい時は左の方が大きいだろうな、と見当をつけられれば。n=7まで調べて、8以上はダメ、と帰納法でできるでしょう。

自然数に関する不等式や等式は、帰納法です。これは文系の人でも習得すべき原則ですね^^

Principle Piece B-22

帰納法は自然数に関する証明に使える

(拙著シリーズ(白) 数学B 数列 p.50-57)

※KATSUYAの解いた感想
最初、やってしまいました。n+1の3乗=2の「12」乗と。答えが1分で出る。なめすぎじゃない?問題文見直して、なめていたのは自分だと気づく。12じゃないんか。これはうっかり。てか、それでも解けちゃう設定にしてるから意地悪だわ^^; n+2でやり直す。指数=整式は解析的には無理。調査して帰納法だな。解答時間8分。

☆第4問・・・【空間ベクトル】四面体の証明(B、25分、Lv.2)

四面体系の問題で、理系と類似していますが、文系は「重心」となっています。結果は同じなのですが、証明の過程は大きく異なり、文系側の「重心」の方が平面幾何的な発想は難しく、ベクトル計算を強いられることになります。

基本ベクトル+内積3種の、6つの未知数ですが、式も6つ出ます。実質は5つですが、それでも、比は出せますね^^

このような問題のタイプで未知数が何個あるかは、こちらの原則をきちんと理解しれいればわかります。

Principle Piece B-49

四面体問題で角度が絡む→基本ベクトル3つの長さ+内積3種の計6種を用意

(拙著シリーズ(白) 数学B ベクトル p.63)


少し文字が多いですが、結果は予想が付きますから、そうなるように導いてみましょう。答えからお迎えです^^

※KATSUYAの解いた感想
文系は重心なのね。最初、同じかと思った^^;重心の方が難しいやん。ベクトルで攻めるのが無難かな。文字多くて、かなり意識しないと連立はうまくいかないから差がでそう。解答時間14分。

☆第5問・・・【複素数】解条件から係数決定(C、30分、Lv.2)

本セット最難問。文系は易から難に配置されていました。こちらも理系と類似問題。文系の方が係数が実数なので、かなり楽です^^ なお、条件(イ)は、例えば最初の3解を3乗したときに、もとの3解と集合が一致している必要はありません。集合の一部であればOK。

実数係数なら共役複素数解を持ってきます。実数は3乗しても実数ですから、実数解は0、±1とすぐ出ます。虚数zについては、「zバー」とセットです。

z^3=zだと実数解と同じなので、z^3=zバー か、z^3=pのはずです。前者は成分をおいて比較、後者はp=0、ー1、1を代入して実際に計算です。

これらの条件を全て調べ尽くせばOK。可能性がたくさんあるので、少し方程式を解くのが大変。条件を読み替えられたら、あとは計算力勝負ですね。

Principle Piece II-24

高次方程式の解の情報に関する問題
[1] 共役複素数が解であることを利用
[2] 解と係数の関係の利用も視野に入れる

(拙著シリーズ(白) 数学II 複素数と方程式 p.33)


今回は[1]だけが使えます。

※KATSUYAの解いた感想
理系と同じ感じ?また・・・。あ、でも実数係数やわ。これは助かった。かなり楽。計算をいさはじめると意外と可能性が多く、メンドウ。理系も文系も計算ゴリ押ししてしまった。理系は係数だけで、文系は解で攻めたから、やり方は違うのか。ま、いいや^^解答時間18分。

 

4.対策

微積、整数は必須。確率は文系の場合は穏やかなのものが多いですが、n絡みも油断はできません。今年のように、理系の複素数平面に乗っかって、「類似問題」で複素数を出してくる可能性もあります。

パターン問題として習得しておけばすぐに解けるものも割と出題されますので、頻出分野のパターン問題は100%習得するつもりで演習しましょう。微積は取りやすいです。青チャートなどで習得したのちは、入試演習で類題を繰り返しつつ実力を上げていきましょいう。あまり一つの問題集を繰り返すよりも、いろんな問題に触れたほうがいいと思います。

量をこなす演習:じっくり演習=7:3ぐらいでしょう。

以上です^^

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■関連する拙著シリーズ■



★ 
数学A 確率 (第2問)

★ 数学A 整数 (第3問)

★ 数学II 複素数と方程式 (第5問)

★ 数学II 図形と式 (第1問)

★ 数学II 指数関数・対数関数 (第2問)

★ 数学II 微分 (第1問)

★ 数学II 積分 (第1問)

★ 数学B ベクトル (第4問)

★ 数学B 数列 (第3問)

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