大阪大学理系 | 2020年大学入試数学

2020/02/28

●２０２０年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は大阪大学(理系)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。　KATSUYAです＾＾いよいよ、２次試験シーズンがやってきました。すでにお馴染みになってきたかもしれませんが、やっていきます。
２０２０年　大学入試数学の評価を書いていきます。

入試シーズン中は、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。ご了承ください。

２０２０年大学入試(国公立)シリーズ。
大阪大学(理系)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。
また☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。

したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

大阪大学（理系）
（試験時間150分、５問、記述式）

１．全体総評～かなり穏やかなセット～

昨年比では大幅易化という印象です。５問ともそこまで計算量が多いわけでもなく、方針が立ちにくい問題もそこまでありません。

分野的には数IIIが全問に絡んでいることと、整数の出題がありませんでした。

普段は阪大は「良問セット」という印象ですが、今年はちょっと軽いと思います。

試験時間150分に対し、
標準回答時間は111分。

2019年：165分

2018年：165分

2017年：150分

2016年：160分

2015年：165分

2014年：140分

2013年：145分

2012年：135分

2011年：170分

2010年：135分

これを見ても、今年はかなり穏やかといえるでしょう。

２．合格ライン

第１問は典型パターンでしっかり押さえる。
第２問は確率と漸化式。頻出で対策済みでしょうが、キー問題。
第３問は文理で類似問題ですが、こちらもおさえられるでしょう。
第４問はキー問題か。交点の扱い次第で計算が煩雑になるので、面積が正確に出せるか。
第５問は（１）で「楕円」が思いつけば勝ち。でも結果は利用して（２）に行ける流れになっているので、（２）だけ取るのもあり。なので、差は大きくはつかないかと。

１番、３番と５番の（２）は押さえる。２番、４番、５番の（１）で進められそうなものを進める。時間的にも余裕はあるハズなので、今年は７０％弱ぐらい欲しいところです。

３．各問の難易度

第１問　【微分法の応用】最大値、極限、グラフ（AB,18分、Lv.2）

微分して、ｘ→∞での様子を調べてグラフを書くだけの問題です。微分法にちょっと極限が加わった感じですが、あまりうまく融合されているわけではないです。例年の阪大の融合がうまいだけに、そう感じます。

（１）は微分して増減表で終わりです。（２）の極限も、問題文に書かれている極限を使うだけでほぼ解決してしまいます。値は１に、傾きは０に近づきます。

（３）で、それらの情報からグラフを書いてほしいということです。阪大にしてはかなり簡単です。

※KATSUYAの解答時間７分。特にコメントなし。なんか簡単すぎない？問題文に書いてある極限の式を証明させるぐらいは追加してもよかったのでは？かなりあっさりしてる。

☆第２問　【複素数平面＋確率＋数列＋極限】複素数が実数である確率など（B、30分、Lv.２）

昨年とタイトル同じです。複素数平面に、確率と漸化式を混ぜた問題です。こちらはうまく融合されていると思います。

設定はややこしく見えますが、要約すると、「Ｚｎから６０°回転、ー６０°回転、そのままのどれかをするとＺｎ＋１に移る」ということです。まずこの設定を問題文から読み取りましょう。

（１）Ｚ２が実数でないということは、Ｘ１＋Ｘ２≠０であればＯＫです。（２つではー３や３にならない）

（２）からは確率と漸化式の原則を使います。ｎ回目とｎ＋１回目を詳しく見ることです。Znが実数でない状態から、Zn+1が実数でない状態に移行する確率を求めます。Znが実数でない時、実軸上にない４点のどれかになりますが、どこにいても、実軸に到達するにはX＝１、ー１のどっちかだけが出た時です。従って、５／６の確率で実数でないままと分かります。従って、今回の漸化式はこれで解決で、公比５／６の等比数列となります。

(３）でも同じようにｎ回目とｎ＋１回目の遷移を見ます。すると、Ｚｎが実数でない場合も必要となります。（２）で実数でない→次に実数が１／６と分かっていますので、あとは実数→次も実数が２／３とわかれば、漸化式も出せます。漸化式は４型なので、特性方程式を作って等比型に帰着ですね。極限はおまけ。６点中２点なので、感覚的にも１／３は納得でしょう。

他の確率を置いてみたりする必要もなく解決するタイプなので、確率と漸化式の中では簡単な方です。

※KATSUYAの解答時間16分。確率と漸化式。私大でほとんど見なかったような。今年初めてかな。設定を見て、６０°ずつ回転することをつかみ、それを答案にしてから（１）へ。（１）は実数にならないＸ１，Ｘ２の組み合わせを書き出して確率を足す。（２）以降は上記原則通り。阪大にしては簡単な気が。第１問に続き阪大感がない。

☆第３問　【三角比＋微分法】三角形の辺の不等式の証明（Ｂ、18分、Lv.２）

三角形の辺に関する不等式の証明です。問題文が短いですが、解答もそんなに長くなく、見かけ（どおり？倒し？）です。

∠ＡＢＣの方をθとおけば、片方はｎθとなります。図をかけば、対辺と対角に関する情報が絡むので、正弦定理でｃとｂの関係式を作ることは思いつくでしょう。

すると、結局sinｎθ＜ｎsinθを示せばいいと分かります。不等式は差を取って微分の原則で出来ます。微分すれば単調整も言えますし、不等式自体は簡単に証明できます。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間５分。問題文短い方が難しいから、いや予感するも、図をかいて正弦定理使って示すべき不等式を見て、「いや簡単だったわ＾＾；」となる。んー、今年の阪大こんな感じか。骨のある問題がない。

第４問　【積分＋極限】不等式の表す領域の面積、極限（Ｂ、20分、Lv.２）

４つの不等式を満たす領域の面積に関する式の極限です。がっつり数IIIですが、積分も極限もやることは普通です。

Ｓ（ｔ）は直角三角形から積分式で引き算すると思いますが、積分区間は境界のｙ＝１／ｘとｘ＋ｙ＝ｔの２交点間です。この２点が汚いので、「時が来る」までα、βで置いておいて、計算を進めるとすっきりします。たぶんポイントはここだけでしょう。

面積を計算し続けていくと、積や和は解と係数の関係で出せますので、βーα、βだけが残ります。ので、ここで「時が来た」と判断し、αとβに具体的に入れればＯＫ。

√を含む部分は分子の有理化で、ｌｏｇの部分は分子・分母をｔで割るだけで解決します。極限自体は教科書レベルの原則になります。

※KATSUYAの感想：解答時間13分。上記の手順で計算して終了。交点の扱いに捻りがあるかな。でもそれだけやな。これもそんなに難しくなはい。

☆第５問　【２次曲線など】三角形の１辺を軸として回転させたときの体積（B、25分、Lv.2）

周の長さが２である三角形について、BCを軸として回転させた時の最大値を求める問題で、誘導があることでやさしくなっています。誘導がなければCレベルでしょう。

（１）では、BCの長さを固定したときに、AB=ACとなる時が最大になることを示せというもの。BCを固定すれば、BCを底辺とみたときの高さが最大になればいいということです。ＡＢ＋ＡＣ＝２－ａで一定であることから、楕円を思いつけるかどうか。これで短軸の端になるとき、すなわちＡＢ＝ＡＣになるときが最大だと分かります。

（２）（１）により、のＡＢ＝ＡＣであるときを考えればＯＫです。誘導がなくても、この考え方は出来てほしいですね。２文字が動くときは、１文字固定が原則。

体積を求めれば分かりますが、高さは２乗することで根号も外れ、ただのａの２次関数になりますので、（２）の方が簡単です。

※ＫＡＴＳＵＹＡの解答時間10分。こちらも上記のとおりに解いて終了。楕円をすぐに思いつけたのは良かったか。体積自体はただの２次関数かい。なんか最後まで軽かったなぁ。今年は。